一轮复习备考《概率与统计》单元.docx
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一轮复习备考《概率与统计》单元
一轮复习《概率与统计》单元教学设计
概率与统计是高中数学的重要内容，试题强调应用性,以实际问题为背景构建数学模型,突出考查统计与概率的思想和考生的数据处理能力及应用意识。
接下来我将从以下几个方面来谈谈概率与统计的复习。
一、《考试说明》
1.概率
（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率
的区别.
（2）了解两个互斥事件的概率加法公式.
（3）理解古典概型及其概率计算公式.
（4）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
（5）了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.
（6）了解几何概型的意义
2.统计案例（文）
了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题。
（1）通过典型案例了解回归分析的思想、方法，并能初步应用回归分析的思想、方法解决一些简单的实际问题.
（2）通过典型案例了解独立性检验的思想、方法，并能初步应用独立性检验的思想、方法解决一些简单的实际问题。
二、近三年（2016——2018年）全国卷考试特点与命题规律
1.试题分布：
近三年全国数学文科卷Ⅰ中概率与统计试题分布表：
年份
题号
题型
分值
考查内容
2016年
3
选择题
5分
排列组合概率
19
解答题
12分
柱形图、函数解析式、频数和平均数
2017年
2
选择题
5分
统计案例、平均数、中位数
4
选择题
5分
几何概型
19
解答题
12分
线性相关问题
2018年
3
选择题
5分
饼图信息
19
解答题
12分
频率分布直方图、概率统计
2、试题特点：
（1）概率、随机变量及其分布列
①该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量分布列、均值、方差，常与相互独立事件的概率、n次独立重复试验交汇考查。
②从考查形式上来看，主要是在选择题和解答题中出现，其中，选择题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用以及数学思维能力，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量分布列等，都属于中、低档题。
（2）统计与统计案例
统计的主要内容包括随机抽样、用样本估计总体（样本的平均数、频率、中位数、众数、方差、频率分布直方图、茎叶图等）、变量的相关性（线性回归分析及独立性检验思想）。
该部分在高考中主要是以选择题的形式考查随机抽样方法，而解答题根据样本的频率分布表和频率分布直方图考查用样本估计总体，根据茎叶图考查数据特征数的计算及变量的相关性等。
这几年来把统计和概率结合起来命制解答题，试题的背景比较新颖，主要考查学生分析问题的能力以及运用数学知识解决实际问题的能力，是高考考查的一个趋势。
三、专题知识体系构建的方法与总体构思（复习计划）
1.指导思想
在高三数学的第一轮复习中，教师要让学生熟练掌握好基本概念、基本题型和基本方法，在夯实这“三基”的基础上，提高学生的数学思维水平，以基础知识为明线，数学思想作暗线，突出主线（解题方法，思维能力）。
2．课时安排
本单元包括6讲和1个120分钟标准单元能力检测卷，每讲连同课时训练一起2课时，试卷2课时，评讲试卷2课时，共需16课时完成。
3.单元知识体系
概率
统计
四、重点知识强化、难点知识突破策略
1.重点强化策略
根据《考试说明》和全国卷命题特点规律，结合现在学生对概率统计的掌握和理解程度，我认为概率统计的复习应该回归教材注重基础知识，重点强化。
如随机事件的意义与性质，古典概型、几何概型的运算方法，样本数字特征的计算，频率分布直方图的运算等。
强化策略：
（1）回归课本，达到强化基础知识的目的；
（2）小组讨论，达到培养学习主动性的目的；
（3）注重理解，整体把握概率统计的核心思想，体现数学思维，在理解的基础上加强记忆，达到灵活运用的目的；
（4）注重归纳总结，相同题型帮助学生提炼步骤，达到思路明确的目的。
重点题型一：
随机事件的关系
常见解题方法：
对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而判断所给事件的关系。
例1：
一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”，事件B表示“向上的一面出现的点数不大于3”，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则（）
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件
重点题型二：
互斥事件、对立事件的概率
常见解题方法：
（1）直接法：
将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算．
（2）间接法：
先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）＝1－
求解，即用正难则反的数学思想，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法就显得较简便．
例2：
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下表所示.
