北师大版九年级数学下册第二章 二次函数练习题.docx

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北师大版九年级数学下册第二章二次函数练习题

第二章　二次函数

1．对于二次函数y＝－（x－1）2＋2的图象与性质，下列说法正确的是（　　）

A．对称轴是直线x＝1，最小值是2

B．对称轴是直线x＝1，最大值是2

C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2

D．对称轴是直线x＝－1，最大值是2

2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－Y－1所示，则（　　）

A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0

C．b＜0，c＜0D．b＜0，c＞0

图2－Y－1　　　　

图2－Y－2

3．将如图2－Y－2所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式是（　　）

A．y＝（x－1）2＋1B．y＝（x＋1）2＋1

C．y＝2（x－1）2＋1D．y＝2（x＋1）2＋1

4已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图2－Y－3所示，以下四个结论：

①a＞0；②c＞0；③b2－4ac＞0；④－

＜0，正确的是（　　）

A．①②B．②④

C．①③D．③④

图2－Y－3　　　

图2－Y－4

5．如图2－Y－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－1，给出下列结论：

①b2＝4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a－2b＋c＞0，其中正确的有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

6．若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是________．

7．如图2－Y－5，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴直线x＝1对称，则点Q的坐标为________．

8．已知函数y＝－（x－1）2的图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1________y2（填“＜”“＞”或“＝”）．

图2－Y－5

图2－Y－6

9．如图2－Y－6，图中二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），则下列命题中正确的有________（填序号）．

①abc＞0；②b2＜4ac；③4a－2b＋c＞0；④2a＋b＞c.

10．如图2－Y－7是抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2＝mx＋n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

图2－Y－7

①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（－1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax＋b）≤a＋b，其中正确的结论是________．（只填序号）

11．已知函数y＝－x2＋（m－1）x＋m（m为常数）．

（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．1或2

（2）求证：

不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x＋1）2的图象上；

（3）当－2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．

12．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元/个）有如下关系：

y＝－x＋60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）这种双肩包销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少？

13．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．

（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；

（2）求出水柱的最大高度是多少．

图2－Y－8

14．我们知道，经过原点的抛物线可以用y＝ax2＋bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：

（1）当抛物线经过点（－2，0）和（－1，3）时，求抛物线的表达式；

（2）当抛物线的顶点在直线y＝－2x上时，求b的值；

（3）如图2－Y－9，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1，A2，…，An在直线y＝－2x上，横坐标依次为－1，－2，－3，…，－n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．

图2－Y－9

详解详析

1．B

2．B　[解析]∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口向下，∴a＜0.

∵二次函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0.

∵对称轴为直线x＝－

＞0，∴b＞0.故选B.

3．C　[解析]由图象，得原抛物线的表达式为y＝2x2－2.

由平移规律，得平移后所得抛物线的表达式为y＝2（x－1）2＋1，故选C.

4．C　[解析]∵抛物线开口向上，∴a＞0，结论①正确；

∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，

∴c＜0，结论②错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2－4ac＞0，结论③正确；

∵抛物线的对称轴在y轴右侧，

∴－

＞0，结论④错误．

故选C.

5．C　[解析]∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b2－4ac＞0，∴①错误；

∵抛物线开口向上，∴a＞0.

∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，

∴a，b同号，∴b＞0.

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，

∴abc＞0，

∴②正确；

∵x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0.

∵对称轴为直线x＝－1，∴－

＝－1，

∴b＝2a，

∴a－2a＋c＜0，即a＞c，

∴③正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，

∴x＝－2和x＝0时的函数值相等，即x＝－2时，y＞0，

∴4a－2b＋c＞0，∴④正确．

∴正确的有②③④，3个，

故选C.

6．m>9　[解析]由Δ＝b2－4ac＝（－6）2－4×1×m<0，解得m>9.

7．（－2，0）　[解析]设Q（a，0），由对称性知，

＝1，∴a＝－2.即Q（－2，0）．

8．＞　[解析]∵函数y＝－（x－1）2，图象的对称轴是直线x＝1，开口向下，

∴当x＞1时，y随x的增大而减小．

∵函数图象上两点A（2，y1），B（a，y2），a＞2，

∴y1＞y2.故答案为：

＞.

