一元一次方程的概念耿旭龙.docx

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一元一次方程的概念耿旭龙

课题：

一元一次方程的概念

教材：

人教版义务教育课程标准实验教科书数学七年级上册第二章第一节

授课教师：

北京三帆中学（北京师大二附中初中部）耿旭龙

【教学目标】

1、通过对多个实际问题的分析，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步，归纳并理解一元一次方程的概念，领悟一元一次方程的意义和作用.

2、在学生根据问题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的过程中，培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力.

3、使学生经历把实际问题抽象为数学方程的过程，认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想.

【教学重点、难点】使学生理解问题情境，探究情境中包含的数量关系，最终用方程来描述和刻画事物间的相等关系．

【教学方法】启发式讲授法

【教学过程】

问题与情境

师生活动

设计意图

[阶段1]情境导入

　　　　回顾旧知

　　今年进行的德国世界杯足球赛，吸引了全球的目光.你喜欢足球吗？

下面来看一个与足球场有关的问题.

引例　德国世界杯足球赛莱比锡赛场为长方形的足球场，周长为310米，长和宽之差为25米，这个足球场的长与宽分别是多少米？

教师给出引例，带领学生进入到实际问题的情境中.

1、算术方法：

足球场长与宽的和为310÷2=155（米）．

由和差关系，得

足球场的长度为（155+25）÷2=90（米），宽度为90-25=65（米）.

2、方程方法：

设足球场的长度为

米，

那么足球场的宽度能用含

的式子表示为

米.

根据“长方形的周长=（长+宽）×2”，列出方程：

.

教师指出，如何解出方程中的未知数

，是今后要学习的知识.

然后，请学生回顾方程的概念：

含有未知数的等式，叫做方程.

教师引导学生总结引例的研究方法，启发学生比较算术方法和方程方法的区别：

　　用算术方法解决问题时，只能用已知数，而用方程方法解题时用字母表示的未知数也可以参与运算.

　　算术方法主要运用逆向思维，列方程主要运用正向思维.

依据新课程的理念，教师要创造性地使用教材.作为引入本课的第一个例子,选用了“世界杯足球赛赛场问题”,以激发学生的学习兴趣，而且设置了符合学生认知水平的问题情境，以达到由浅入深、逐步提高的目的.

[阶段２]联系实际

　　　　探究新知

　　请同学们用方程来研究问题.

例1青藏铁路格尔木至拉萨段全长共1142千米，途中经过冻土路段和非冻土路段.若列车在冻土路段的速度为每小时80千米，非冻土路段的速度为每小时110千米，全程行驶时间为12小时，你能算出列车经过的冻土路段有多少千米吗？

例2学校召开运动会，王平负责给同学们购买饮料.现在要选购两种饮料共40瓶，其中矿泉水1.5元一瓶，茶饮料2元一瓶.王平计划恰好花费65元购买这些饮料，那么两种饮料应该各买多少瓶呢？

例3将一个底面半径是5厘米、高为36厘米的“瘦长”型圆柱钢材锻压成高为9厘米的“矮胖”型圆柱钢材，底面半径变成了多少厘米？

（

）

归纳概念：

只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．

[阶段３]巩固练习

　　　　拓展思维

练习1　判断下列式子是不是一元一次方程，为什么？

（1）

；

（2）

；（3）

；

（4）

；（5）

；（6）

．

　　练习2　列方程研究古诗文问题：

隔墙听得客分银，不知人数不知银.七两分之多四两，九两分之少半斤.

（注：

在古代1斤是16两，半斤就是8两）

练习3设计一道以“2008北京奥运会”为实际背景的可列出一元一次方程的应用题，并进行交流．

[阶段４]归纳小结

　　　　布置作业

　归纳小结：

布置作业：

教师引导学生从实际问题列出方程.

明确用方程研究问题，所以设列车经过的冻土路段为

千米，然后分析发现两个相等关系：

　　冻土路段路程+非冻土路段路程=全程

冻土路段行驶时间+非冻土路段行驶时间=全程行驶时间

可以利用第一个相等关系，得到非冻土路段行驶路程为

千米，再将第二个相等关系用字母和数字表示出来，得到方程

.

由学生尝试分析数量关系，找出相等关系，列出方程:

购买矿泉水数量+购买茶饮料数量=总的选购数量

购买矿泉水的费用+购买茶饮料的费用=总的花费

预案1设购买矿泉水的数量为

瓶，根据第一个相等关系，得到购买茶饮料的数量为

瓶.根据第二个相等关系得到方程

.

预案2设购买茶饮料的数量为

瓶，则购买矿泉水的数量为

瓶，得到方程

.

预案3设购买购买矿泉水

瓶，购买茶饮料

瓶，可以列出两个方程

和

.

教师指出预案3的方程也可以解决问题，这方面的知识将在今后进一步学习.

先请学生回忆小学学过的圆柱体积公式:

圆柱体积=底面积×高

再通过动画演示使学生注意到锻压前后圆柱的体积不变，然后由学生根据这一相等关系，设底面半径变成了

厘米，列出方程:

.

在研究了四个实际问题后，教师引导学生观察得到的方程：

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

，

;

（5）

．

找出前三个方程的共同特点：

只含有一个未知数，并且未知数的指数都是1，进而归纳出一元一次方程的概念．

（4）中的两个方程都分别含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，它们都是二元一次方程.