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
（1）求至多2人排队等候的概率；
（2）求至少3人排队等候的概率．
重点题型三：
古典概型
常见解题方法：
理解题意认真计算，找好基本事件总数以及符合题意的事件总数学是关键。
例3：
现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）所取的2道题不是同一类题的概率．
重点题型四：
几何概型
常见解题方法：
与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合。
例4：
如图，已知圆的半径为10，其内接△ABC的内角A，B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在△ABC内的概率为（）
A．
B．
C．
D．
重点题型五：
茎叶图的应用
常见解题方法：
结合茎叶图的规则，理解图中所示数据的含义，从而弄懂事件所要表达的意思。
例5：
某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5），[5,10），…，[30,35），[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）
重点题型六：
用样本的数字特征估计总体的数字特征
常见解题方法：
直接法，公式法
例6：
抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：
环），结果如下：
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为________．
本题方法：
理解方差在统计中的意义，在理解的基础上加强记忆。
运用方差公式计算出方差，方差越小，说明数据越稳定。
2.难点突破策略：
我们的学生对普遍认为概率统计计算量大，公式复杂，加上初学时没有引起足够重视，有些基本的概念、性质以及公式记不清楚，导致遇到概率统计的问题，懒动手，不敢去做。
同时由于学生缺乏对数的整体感知，数学思维不成熟，分析、整理、计算能力不强等原因，所以我认为频率分布直方图、线性回归分析、独立性检验就成了这章的难点。
突破策略：
（1）由易到难，达到建立信心的目的；
（2）吃透例题，总结经验方法，达到举一反三的目的；
（3）坚持定期整理反思，结合小组讨论，达到形成整体解题思路和激发学生学习兴趣的目的；
难点题型一：
频率分布直方图的绘制与应用
常见解题方法：
按照绘制频率分布直方图的五个步骤来绘制图形。
理解频率分布直方图的含义，通过频率分布直方图分析并计算案例中的众数、中位数、平均数等数字特征。
例7：
某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费。
从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替。
当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费。
本题方法：
利用频率分布直方图中，纵坐标乘以横坐标等于频率这一特性进行运算。
难点题型二：
线性回归分析
常见解题方法：
掌握线性回归所体现的数学建模的思想，理解线性回归方程是一种最优的数学模型，体会最小二差法的数学思想，明白公式中各个量的含义。
例8：
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图．
注：
年份代码17分别对应年份2008－2014.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：
i＝9.32，
iyi＝40.17，
＝0.55，
≈2.646.
参考公式：
相关系数r＝
，
回归方程
＝
＋
t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝
，
＝
－
.
重点题型三：
独立性检验
常见解题方法：
根据题目信息，找出所要研究的两个变量，画出列联表。
然后根据卡方检验公式计算卡方值，再通过比较卡方值，判断两个变量之间知否存在联系。
例9：
某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革的关系，随机抽取了100名员工进行调查，其中支持企业改革的调查者中，工作积极的有46人，工作一般的有35人，而不太赞成企业改革的调查者中，工作积极的有4人，工作一般的有15人．
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；
（2）对于人力资源部的研究项目，根据以上数据是否可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关系？
参考公式：
K2＝
（其中n＝a＋b＋c＋d）
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
五、训练试题的选择及其意图
结合以上对《考试说明》的阐释，近三年全国卷的分析，全国卷特点和规律的总结，知识体系的构建及总体的构思，以及对重点强化策略和难点突破策略的讲解，那么概率统计这一单元训练试题的选择，应该从以下两个方面选取：
1、基础试题：
强化三基；
题1．下列命题：
①将一枚硬币抛两次，设事件M：
“两次出现正面”，事件N：
“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件，其中，真命题是（）
A．①②④B．②④C．③④D．①②
选题意图：
本题考查学生对随机事件的关系的理解，重点考查基础知识的理解和运用。
题2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）
A.
B.
C.
D.
选题意图：
考查学生对古典概型的含义，以及古典概型概率运算的方法。
同时也考查对立事件的运用。
题3.具有线性相关关系的变量x，y满足一组数据如下表所示．若y与x的线性回归方程为
＝3x－
，则m的值是（ ）
x
0
1
2
3
y
－1
1
m
8
A.4B.
C．5D．6
选题意图：
本题属于易错题，重点考查线性回归方程中，仅有点（
，
）在回归直线上。
考查的是基础却容易被忽略的知识点。
2、提高试题：
突破知识的综合运用能力和计算整理能力；
题4.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P（A）＝2－a，P（B）＝4a－5，则实数a的取值范围是______________。
选题意图：
本题乍看不知从何下手，其实需要学生结合随机事件的性质——任何随机事件发生的概率大于等于0小于等于1，同时抓住互斥事件的概念，建立不等式组，从而求出a的取值范围。
能够很好地锻炼学生分析问题的能力。
题5.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为_______。
选题意图：
本题属于较为常见的题型，主要考察几何概型。
但是平时的训练过程中，学生由于缺乏数学建模的训练，导致几何模型难以建立，从而遇到障碍。
题6.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
合计
附：
P（K2≥k0）
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为
，则下列说法正确的是（ ）
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
选题意图：
本题将概率和独立性检验结合起来，需要学生先通过概率的计算，完成列联表中未知的数据，再通过卡方检验的运算，判断两个变量是否有关。
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