第五章运筹学线性规划在管理中的应用案例.docx
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第五章运筹学线性规划在管理中的应用案例
第五章线性规划在管理中的应用
某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。
管理
层考虑将这些剩余生产力用于新产品I、n、川的生产。
可用的机器设备是限制新产品产量
的主要因素，具体数据如下表：
机器设备类型］
每周可用机器台时数
铳床
500
车床
350
磨床
i50
每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表:
机器设备类型
新产口口I
新产口口n
新产品川
铳床
8
4
6
车床
4
3
0
磨床
3
0
i
三种新产品的单位利润分别为元、元、元。
目标是要确定每种新产品的产量，使得公司的利润最大化。
1判别问题的线性规划数学模型类型。
2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。
3、建立该问题的线性规划数学模型。
4、用线性规划求解模型进行求解。
5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对
偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。
6、若销售部门表示，新产品I、n生产多少就能销售多少，而产品川最少销售18件,请重新完成本题的1-5。
解：
1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。
2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为:
++
决策的限制条件：
铳床限制条件
车床限制条件
磨床限制条件
8xi+4x2+6x3<500
4xi+3x2<350
3xi+X3W150
即总绩效测试（目标函数）为：
maxz=++
3、本问题的线性规划数学模型
maxz=++
S.T.8xi+4x2+6x3<500
4xi+3x2<350
3xi+X3Wi50xi>0、x2>0、x3>0
4、用Excel线性规划求解模板求解结果：
最优解（50,25,0）,最优值：
30元。
5、灵敏度分析
目标函数最优值为
:
30
变量
最优解
相差值
x1
50
0
x2
25
0
x3
0
.083
约束
松弛/剩余变量
对偶价格
1
0
.05
2
75
0
3
0
.033
目标函数系数范围
变量
下限
当前值
上限
x1
.4
.5
无上限
x2
.1
.2
.25
x3
无下限
.25
.333
常数项数范围:
约束
下限
当前值
上限
1
400
500
600
2
275
350
无上限
3
150
（1）最优生产方案：
新产品I生产50件、新产品n生产25件、新产品川不安排。
最大利润值为30元。
（2）x3的相差值是意味着，目前新产品川不安排生产，是因为新产品川的利润太低，若要使新产品川值得生产，需要将当前新产品川利润元/件，提高到元/件。
（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；
三个对偶价格，0，表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。
（4）目标函数系数范围
表明新产品I的利润在元/件以上，新产品n的利润在到之间，新产品川的利润在以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在到工时之间。
各自每增加一个工时对总利润的贡献元，0元，元不变。
6、若产品川最少销售18件，修改后的的数学模型是：
maxz=++
S.T.8xi+4x2+6x3<500
4xi+3x2<350
3xi+X3W150
x3>18
xi>0、x2>0、x3>0这是一个混合型的线性规划问题。
代入求解模板得结果如下：
最优解（44，10，18），最优值：
元。
灵敏度报告：
目标函数最优值为:
变量
最优解
相差值
x1
44
0
x2
10
0
x3
18
0
约束
松弛/剩余变量
对偶价格
1
0
.05
2
144
0
3
0
.033
4
0
目标函数系数范围
变量
下限
当前值
上限
X1
.4
.5
无上限
X2
.1
.2
.25
X3
无下限
.25
.333
常数项数范围:
约束
下限
当前值
上限
1
460
500
692
2
206
350
无上限
3
18
150
165
4
0
18
30
（1）最优生产方案：
新产品I生产44件、新产品n生产10件、新产品川生产18件。
最大利润值为元。
（2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。
（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，
新产品川的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；
四个对偶价格，0，，表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格表明新产品川的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少元。
