K12推荐学习全国通用版高中物理 第十六章 动量守恒定律 第二节 动量和动量定.docx

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K12推荐学习全国通用版高中物理第十六章动量守恒定律第二节动量和动量定

第二节　动量和动量定理

　学习目标

※

理解动量和冲量的概念，知道动量和冲量是矢量

※

知道动量的变化也是矢量，会正确计算一维的动量变化

※※

掌握动量定理，并会应用它解决实际问题

　知识导图

知识点1　动量

1．定义

运动物体的__质量__和它的__速度__的乘积叫做物体的动量。

2．表达式

p＝__mv__。

3．单位

__千克米每秒__，符号__kg·m·s－1__。

4．方向

动量是矢量，它的方向与__速度的__方向相同。

知识点2　动量的变化量

1．动量的变化

因为p＝mv，是矢量，只要m的大小，v的大小和v的方向三者中任何一个发生了__变化__，动量p就发生变化。

2．动量的变化量

（1）定义：

物体在某段时间内__末动量__与__初动量__的矢量差（也是矢量），Δp＝__p′－p__。

（2）Δp＝p′－p，此式为矢量式，若p′、p不在同一直线上时，要用__平行四边形__定则（或矢量三角形定则）求矢量差，若在同一直线上，先规定正方向，再用正、负表示p、p′，可用Δp＝p′－p＝__mvt－mv0__进行代数运算求解。

知识点3　冲量

1．定义

__力__与__力的作用时间__的乘积叫力的冲量。

2．表达式

I＝__F·t__

3．方向

冲量是矢量，冲量的方向与__力的__方向一致，冲量的方向跟__动量变化__的方向一致。

4．冲量的单位

在国际单位制中是“__牛顿·秒__”，符号“__N·s__”

知识点4　动量定理

1．内容

物体在一个过程始末动量的__变化量__等于它在这个过程中__所受力__的冲量。

2．表达式

__mv′－mv＝F（t′－t）__或__p′－p＝I__

3．动量定理的应用

碰撞时可产生冲击力，要增大这种冲击力就要设法__减少__冲击力的作用时间。

要防止冲击力带来的危害，就要减小冲击力，设法__延长__其作用时间。

预习反馈

『判一判』

（1）动量大的物体惯性一定大。

（×）

（2）物体的动量相同，其动能一定也相同。

（×）

（3）做直线运动的物体速度增大时，动量的变化量Δp的方向与运动方向相同。

（√）

（4）冲量是矢量，其方向与恒力的方向相同。

（√）

（5）力越大，力对物体的冲量越大。

（×）

（6）若物体在一段时间内，其动量发生了变化，则物体在这段时间内的合外力一定不为零。

（√）

『选一选』

（山东省寿光实验中学2016～2017学年高二下学期检测）如图所示，篮球运动员接传来的篮球时，通常要先伸出两臂迎接，手接触到球后，两臂随球迅速引至胸前，这样做可以（　C　）