9．①③④　[解析]∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，

∴a＞0，－

＞0，c＜0，

∴b＜0，∴abc＞0，①正确；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2－4ac＞0，即b2＞4ac，②错误；

当x＝－2时，y＝4a－2b＋c＞0，③正确；

∵0＜－

＜1，

∴－2a＜b＜0，

∴2a＋b＞0＞c，④正确．

故答案为：

①③④.

10．②⑤　[解析]根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．由图象可知：

a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误；观察图象可知，抛物线与直线y＝3只有一个交点，故方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，故②正确；

根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（－2，0），故③错误；观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误；因为当x＝1时，y1有最大值，所以ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，即x（ax＋b）≤a＋b，故⑤正确．

所以②⑤正确．故答案为②⑤.

11．[解析]

（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；

（2）将二次函数表达式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象上即可；

（3）根据m的范围确定出顶点纵坐标的范围即可．

解：

（1）∵函数y＝－x2＋（m－1）x＋m（m为常数），

∴Δ＝（m－1）2＋4m＝（m＋1）2≥0，

则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2.故选D.

（2）证明：

y＝－x2＋（m－1）x＋m＝－（x－

）2＋

，其图象顶点坐标为（

，

）．

把x＝

代入y＝（x＋1）2，得y＝（

＋1）2＝

，故不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x＋1）2的图象上．

（3）设z＝

，

当m＝－1时，z有最小值为0；

当m＜－1时，z随m的增大而减小；

当m＞－1时，z随m的增大而增大．

当m＝－2时，z＝

；当m＝3时，z＝4.

则当－2≤m≤3时，该函数图象的顶点纵坐标z的取值范围是0≤z≤4.

12．解：

（1）w＝（x－30）y＝（x－30）（－x＋60）＝－x2＋90x－1800.

所以w与x之间的函数关系式为w＝－x2＋90x－1800（30≤x≤60）．

（2）w＝－x2＋90x－1800＝－（x－45）2＋225.

∵－1<0，∴当x＝45时，w有最大值为225.

答：

销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润为225元．

（3）当w＝200时，可得方程－（x－45）2＋225＝200.

解得x1＝40，x2＝50.

∵50＞42，

∴x2＝50不符合题意，应舍去．

答：

该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元/个．

13．解：

（1）所建直角坐标系不唯一，如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

由题意可设抛物线的表达式为y＝a（x－1）2＋h（0≤x≤3）．

抛物线过点（0，2）和（3，0），代入抛物线表达式可得

解得

∴水柱抛物线的表达式为y＝－

（x－1）2＋

（0≤x≤3）．化为一般式为y＝－

x2＋

x＋2（0≤x≤3）．

（2）由

（1）知抛物线的表达式为y＝－

（x－1）2＋

（0≤x≤3）．当x＝1时，y最大＝

.

∴水柱的最大高度为

米．

14．解：

（1）∵抛物线y＝ax2＋bx经过点（－2，0）和（－1，3），

∴

解得

∴抛物线的表达式为y＝－3x2－6x.

（2）∵抛物线y＝ax2＋bx的顶点坐标是

（－

，－

），

且该点在直线y＝－2x上，

∴－

＝－2×（－

）．

∵a≠0，∴－b2＝4b，

解得b1＝－4，b2＝0.

（3）这组抛物线的顶点A1，A2，…，An在直线y＝－2x上，

由

（2）可知，b＝－4或b＝0.

①当b＝0时，抛物线的顶点在坐标原点，不合题意，舍去；

②当b＝－4时，抛物线的表达式为y＝ax2－4x.

由题意可知，第n条抛物线的顶点为An（－n，2n），则Dn（－3n，2n）．

∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第（n＋k）（k为正整数）条抛物线经过点Dn，此时第（n＋k）条抛物线的顶点坐标是An＋k（－n－k，2n＋2k），

∴－

＝－n－k，

∴a＝

＝－

，

∴第（n＋k）条抛物线的表达式为y＝－

x2－4x.

∵Dn（－3n，2n）在第（n＋k）条抛物线上，

∴2n＝－

×（－3n）2－4×（－3n），解得k＝

n.

∵n，k为正整数，且n≤12，

∴n1＝5，n2＝10.

当n＝5时，k＝4，n＋k＝9；

当n＝10时，k＝8，n＋k＝18＞12（舍去），

∴D5（－15，10），

∴正方形的边长是10.