第5个方程中唯一的未知数的指数是2，它是一元二次方程.

得出概念后，请同桌的学生互相举出一元一次方程的例子，进行辨析.

练习1设计的6个式子中，有的不是等式，有的未知数不止一个，有的未知数的指数不是1.

师生理解古诗文：

有几个客人在房间内分银子，每人分七两，最后多四两，每人分九两，最后还少八两，问有几个人？

有几两银子？

预案1学生用

表示人数，然后根据两种分法总银两数不变，得到方程

.

预案2用

表示总银两数，根据两种分法人数相同，得到方程

.

然后，教师向学生介绍中国古代数学家在方程发展过程中所做贡献：

　　在我国，“方程”一词最早出现于《九章算术》．《九章算术》全书共分九章，第八章就叫“方程”．

　　12世纪前后，我国数学家用“天元术”来解题，即先要“立天元为某某”，相当于“设

为某某”．

　　14世纪初，我国元朝数学家朱世杰创立了“四元术”，四元指天、地、人、物，相当于四个未知数．

采用小组合作学习方式，以四人小组为单位合作设计一个实际问题，然后在全班进行小组交流.

教师引导学生从回顾知识和总结方法两个方面进行课堂小结．

（1）回顾知识:

方程、一元一次方程的概念．

（2）总结方法:

分析实际问题中的数量关系，

利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.

　　　　设未知数　　列方程

（1）阅读教材相关内容，然后完成教材第74页的习题6、7、8.

（2）选做作业：

列方程解决问题

　　西安市出租车白天的收费标准为：

起步价６元（即行驶距离不超过3千米都需付６元），行驶超过3千米以后，每增加1千米加收１.5元（不足1千米时按1千米计算）．王明和李红乘坐这种出租车去博物馆参观，下车时他们交付了15元车费，那么他们搭乘出租车最多走了多少千米（不计等候时间）？

通过设置问题情境，引导学生关注社会，使学生进一步经历列方程研究实际问题的过程，培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力.

选择与学生生活非常贴近的情境来设计问题，引导学生关注生活及培养学生在生活中应用数学的意识.学生可能设的未知数不同，列出不同的方程，有利于培养学生的发散思维.

设计的问题情境可以让学生关注生产实践,并且前面列出的方程中的未知数指数都是1，而本例列出的方程中的未知数指数是2，可以为归纳一元一次方程的概念提供对比的实例.

通过观察、思考、分析六个方程的特点，使学生经历概念的归纳和概括的过程，引导学生深层次地参与到概念的形成过程中.

通过练习使学生巩固一元一次方程的概念，把握住概念的本质.

设计古诗文应用题的目的是增加数学课的人文色彩，使学生感受数学来源于生活，应用于生活的文化内涵.

通过介绍，使学生对中国古代数学家在方程的发展方面所作贡献增加了解.

开放的问题，可以使学生开阔思维，充分发挥想象力和创造力.　小组合作，组间交流，还可以培养学生的合作意识.

主要由学生进行总结和互相补充，教师只做适当的点拨，以培养学生的归纳概括能力．

为了适应学生不同层次的需求，设计了分层作业.教材上的基础题目可进一步巩固课堂所学知识，选做作业则可以发挥学生学习的自主性.

教学设计说明

（一）教学目标的确定

本节课的教学目标是从知识与技能、过程与方法、情感与态度三个方面，根据《全日制义务教育数学课程标准》中关于“一元一次方程概念”的教学要求，结合学生的实际情况确定的．

学生在小学时已经能较为熟练的运用算术方法解决问题，列出的算式只能用已知数；而方程是根据问题中的等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数．通过比较，让学生感受到方程作为刻画现实世界有效模型的意义，明确列方程的关键就是根据题意找到“相等关系”，能用方程来描述和刻画事物间的相等关系．

通过对实际问题的研究，学生可以初步认识到日常生活中的许多问题可以用数学方法解决，体验到实际问题“数学化”的过程．

（二）教学过程的设计

１．通过设置“世界杯赛场问题”这一情境来复习方程的概念，以激发学生的好奇心和主动参与学习的欲望．通过比较算术方法和方程方法的区别，初步体验从算术到方程是数学的进步．

２．设置的例题与练习给学生提供了丰富多彩的、贴近学生生活实际的问题情境，以鼓励和培养学生应用数学知识解决实际问题的意识，并鼓励学生从不同的角度分析问题，根据不同的设法，列出不同的方程．在学习数学知识的同时，还渗透了对学生的人文教育．

３．通过师生共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，培养学生归纳、概括的能力．

作业安排是为了让学生更进一步落实课堂教学目标，选做题是为了满足不同层次学生的需求，为学有余力的学生提供发展空间.

4.主要采用了启发式讲授的教学方法，以生活中的实际问题为例来创设情境，引导学生关注国家大事、身边小事、生产实践等.在课堂上努力营造一种学生自主探究和合作交流的氛围，引导学生去分析思考和归纳总结，进而达到对知识的“发现”和接受的目的．有意识地给学生创造一个欣赏数学、探索数学的平台,渗透给学生由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想.