人教版八年级上册1331等腰三角形的判定和性质同步练习.docx

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人教版八年级上册1331等腰三角形的判定和性质同步练习

人教版八年级上册13.3.1等腰三角形的判定和性质同步练习

一．选择题（共10小题）

1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（　　）

A．8个B．7个C．6个D．5个

2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED的周长是（　　）

A．6B．7C．8D．10

3．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（　　）

A．1B．1.5C．2

D．4

4．如图，∠MON=30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q．若点P到OM的距离为2，则OQ的长为（　　）

A．1B．2C．3D．4

5．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：

（1）∠DEF=∠DFE；

（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=5，AD=2，则△AED的周长为（　　）

A．4B．5C．6D．7

7．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（　　）

A．∠C=2∠AB．BD=BC

C．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点

8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（　　）

A．3个B．4个C．5个D．6个

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）

A．4B．5C．6D．7

10．如图，△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系为（　　）

A．EF＞BE+CFB．EF=BE+CFC．EF＜BE+CFD．不能确定

二．填空题（共5小题）

11．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是　　．

12．已知：

如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB=6cm，AC=8cm，则△ADE的周长为　　．

13．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=11，则线段MN的长为　　．

14．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论：

①△BDF，△CEF都是等腰三角形；

②DE=BD+CE；

③△ADE的周长为AB+AC；

④BD=CE．其中正确的是　　．

15．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距　　m．

三．解答题（共5小题）

16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．

（1）求证：

DE=CE．

（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．

17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：

DE∥AB．

18．我们知道一个图形的性质和判定之间有着密切的联系．比如，由等腰三角形的性质“等边对等角”很易得到它的判定“等角对等边”．小明在学完“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”性质后，得到如下三个猜想：

（1）如果一个三角形一边的中线和这边上的高相互重合，则这个三角形是等腰三角形；

（2）如果一个三角形一边的高和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形；

（3）如果一个三角形一边的中线和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形．

我们运用线段垂直平分线的性质，很易证明猜想

（1）的正确性．现请你帮助小明判断他的猜想

（2）、（3）是否成立？

若成立，请结合图形，写出已知、求证和证明过程；若不成立，请举反例说明．

19．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．

（1）求证：

①AB=AD；②CD平分∠ACE．

（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？

并对你的猜想加以证明．

20．如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．

（1）求证：

△BCD为等腰三角形；

（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：

BD+AD=AB+BE；

（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究

（2）中的结论是否仍然成立？

直接写出正确的结论．

人教版八年级上册13.3.1等腰三角形的判定和性质同步练习

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（　　）

A．8个B．7个C．6个D．5个

【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=72°，根据角平分线求出∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB=36°，根据三角形内角和定理求出∠BDC、∠BEC、∠EOB、∠DOC，根据等腰三角形的判定推出即可．

【解答】解：

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠ACB=

（180°﹣∠A）=72°，

∵BD，CE是角平分线，

∴∠ABD=∠DBC=

∠ABC=36°，∠ACE=∠ECB=36°，

∴∠A=∠ABD=∠ACE，∠DBC=∠ECB，

∴∠BDC=180°﹣∠ACB﹣∠DBC=180°﹣72°﹣36°=72°，

同理∠BEC=72°，

∴∠BDC=∠ACB，∠BEC=∠EBC，

∴∠EOB=180°﹣∠BEC﹣∠EBD=180°﹣72°﹣36°=72°，

同理∠DOC=72°，

∴∠BEO=∠BOE，∠CDO=∠COD，

即等腰三角形有△OBC，△ADB，△AEC，△BEC，△BDC，△ABC，△EBO，△DCO，共8个，

故选：

A．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，关键是能求出各个角的度数．

2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED的周长是（　　）

A．6B．7C．8D．10

【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可求得BE=DE，则可求得答案．

【解答】解：

∵ED∥BC，

∴∠EDB=∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABD，

∴∠EDB=∠ABD，

∴DE=BE，

∴AE+ED+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6，

即△AED的周长为6，

故选：

A．

【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，证得DE=BE是解题的关键，注意角平分线、平行线的性质有应用．

3．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（　　）

A．1B．1.5C．2

D．4

【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=5，BC=3，即可推出BD的长度．

【解答】解：

延长BD与AC交于点E，

∵∠A=∠ABD，

∴BE=AE，

∵BD⊥CD，

∴BE⊥CD，

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD=∠ECD，

∴∠EBC=∠BEC，

∴△BEC为等腰三角形，

∴BC=CE，

∵BE⊥CD，

∴2BD=BE，

∵AC=5，BC=3，

∴CE=3，

∴AE=AC﹣EC=5﹣3=2，

∴BE=2，

∴BD=1．

故选：

A．

【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．

4．如图，∠MON=30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q．若点P到OM的距离为2，则OQ的长为（　　）