（4）目标函数系数范围
表明新产品I的利润在元/件以上，新产品n的利润在到之间，新产品川的利润在以下，
上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铳床的可用条件在18到165工时之间、新产品川产量限制在30件以内。
各自每增加一个
工时对总利润的贡献元，0元，元，元不变。
某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务：
32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。
问应如何切割可使所用的原铜板为最少
解：
本问题是一个套材下料问题，用穷举法找到所有可能切割的方式并建立数学模型：
minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
3X1+2X2+2X3+X4+X5+X6》75X2+2X4+X6+3X7+2X8+X9>50X3+3X5+X6+2X8+3X9+4X10>110
Xi>0（i=1,2…..10）
用EXcel线性规划求解模型板求解：
最优解：
（,0,0,0,20,0,,0,0,0），最优值：
因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。
即其结果为：
即最优解：
（19,0,0,0,20,0,,0,0,0），最优值：
64
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为:
变量
最优解
相差值
X1
0
X2
0
.056
X3
0
.111
x4
0
.111
x5
20
0
x6
0
.167
x7
0
.167
x8
25
0
x9
0
.056
x10
0
.111
约束
松弛/剩余变量
对偶价格
1
0
2
0
3
0
目标函数系数范围
变量
下限
当前值
上限
x1
.75
1
x2
.944
1
无上限
x3
.889
1
无上限
x4
.889
1
无上限
x5
.833
1
x6
.833
1
无上限
x7
.833
1
无上限
x8
.444
1
x9
.944
1
无上限
x10
.889
1
无上限
常数项数范围：
约束
下限
当前值
上限
1
20
75
无上限
2
0
50
110
3
50
110
275
这是一个统计型的线性规划问题，所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。
松弛/剩余变量都为0,表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限。
三个约束条件的对偶价格、、分别表示三种规格薄铜板数量的最低限再增加一个，将增加原铜板.333cm、.278cm、.222cm。
这个数字实际跟薄铜板长度规格相一致。
常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内，每增一个限额所原原铜
板.333cm、.278cm、.222cm不变。
这里需要特别指出的是，第一种规格的薄铜板32cm宽,
已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板，所以这种规格的薄铜板无论增加多少，都不改变
用原铜板的比例。
某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次，每人要连续工作二个班次。
各班次
需要医生人数如下表：
班次
时间
人数
1
0:
00-4:
00
4
2
4:
00-8:
00
7
3
8:
00-12:
00
9
4
12:
00-16:
00
12
5
16:
00-20:
00
8
6
20:
00-24:
00
6
其中，第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。
问在各班开始时应该分别有几位医
生报到。
若参加1、2、6班的医生需要支付夜班津贴，为了使支付总的夜班津贴为最少，应如何安排各班开始时医生的报到人数。
解：
第一步：
不考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：
minf=Xl+X2+X3+X4+X5+X6
X6+X1>4
X1+X2>7
X2+X3>9
X3+X4>12
X4+X5>8
X5+X6>6
Xi>0（i=1,2,3,4,5,6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
第一班安排7人，
第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二、第六
班不安排人。
总人数为
25人。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为
:
25
变量
最优解
相差值
X1
7
0
x2
0
0
x3
10
0
x4
2
0
x5
6
0
x6
0
0
约束
松弛/剩余变量
对偶价格
1
3
.0
2
0
-1
3
1
.0
4
0
--1
5
0
.0
6
0
--1
目标函数系数范围
变量
下限
当前值
上限
X1
0
.1
1
x2
1
1
无上限.
