数列.docx

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数列

等比数列：

若q＝1则S=n*a1

若q≠1

推倒过程：

S=a1+a1*q+a1*q^2+……+a1*q^（n-1）

等式两边同时乘q

S*q=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+……+a1*q^

1式－2式有

S=a1*（1-q^n）/（1-q）

等差数列

推倒过程：

S=a1+（a1+d）+（a1+2d）+……（a1+（n-1）*d）

把这个公式倒着写一遍

S=（a1+（n-1）*d）+（a1+（n-2）*d）+（a1+（n-3）*d）+……＋a1

上两式相加有

S＝（2a1+（n-1）d）*n/2=n*a1+n*（n-1）*d/2

一、等差数列

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列的通项公式为：

an=a1+（n-1）d

（1）

前n项和公式为：

Sn=na1+n（n-1）d/2或Sn=n（a1+an）/2

（2）

从

（1）式可以看出，an是n的一次数函（d≠0）或常数函数（d=0），（n，an）排在一条直线上，由

（2）式知，Sn是n的二次函数（d≠0）或一次函数（d=0，a1≠0），且常数项为0。

在等差数列中，等差中项：

一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项。

，

且任意两项am，an的关系为：

an=am+（n-m）d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有

am+an=ap+aq

Sm-1=（2n-1）an，S2n+1=（2n+1）an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S（n-1）k…或等差数列，等等。

和＝（首项＋末项）*项数÷2

项数＝（末项-首项）÷公差＋1

首项=2和÷项数-末项

末项=2和÷项数-首项

项数=（末项－首项）/公差＋1

等差数列的应用：

日常生活中，人们常常用到等差数列如：

在给各种产品的尺寸划分级别

时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，长安等差数列进行分级。

若为等差数列，且有ap=q,aq=p.则a（p+q）＝－（p+q）。

若为等差数列，且有an=m,am=n.则a（m+n）＝0。

等比数列：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

（1）等比数列的通项公式是：

An=A1*q^（n－1）

（2）前n项和公式是：

Sn=[A1（1-q^n）]/（1-q）

且任意两项am，an的关系为an=am·q^（n-m）

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

（4）若m，n，p，q∈N*，则有：

ap·aq=am·an，

等比中项：

aq·ap=2arar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=（an）2n-1，π2n+1=（an+1）2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。

在这个意义下，我们说：

一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

性质：

①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap*aq；

②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.

注意：

上述公式中A^n表示A的n次方。

等比数列在生活中也是常常运用的。

如：

银行有一种支付利息的方式---复利。

即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金，

在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式：

本利和=本金*（1+利率）存期

设An为等差数列,d为公差

性质1）An=A1+（n-1）d=Am+（n-m）d

Sn=n（A1+An）/2=nA1+n（n-1）d/2

2）An=Sn-S（n-1）,2An=A（n-1）+A（n+1）=A（n-k）+A（n+k）

3）若a+b=c+d,则Aa+Ab=Ac+Ad

设An为某数列,Sn为前n项和,则有以下几点性质:

4）形如Sn=an^2+bn+c（ab≠0）,当且仅当c=0时,An为等差数列.即当An为等差数,Sn是不含常数项的关于n的二次函数.

5）形如aAn=bA（n-1）+c（a≠b）的数列,总可以化为等比数列,即令ax=bx+c,即x=c/（a-b）,即An-c/（a-b）=a[A（n-1）-c/（a-b）]

所以Bn=An-b/（1-a）为等比数列

6）形如aAn+bA（n-1）+cA（n-2）=0（abc≠0）的数列,总可以化为等比数列,即令ax^2+bx+c=0的根为x1,x2,则

An-x1A（n-1）=x2[A（n-1）-x1A（n-2）]

An-x2A（n-1）=x1[A（n-1）-x2A（n-2）]

令B（n-1）=An-x1A（n-1）..........................

（1）

B（n-1）'=An-x2A（n-1）...........................

（2）

则Bn,Bn'为等比数列,从而可以求出Bn,Bn'。

再解

（1）

（2）方程组可求出An。

7）若An>0,形如An^a=cA（n-1）^b的数列可化为5）的形式,即两边取对数即:

algAn=blgA（n-1）+lgc,令Bn=lgAn,即aBn=bB（n-1）+c

等差数列：

Sn=a1n+n（n-1）d/2

等比数列：

1:

q=1时;Sn=na1

2:

q#1时;Sn=a1（1-q的n次方）/（1-q）

求和

等差“（首数+末数）*项数/2

等比数列求和公式＝首项*（1-比值^项数）/（1-比值）

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

自然数方幂和公式：

3、4、

5、

[例]求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4（x≠0）

解：

∵x≠0

∴该数列是首项为1，公比为x2的等比数列而且有n+3项

当x2＝1即x＝±1时和为n+3

评注：

（1）利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x是否为0进行讨论．

（2）要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n项．

对应高考考题：

设数列1，（1+2），…，（1+2+），……的前顶和为，则的值。

二、错位相减法求和

错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。

需要我们的学生认真掌握好这种方法。

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an?

bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。

[例]求和：

（）………………………①

解：

由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积

设……………………….②（设制错位）

①－②得（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

∴

注意、1要考虑当公比x为值1时为特殊情况

2错位相减时要注意末项

此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。

对应高考考题：

设正项等比数列的首项，前n项和为，且。

（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

[例]求证：

证明：

设…………………………..①

把①式右边倒转过来得

（反序）

又由可得

…………..……..②

①+②得（反序相加）

∴

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

若数列的通项公式为，其中中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。

[例]：

求数列的前n项和；

分析：

数列的通项公式为，而数列分别是等差数列、等比数列，求和时一般用分组结合法；

[解]：

因为，所以

（分组）

前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）

（2）

（3）（4）

（5）

[例]求数列的前n项和.