A．减小球的动量的变化量

B．减小球对手作用力的冲量

C．减小球的动量变化率

D．延长接球过程的时间来减小动量的变化量

解析：

篮球的动量变化量一定，所以球对手的冲量也一定，A、B、D错误；由动量定理F·Δt＝Δp，可知Δt增大，减小了球的动量变化率，C正确。

『想一想』

鸡蛋从一米多高的地方自由落到地板上，肯定会被打破。

现在，在地板上放一块厚泡沫塑料垫，让鸡蛋从同一高度自由落下，使鸡蛋落到泡沫塑料垫上，看鸡蛋会不会被打破，思考其中的道理。

解析：

鸡蛋落地动量变化ΔP一定，鸡蛋落到塑料垫上时，作用时间Δt变大，根据动量定理F·Δt＝ΔP，可知鸡蛋所受的撞击力减小，所以鸡蛋不会破。

探究一　对动量的理解　

S

1

如图所示，运动员挥拍将质量为m的网球击出。

如果网球被拍子击打前、后瞬间速度的大小均为v，请思考：

网球动量的变化量是零吗？

提示：

不是。

动量是矢量，其变化量为2mv。

G

1．动量的性质

（1）瞬时性

求动量时要明确是哪一物体在哪一状态（时刻）的动量，p＝mv中的速度v是瞬时速度。

（2）矢量性

动量的方向与物体的瞬时速度的方向相同，有关动量的运算，如果物体在一条直线上运动，则选定一个正方向后，动量的矢量运算就可以转化为代数运算了。

（3）相对性

指物体的动量与参考系的选择有关，选不同的参考系时，同一物体的动量可能不同，通常在不说明参考系的情况下，物体的动量是指物体相对地面的动量。

2．动量与速度、动能的区别和联系

（1）动量与速度

a．区别：

速度描述物体运动的快慢和方向；动量在描述物体运动方面更进一步，更能体现运动物体的作用效果。

b．联系：

动量和速度都是描述物体运动状态的物理量，都是矢量，动量的方向与速度方向相同，p＝mv。

（2）动量和动能的比较

动量

动能

物理意义

描述机械运动状态的物理量

定义式

p＝mv

Ek＝

mv2

标矢性

矢量

标量

变化决定因素

物体所受冲量

外力所做的功

换算关系

p＝

，Ek＝

特别提醒：

动量是矢量，比较两个物体的动量时，不能仅比较大小，也应比较方向，只有大小相等、方向相同的两个动量才能相等。

D

典例1　2017年3月23日，世界杯预选赛在北京举行，中国队以1∶0力克韩国队，比赛中，一足球运动员踢一个质量为0.4kg的足球。

（1）若开始时足球的速度是4m/s，方向向右，踢球后，球的速度为10m/s，方向仍向右（如图甲），则足球的初动量p＝__1.6kg·m/s__，方向__向右__，足球的末动量p′＝__4kg·m/s__，方向__向右__；在这一过程中足球动量的改变量Δp＝__2.4kg·m/s__，方向__向右__。

（2）若足球以10m/s的速度撞向球门门柱，然后以3m/s速度反向弹回（如图乙），则这一过程中足球的动量改变量是__5.2kg·m/s__，方向__向左__；动能改变量是__18.2J__。

解题指导：

（1）切记动量是矢量，其方向与速度方向相同。

（2）动量的变化量Δp＝p′－p是矢量式，当p′、p在同一直线上时，可规定正方向，将矢量运算转化为代数运算。

解析：

（1）取向右为正方向，初、末动量分别为

p＝mv＝0.4×4kg·m/s＝1.6kg·m/s，方向向右

p′＝mv′＝0.4×10kg·m/s＝4kg·m/s，方向向右

动量的改变量为Δp＝p′－p＝2.4kg·m/s，方向向右。

（2）取向右为正方向，初、末动量分别为

p1＝mv′＝0.4×10kg·m/s＝4kg·m/s，方向向右

p2＝mv″＝0.4×（－3）kg·m/s＝－1.2kg·m/s，方向向左，

动量的改变量为Δp′＝p2－p1＝－5.2kg·m/s，负号表示方向向左。

ΔEk＝

mv′2－

mv″2＝18.2J。

〔对点训练1〕　（辽宁省大连市第二十四中学2017～2018学年高一下学期期中）一个力作用在一物体上，下列叙述中正确的是（　B　）

A．若力对物体做的功为零，则物体的动量变化量一定为零

B．若力的冲量为零，则物体的动能变化量一定为零

C．物体动量变化量的方向不可能与末动量方向相同

D．物体动量变化量的方向不可能与末动量方向垂直

解析：

合外力做功为零动能不变，但合外力的冲量不一定为零，则动量的变化不一定为零，如匀速圆周运动，其合力做功为零，但其动量始终在变化，故A错误；物体所受的合外力的冲量为零，则动量变化一定为零，即物体的速度不变，故动能不变，所以动能的变化量一定为零，故B正确；物体动量变化量的方向可能与末动量方向相同，比如做匀加速直线运动的物体，故C错误；物体动量变化量的方向可能与末动量方向垂直，比如做斜上抛运动到最高点，末动量的方向在水平方向，动量的变化量在竖直方向上，故D错误。

探究二　对冲量的理解　

S

2

如图所示，一个小孩沿水平方向用最大的力F推静止在水平地面上的小汽车，但推了很久时间t都无法使它运动，就这个问题两个同学展开讨论。

甲同学说：

汽车没动是因为小孩给汽车的推力的冲量为零。

乙同学说：

小孩给汽车的推力的冲量不为零，汽车没动是因为它所受的合力的冲量为零。

谁说得对？

提示：

小孩给汽车的推力的冲量大小为

I＝F·t。

汽车没动说明它所受的合力为零，故其合外力的冲量为零。

G

1．对冲量的理解

（1）冲量是过程量：

冲量描述的是作用在物体上的力对时间的积累效应，与某一过程相对应。

（2）冲量的矢量性：

冲量是矢量，在作用时间内力的方向不变时，冲量的方向与力的方向相同，如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同。

（3）冲量的绝对性：

冲量仅由力和时间两个因素决定，具有绝对性。

2．冲量的计算

（1）单个力的冲量：

利用公式I＝Ft计算。

（2）合力的冲量：

①如果是一维情形，可以化为代数和，如果不在一条直线上，求合冲量遵循平行四边形定则。

②两种方法：

可分别求每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和；另外，如果各个力的作用时间相同，也可以先求合力，再用公式I合＝F合·Δt求解。