A．1B．2C．3D．4

【分析】过P作PF⊥OM，PE⊥ON，根据角平分线的性质得到OE=OF，∠1=∠2，根据平行线的性质得到∠1=∠3，根据直角三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：

过P作PF⊥OM，PE⊥ON，

∵OP平分∠MON，

∴OE=OF，∠1=∠2，

∵PQ∥OM，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3=

∠MON=15°，

∴OQ=PQ，∠4=30°，

∴PQ=2PE=4

∴OQ=PQ=4．

故选：

D．

【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

5．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：

（1）∠DEF=∠DFE；

（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题．

【解答】解：

∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC

∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°

∴DE=DF

∴AD垂直平分EF

∴（4）错误；

又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，

∴

（1）∠DEF=∠DFE；

（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF．

故选：

C．

【点评】有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）

等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）．

6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=5，AD=2，则△AED的周长为（　　）

A．4B．5C．6D．7

【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠ABD=∠EDB，得到EB=ED，根据三角形的周长公式计算即可．

【解答】解：

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∵ED∥BC，

∴∠EDB=∠CBD，

∴∠ABD=∠EDB，

∴EB=ED，

∴△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=7，

故选：

D．

【点评】本题考查的是等腰三角形的判定、平行线的性质，掌握等角对等边是解题的关键．

7．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（　　）

A．∠C=2∠AB．BD=BC

C．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点

【分析】根据∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，可得△ABD与△BCD都是等腰三角形，据此判断各选项是否正确即可．

【解答】解：

∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=72°，

∴∠C=2∠A，故（A）正确；

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=36°，

∴∠BDC=36°+36°=72°，

∴∠BDC=∠C，

∴BD=BC，故（B）正确；

∵∠A=∠ABD=36°，

∴△ABD是等腰三角形，故（C）正确；

∵BD＞CD，

∴AD＞CD，

∴D不是AC的中点，故（D）错误．

故选：

D．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题时注意：

等腰三角形的两个底角相等；反之，有两个角相等的三角形是等腰三角形．

8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（　　）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【分析】已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．

【解答】解：

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=36°，

∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，

∵DE∥AB，

∴∠EDB=∠ABD=36°，

∴∠EDC=72°﹣36°=36°，

∴∠DEC=180°﹣72°﹣36°=72°，

∴∠A=∠ABD，∠DBE=∠BDE，∠DEC=∠C，∠BDC=∠C，∠ABC=∠C，

∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形，共5个，

故选：

C．

【点评】此题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）

A．4B．5C．6D．7

【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；

②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；

③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；

④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；

⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；

⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．

【解答】解：

如图：

故选：

D．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．

10．如图，△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系为（　　）

A．EF＞BE+CFB．EF=BE+CFC．EF＜BE+CFD．不能确定

【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得∠EBD=∠EDB，则ED=BE，同理可得DF=FC，则EF=BE+CF，可得答案．

【解答】解：

∵EF∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD=∠DBC，

∴∠EDB=∠EBD，

∴ED=BE，

同理DF=FC，

∴ED+DF=BE+FC，

即EF=BE+FC，

故选：

B．

【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，利用平行线的性质及角平分线的定义得到ED=BE和DF=FC是解题的关键

二．填空题（共5小题）

11．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是　3　．

【分析】首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数，然后根据等腰三角形的判定：

等角对等边解答，做题时要注意，从最明显的找起，由易到难，不重不漏．

【解答】解：

∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC是等腰三角形，

∠ABC=∠ACB=

=72°，

BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，

∴在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，

在△ABC中，∠C=∠ABC=72°，AB=AC，△ABC是等腰三角形，

在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，

所以共有3个等腰三角形．

故答案为：

3

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等腰三角形的判定，角的平分线的性质；求得各个角的度数是正确解答本题的关键．

12．已知：

如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB=6cm，AC=8cm，则△ADE的周长为　14cm　．

【分析】两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得△OBD、△EOC均为等腰三角形，由此把△AEF的周长转化为AC+AB．

【解答】解：

∵DE∥BC

∴∠DOB=∠OBC，

又∵BO是∠ABC的角平分线，

∴∠DBO=∠OBC，

∴∠DBO=∠DOB，

∴BD=OD，

同理：

OE=EC，

∴△ADE的周长=AD+OD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm．

故答案是：

14cm．

【点评】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质，正确证明△OBD、△EOC均为等腰三角形是关键．