解：

设（裂项）

则（裂项求和）

＝

＝

小结：

此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。

只剩下有限的几项。

注意：

余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

[练习]在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例]在各项均为正数的等比数列中，若的值.

解：

设

由等比数列的性质（找特殊性质项）

和对数的运算性质得

（合并求和）

＝

＝

＝10

数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。

我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。

1利用待定常数法（重点）

例1已知数列｛n｝中，若1=1，且n+1=3n-4（n=1,2,3,…）.求数列的通项公式n.

分析：

若关系式是n+1=3n即为等比数列，因此考虑处理-4，若能化为n+1+x=3（n+x）,则可构造等比数列｛n+x｝。

解：

设n+1=3n-4恒等变形为n+1+x=3（n+x），即n+1=3n+2x,比较系数得：

x=-2

n+1-2=3（n-2）

数列｛n-2｝是以1-2=-1为首项，公比为3的等比数列

n-2=（-1）3n-1即n=-3n-1+2.

说明：

给出一阶递推关系式形如（n=1,2,…）,A、B为常数，均可使用待定常数法，构造等比数列求出通项。

例2已知数列｛n｝中，前n项和sn=2n-3n,求数列的通项公式n.

分析：

已知等式中不是递推关系式，利用可转化为：

n-2n-1=2,考虑3n-1是变量，引入待定常数x时，可设n-x=2（n-1-x）,从而可构造等比数列。

解：

1=s1=21-3则1=3，

当n2时，=（2n-3n）-（2n-1-3n-1）即n-2n-1=2,设其可恒等变形为：

n-x=2（n-1-x），（需要注意的是上面的指数，这是某种关系而不是固定的常数，故在恒等变形时需注意两边对应的关系，而不应该用X代替x，也可以不设“-”设“+”，结果是一样的。

）

即n-2n-1=x,比较系数得：

x=2.

n-2=2（n-1-2）

数列｛n-2｝是以1-6=-3为首项，公比为2的等比数列。

n-2=（-3）2n-1

n=2-3.

说明：

对于型如n=An-1+f（n）（A为常数）的一阶递推关系式。

可利用待定常数法，构造等比数列；但须体现新数列相邻两项的规律性，设其可恒等变形为：

n-xg（n）=A[n-1-xg（n-1）],若x存在,则可构造等比数列{n-xg（n）}。

2利用配方法

有些递推关系式经“配方”后，可体现等差（比）的规律性。

例3设n0，1=5，当n2时，n+n-1=+6,求数列的通项公式n。

分析：

给出的递推关系式不能反映规律性，因此考虑去分母得：

2n-2n-1=7+6（n-n-1）,为体现规律性，变形为：

2n-2n-1-6n+6n-1=7，即（n-3）2-（n-1-3）2=7.

解：

由n+n-1=+6（n2）变形为：

2n-2n-1=7+6（n-n-1）即（n-3）2-（n-1-3）2=7（n2）

数列{}是以（1-3）2=4为首项，公差为7的等差数列

=4+7（n-1）=7n-3，而n0

n=+3

说明：

递推关系式中含有二次项、一次项时可考虑用配方法，揭示规律，构造等差（比）数列。

3利用因式分解

有些递推关系式经因式分解后，可体现等差（比）的规律性。

例4已知数列｛n｝是首项为1的正项数列，且2n+1+3n+1-22n+3n-nn+1=0求数列的通项公式n。

分析:

由已知递推关系式，若配方，则无法配成完全平方或完全平方项之和。

因此考虑用因式分解化简，寻求更实质的关系。

可变形为：

n+1（n+1+3）+3n-nn+1+n（-2n）=0。

解：

由已知有：

n+1（n+1+3）+3n-nn+1+n（-2n）=0

（n+1+n）[（n+1+3）-2n]=0，而n0

n+1+3-2n=0，则利用待定常数法有（n+1-3）-2（n-3）=0

数列{n-3}是以1-3=-2为首项，公比为2的等比数列。

n-3=（-2）2n-1即n=3-2n

说明：

因式分解能达到化简的目的，使递推关系式简化，凸显规律性。

5利用倒数

有些数列的递推关系式，经取倒数变形后，显现出规律性，可构造等比（差）数列。

例7已知x1=1,x2=2,xn+2=,试求xn。

分析：

由递推关系式结构特征，易联想到倒数，即有xn+2=，从而

=，可构造等比数列。

解：

对递推关系式两边取倒数得：

=

可变形为=（-）（）

数列{}是以=-为首项，公比为-的等比数列

=（-）（-=（n2）

=+（）+（）+…+（）

=1+（-）+（-）2+…+

=+（n2）

=（n2）而当n=1时亦满足。

=（n1）

说明：

递推关系式中含有相邻两项之积与相邻两项之和的关系，可考虑取倒数（或化为分式），揭示规律，构造等比（差）数列。

例8已知数列｛n｝中，1=7，n2时，，求数列的通项公式n

分析：

已知递推关系式右边为分式，取倒数后可化为：

，未能反映规律，

但若能化为的关系，则可揭示规律；结合待定常数法，可确定A值。

解：

由已知：

（A0）即（2A+1≠0）

令，解得：

A=1

已知关系式可恒等变形为，取倒数得：

（n2）。

数列{}是以=为首项，公差为的等差数列。

=+（n-1）,即（n1）

说明：

①例8中的递推关系式结构特征，亦易想到取倒数，但要灵活结合待定常数法，构造新数列，凸显等差的规律性。

②引入待定常数A是为了揭示变化的一致性（规律性），若A值存在，则可反映此变化规律。

若A值不存在，则考虑其它变形。

6利用换元

有些数列的递推关系式看起来较为复杂，但应用换元和化归思想后，可构造新数列进行代换，使递推关系式简化，从而揭示等差（比）规律，求出通项。

例9已知数列｛an｝中，求（1981年第22届IMO预选题）。

分析：

已知递推关系式中的较难处理，考虑用换元去掉根式，即令（0）。

解：

令，则=5，0，从而=

由已知递推关系式有：

化简得：

=（）2

2=，由待定常数法得：

2（-3）=-3

数列{-3}是以-3=2为首项，公比为的等比数列。

-3=2（）n-1即=+3

==（n1）

说明：

对于递推关系式中较难处理的根式（比如不能反映相邻项的规律性），可采用换元去掉根式，化简递推关系式，揭示相邻项的变化规律，构造等比（差）数列。

例10设=1，=（nN）,求证：

（1990年匈牙利奥林匹克试题）。

分析：

比较已知与结论，应先求通项公式。

待证的不等式中含有，且已知递推关系式中含有，据此两个信息，考虑进行三角代换，化简递推关系式。

证明：

由已知0，引入数列{}使=tan,（0,）

由已知有：

=

即=，又=1，，从而

即数列{}是以为首项，公比为的等比数列

==，而当x（0,）时，有tanxX

=tan

回答人的补充  2010-07-2717:

43

等比数列：

若q＝1则S=n*a1

若q≠1

推倒过程：

S=a1+a1*q+a1*q^2+……+a1*q^（n-1）

等式两边同时乘q

S*q=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+……+a1*q^

1式－2式有

S=a1*（1-q^n）/（1-q）

等差数列

推倒过程：

S=a1+（a1+d）+（a1+2d）+……（a1+（n-1）*d）

把这个公式倒着写一遍

S=（a1+（n-1）*d）+（a1+（n-2）*d）+（a1+（n-3）*d）+……＋a1

上两式相加有

S＝（2a1+（n-1）d）*n/2=n*a1+n*（n-1）*d/2

一、等差数列

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列的通项公式为：

an=a1+（n-1）d

（1）

前n项和公式为：

Sn=na1+n（n-1）d/2或Sn=n（a1+an）/2

（2）

从

（1）式可以看出，an是n的一次数函（d≠0）或常数函数（d=0），（n，an）排在一条直线上，由

（2）式知，Sn是n的二次函数（d≠0）或一次函数（d=0，a1≠0），且常数项为0。

在等差数列中，等差中项：

一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项。

，

且任意两项am，an的关系为：

an=am+（n-m）d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有

am+an=ap+aq

Sm-1=（2n-1）an，S2n+1=（2n+1）an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S（n-1）k…或等差数列，等等。

和＝（首项＋末项）*项数÷2

项数＝（末项-首项）÷公差＋1

首项=2和÷项数-末项

末项=2和÷项数-首项

项数=（末项－首项）/公差＋1

等差数列的应用：

日常生活中，人们常常用到等差数列如：

在给各种产品的尺寸划分级别

时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，长安等差数列进行分级。

若为等差数列，且有ap=q,aq=p.则a（p+q）＝－（p+q）。

若为等差数列，且有an=m,am=n.则a（m+n）＝0。

等比数列：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

（1）等比数列的通项公式是：

An=A1*q^（n－1）

（2）前n项和公式是：

Sn=[A1（1-q^n）]/（1-q）

且任意两项am，an的关系为an=am·q^（n-m）

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

（4）若m，n，p，q∈N*，则有：

ap·aq=am·an，

等比中项：

aq·ap=2arar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=（an）2n-1，π2n+1=（an+1）2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。

在这个意义下，我们说：

一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

性质：

①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap*aq；

②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.

注意：

上述公式中A^n表示A的n次方。

等比数列在生活中也是常常运用的。

如：

银行有一种支付利息的方式---复利。

即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金，

在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式：

本利和=本金*（1+利率）存期