x3
0
.1
1
x4
1
.1
2
x5
0
1
1
x6
1
1
无上限
常数项数范围:
约束
下限
当前值
上限
1
无下限
4
7
2
4
7
无上限
3
无下限
9
10
4
11
12
无上限
5
6
8
9
6
5
6
8
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。
班次
时间
所需人数
本段安排人数
上段安排人数
本段实际人数
多余人数
1
0:
00-4:
00
4
7
0
7
3
2
4:
00-8:
00
7
0
7
7
0
3
8:
00-12:
00
9
10
0
10
1
4
12:
00-16:
00
12
2
10
12
0
5
16:
00-20:
00
8
6
2
8
0
6
20:
00-24:
00
6
0
6
6
0
合计
46
25
50
4
松弛/剩余变量一栏就是上表的“多余人数”一列是各时间段安排所剩余的人数。
“对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5,因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8,因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人最优值解也必须增加1,因为是求最小化问题，所以对偶价格为-1;
第三个常数项由9增加到10,刚好将原来剩余的人用上，所以不会改变最优值；
第四个、第六个常数项与第二个常数项一样；
第五个常数项由2增加到3,因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人，但下个班就可以再少安排一个人，所以不会改变最优值；
本题的这种情况是每一个变量都会影响到两个时段的结果，所以在进行灵敏度分析时也必定要考虑这个因素，这里第一个时段是特殊情况（有资源剩余），其余的时段分析时相邻
两个是相互影响的。
因此，第2时段为-1，第3时段为0,后面的依次相反。
若第2时段为
0，则第3时段就为-1。
第二步：
考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：
minf=x1+x2+x3+x5+x6
X6+X1>4
X什x2>7
X2+X3>9
X3+X4>12
X4+X5>8
X5+X6>6
Xi>0（i=1,2,3,4,5,6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
即：
总人数还是25人，但每班安排人数有所调整：
第一班不安排人，第二班安排7人，第三班安排2人，第四班安排10人，第五班安排
120
200
30-1
400
520
60-1
目标函数系数范围：
变量
下限
当前值
上限
x1
0
1
无上限
x2
1
1
2
x3
0
1
1
x4
0
0
1
x5
1
1
无上限
x6
0
1
1
常数项数范围：
约束
下限
当前值
上限
1
无下限
4
6
2
5
7
9
3
7
9
11
4
10
12
无上限
5
无下限
8
10
6
4
6
无上限
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。
班次
时间
所需人数
本段安排人数
上段安排人数
本段实际人数
多余人数
1
0:
00-4:
00
4
0
6
6
2
2
4:
00-8:
00
7
7
0
7
0
3
8:
00-12:
00
9
2
7
9
0
4
12:
00-16:
00
12
10
2
12
0
5
16:
00-20:
00
8
0
10
10
2
6
20:
00-24:
00
6
6
0
6
0
合计
46
25
50
4
“对偶价格”一栏。
增加一人，就需要新安排一人所以对偶价格-1；
第四个、第五个、第六个常数项与前三个常数项一样;
某塑料厂要用四种化学配料生产一种塑料产品，这四种配料分别由A、B、C三种化学
原料配制，三种化学原料的配方及原料价格如下表：
配料
1
2
3
4
价格（元/公斤）
含原料A（%）
30
40
20
15
11
含原料B（%）
20
30
60
40
13
含原料C（%）
40
25
15
30
12
要配制的塑料产品中，要求含有20%的原料A，不少于30%的材料B和不少于20%的原料C。
由于技术原因，配料1的用量不能超过30%，配料2的用量不能少于40%。
第一次配制的塑料产品不能少于5公斤。
请设计一套配料方案，使总的成本为最低。
解：
线性规划数学模型:
minf=+++
=0
++A0
+
x1+x2+x3+x4A5xiA0（i=1，2，3，4，）将模型代入到线性规划求解模板，得结果：
用配料1，1.5公斤；用配料2，0.1公斤；用配料3，0公斤；用配料4，3.4公斤；花费总的最低成本元。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为
变量
最优解
相差值
x1
0
x2
.1
0
x3
0
x4
0
约束
松弛/剩余变量
对偶价格
1
0
2
.19
0
3
.645
0
4
0
5
0
6
0
目标函数系数范围
变量
下限
当前值
上限
x1
无上限
x2
x3
无上限
x4
常数项数范围:
约束
下限
当前值
上限
1
0
.475
2
无下限
0
.19
3
无下限
0
.645
4
0
.167
5