13．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=11，则线段MN的长为　11　．

【分析】根据平行线的性质得出∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB，根据角平分线定义得出∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠ECB，求出∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠NCE，推出ME=BM，EN=CN即可．

【解答】解：

∵MN∥BC，

∴∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB，

∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，

∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠ECB，

∴∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠NCE，

∴ME=BM，EN=CN，

∵BM+CN=11，

∴EM+EN=11，

即MN=11，

故答案为：

11．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线定义等知识点，能求出ME=BM和EN=CN是解此题的关键．

14．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论：

①△BDF，△CEF都是等腰三角形；

②DE=BD+CE；

③△ADE的周长为AB+AC；

④BD=CE．其中正确的是　①②③　．

【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理△CEF都是等腰三角形；

②利用等腰三角形的性质即可证明

③由①可得△ADE的周长为AB+AC；

④无法判断故错误；

【解答】解：

①∵BF是∠ABC的角平分线，

∴∠ABF=∠CBF，

又∵DE∥BC，

∴∠CBF=∠DFB，

∴DB=DF即△BDF是等腰三角形，

同理∠ECF=∠EFC，

∴EF=EC，

∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；故正确．

②∵∴BDF，△CEF都是等腰三角形，

∴DF=DB，EF=EC，

∴DE=BD+EC，故正确．

③∵①△BDF，△CEF都是等腰三角形

∴BD=DF，EF=EC，

△ADE的周长=AD+DF+EF+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC；故正确，

④无法判断BD=CE，故错误，

故答案为①②③．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．

15．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距　200　m．

【分析】先求出∠BAC，再根据三角形的内角和定理求出∠C，从而得到∠BAC=∠C，然后根据等角对等边可得BC=AB．

【解答】解：

∵B在A的正东方，C在A地的北偏东60°方向，

∴∠BAC=90°﹣60°=30°，

∵C在B地的北偏东30°方向，

∴∠ABC=90°+30°=120°，

∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣30°﹣120°=30°，

∴∠BAC=∠C，

∴BC=AB=200m．

故答案为：

200．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，方向角的定义，根据角的度数求出∠BAC=∠C是解题的关键，也是本题的难点．

三．解答题（共5小题）

16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．

（1）求证：

DE=CE．

（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．

【分析】

（1）根据角平分线的性质可得出∠BCD=∠ECD，由DE∥BC可得出∠EDC=∠BCD，进而可得出∠EDC=∠ECD，再利用等角对等边即可证出DE=CE；

（2）由

（1）可得出∠ECD=∠EDC=35°，进而可得出∠ACB=2∠ECD=70°，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数．

【解答】

（1）证明：

∵CD是∠ACB的平分线，

∴∠BCD=∠ECD．

∵DE∥BC，

∴∠EDC=∠BCD，

∴∠EDC=∠ECD，

∴DE=CE．

（2）解：

∵∠ECD=∠EDC=35°，

∴∠ACB=2∠ECD=70°．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线，解题的关键是：

（1）根据平行线的性质结合角平分线的性质找出∠EDC=∠ECD；

（2）利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质求出∠ACB=∠ABC=70°．

17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：

DE∥AB．

【分析】根据垂直平分线的性质可知∠EDC=∠C，再由等腰三角形的性质即可得出∠EDC=∠B．从而可知DF∥AB．

【解答】证明：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵EF垂直平分CD，

∴ED=EC．

∴∠EDC=∠C．

∴∠EDC=∠B．

∴DE∥AB．

【点评】本题考查等腰三角形以及垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质，本题属于基础题型．

18．我们知道一个图形的性质和判定之间有着密切的联系．比如，由等腰三角形的性质“等边对等角”很易得到它的判定“等角对等边”．小明在学完“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”性质后，得到如下三个猜想：

（1）如果一个三角形一边的中线和这边上的高相互重合，则这个三角形是等腰三角形；

（2）如果一个三角形一边的高和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形；

（3）如果一个三角形一边的中线和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形．

我们运用线段垂直平分线的性质，很易证明猜想

（1）的正确性．现请你帮助小明判断他的猜想

（2）、（3）是否成立？

若成立，请结合图形，写出已知、求证和证明过程；若不成立，请举反例说明．

【分析】

（2）首先根据命题写出已知，求证，然后根据题意，推出△CAD≌△BAC，即可推出AB=AC，（3）首先根据命题写出已知，求证，画出图形，然后，作出辅助线作DE⊥AC，DF⊥AB，根据条件推出Rt△CED≌Rt△BFC，即可推出∠B=∠C，根据△ABC内，等角对等边，即可推出AB=AC．

【解答】解：

（2）、（3）都正确．

（2）已知：

在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，