0
无上限
6
0
5
无上限
本问题的相差值栏，x3的相差值为，表示目前配料3
的成本太高，无法选用，若该配
料的成本再降低元就可以选取用。
松弛/剩余变量栏：
前五个给条件都表示的是配料或原料的配比关系。
松弛/剩余变量为
0关系表示已完全按要求配比，不为0的表示没有达到配比要求。
第五个约束是总产品的产量最低限，松弛/剩余变量为0表示已达到产量要求。
关五个约束的对偶价格表示配料或者说原料不匹配时，对总费用的影响。
不为0的对偶价格表示配比每差一个单位都会使总费用的增加量。
第五个对偶价格是每增加一公斤的产品，需要增加的费用值。
在学数项取值范围栏：
前五个约束在常数项在这个范围内，保持上述的对偶价格，而此时的上限都不高，说明这个最优方案中的匹配关系失衡并不严重，若比例失衡将会导致费用的增加比例更大。
对五个对偶价格实际上说明了该产品的绝对成本，在这个方案下，生产多少的产品都是这个成本构成。
某工厂生产i、n、川、w四种产品，产品i需经过a、B两种机器加工，产品n需
经过A、C两种机器加工，产品川需经过B、C两种机器加工，产品W需经过A、B两种机器
加工。
有关数据见下表所示：
产品
机器生产率（件/小时）
原料成本（元/件）
产品价格（元/件）
A
B
C
I
10
20
16
65
n
20
10
25
80
出
10
15
12
50
IV
20
10
18
70
机器成本（元/小时）
200
150
225
每周可用机时数
150
120
70
请为该厂制定一个最优生产计划。
解：
线性规划数学模型：
maxZ=xi+X2+8X3+27X4
2xi+X2+X4<3000xi+2x3+2x4W24003x2+4x3<4200
x>0（i=1,2,……4）
用Excel线性规划求解模板求解得：
最优生产方案：
产品I生产267件；
产品H生产1400件;
产品川不安排生产；产品W生产1067件。
可获得的最高利润：
元。
灵敏度分析报告：
即：
目标函数最优值为：
变量
最优解
相差值
x1
0
x2
1400
0
x3
0
x4
0
约束
松弛/剩余变量
对偶价格
1
0
2
0
3
0
目标函数系数范围
变量
下限
当前值
上限
x1
45
x2
无上限
x3
无下限
8
x4
27
43
常数项数范围：
约束
下限
当前值
上限
1
2600
3000
6200
2
800
2400
3200
3
0
4200
5400
此模型的最优解中，四个变量有三个变量不为0，即需要安排生产，另一个为0的变
量表示产品川由于成本高或价格低，使所获的利润太低，不值得生产。
从相差值栏可见，该产品的单位利润需要再增加元才值得生产。
松弛/剩余变量栏中三个数据都为0,表示该决策中所提供三种设备的机时都已全部利
用，没有剩余；从对偶价格栏还可以看到三种设备的机时虽然都已用尽，但此时对三种设备
增加机时，则设备B所带来的总利润为最多。
因此设备B是瓶径。
从约束条件的取值范围
也可以看到这一点，因为设备B的机时取值范围最小，因此该设备是关键。
某企业生产I、n两种产品，市场两种产品的需求量为：
产品I在1-4月份每月需1
万件，5-9月份每月需3万件，10-12月份每月需10万件；产品H在3-9月份每月需万件，其他月份每月需5万件。
该企业生产这两种产品的成本为：
产品I在1-5月份生产时每件5
元，6-12月份生产时每件元；产品H在1-5月份生产时每件8元，6-12月份生产时每件7元；该企业每月生产两种产品的能力总和不超过12万件。
产品I容积为每件立方米，产品
H容积为每件立方米。
该企业仓库容积为万立方米。
要求：
1、问该企业应如何安排生产，使总的生产加工储存费用为最少，建立线性规划数学模型并求解，若无解请说明原因。
2、若该企业的仓库容积不足时，可从外厂租借。
若占用本企业的仓库每月每立方米需1万元的储存费，而租用外厂仓库时其储存费用为每月每立方米万元，试问在满足市场需求情况下，该企业又应如何安排生产，使总的生产加储存费用为最少。
解：
1、这是一个72个变量、60个约束条件的线性规划问题，若不考虑外厂租借仓库，则无法求解（无解），只有考虑外厂租借仓库才能解决本问题。
分析及解决过程和结果可见下表：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
仓容
外存
销售量（千件）
10
10
10
10
30
30
30
30
30
100
100
100
产
成本（元、件）
5
5
5
5
5
品
产量（件）
x1=10
x2=10
x3=10
x4=10
x5=30
x6=30
x7=30
x8=45
x9=105
x10=70
x1仁70
x12=70
I
总容积（千m3）
库存数
x25=0
x26=0
x27=0
x28=0
x29=0
x30=0
x3仁0
x32=15
x33=90
x34=60
x35=30
x36=0
销售量（千件）
50
50
15
15
15
15
15
15
15
50
50
50
产
成本（元、件）
8
8
8
8
8
7
7
7
7
7
7
7
15000
容量
不限
品
产量（件）
x13=50
〈14=50
〈15=15
x16=15
x17=15
x18=15
x19=15
x20=15
x21=15
x22=50
x23=50
x24=50
（m3）
n
总容积（千m3）
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