③变力的冲量：

用动量定理列式求解。

特别提醒：

（1）冲量是矢量，求冲量的大小时一定要注意是力与其对应的时间的乘积。

（2）判断两个力的冲量是否相同，必须满足冲量的大小和方向都相同，缺一不可。

D

典例2　如图所示，质量为2kg的物体沿倾角为30°，高为5m的光滑斜面由静止从顶端下滑到底端的过程中，g取10m/s2，求：

（1）重力的冲量；

（2）支持力的冲量；

（3）合力的冲量。

解题指导：

→

→

→

解析：

由于物体下滑过程中各个力均为恒力，所以只要求出物体下滑的时间，便可以用公式I＝F·t逐个求解。

由牛顿第二定律得：

a＝

＝g·sinθ＝5m/s2

由x＝

at2，得t＝

＝

＝2s。

重力的冲量为

IG＝mg·t＝2×10×2N·s＝40N·s，方向竖直向下。

支持力的冲量为

IN＝N·t＝mgcosθ·t＝20

N·s，方向垂直于斜面向上。

合力的冲量为I合＝F合·t＝mgsinθ·t＝20N·s，方向沿斜面向下。

答案：

（1）40N·s，方向竖直向下

（2）20

N·s，方向垂直于斜面向上

（3）20N·s，方向沿斜面向下,

〔对点训练2〕　关于冲量，下列说法正确的是（　A　）

A．冲量是物体动量变化的原因

B．作用在静止的物体上的力的冲量一定为零

C．动量越大的物体受到的冲量越大

D．冲量的方向就是物体运动的方向

解析：

力作用一段时间便有了冲量，而力作用一段时间后，物体的运动状态发生了变化，物体的动量也发生了变化，因此说冲量使物体的动量发生了变化，A选项正确；只要有力作用在物体上，经历一段时间，这个力便有了冲量I＝Ft，与物体处于什么状态无关，物体运动状态的变化情况，是所有作用在物体上的力共同产生的效果，所以B选项不正确；物体所受冲量I＝Ft与物体动量的大小p＝mv无关，C选项不正确；冲量的方向与物体运动的方向无关，故D选项不正确。

探究三　对动量定理的理解和应用　

S

3

从高处跳到低处时，为了安全，一般都要屈腿（如图所示），这样做是为了什么？

提示：

人落地动量变化一定，屈腿下蹲延缓了人落地时动量变化所用的时间，依动量定理可知，这样就减小了地面对人的冲力。

G

1．对动量定理的理解

（1）动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因。

（2）动量定理的表达式是矢量式，它说明合外力的冲量跟物体动量变化量不仅大小相等，而且方向相同。

运用动量定理主要是一维的问题，要注意正方向的规定。

（3）动量的变化率和动量的变化量

由动量定理可以得出F＝

，它说明动量的变化率决定于物体所受的合外力。

而由动量定理I＝Δp知动量的变化量决定于合外力的冲量，它不仅与物体的受力有关，还与力的作用时间有关。

2．动量定理的应用

（1）应用动量定理FΔt＝Δp定性解释常见物理现象。

由上式可以看出如果保持Δp一定，则力作用的时间越短，冲力就越大。

因此在需要增大作用力时，可尽量减少作用的时间，如打击、碰撞等由于作用时间短、作用力往往较大。

反之，作用时间越长，力F就越小，因此在需要减小作用力的时候，可想办法延长力的作用时间，如利用海棉或弹簧的缓冲作用来延长作用时间，达到减小作用力的目的。

（2）应用I＝Δp求变力的冲量。

如果物体受到大小、方向不变的力的作用，既可以应用FΔt求力的冲量，也可以应用物体动量改变Δp的大小和方向来替代力的冲量。

如果物体受到大小、方向改变的力的作用，则不能直接用FΔt求变力的冲量，这时可以求在该力冲量作用下物体动量改变Δp的大小和方向，替代变力的冲量。

3．应用动量定理解题的一般步骤

a．选定研究对象，明确运动过程。

b．进行受力分析和运动的初、末状态分析。

c．选定正方向，根据动量定理列方程求解。

D

典例3　用0.5kg的铁锤把钉子钉进木头里，打击时铁锤的速度v＝4.0m/s，如果打击后铁锤的速度变为0，打击的作用时间是0.01s，那么：

（1）不计铁锤受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？

（2）考虑铁锤受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力又是多大？

（g取10m/s2）

（3）比较

（1）和

（2），讨论是否要计铁锤的重力。

解题指导：

→

→

→

解析：

（1）以铁锤为研究对象，不计重力时，只受钉子的作用力，方向竖直向上，设为F1，取竖直向上为正，由动量定理可得F1t＝0－mv

所以F1＝－

N＝200N，方向竖直向上。

由牛顿第三定律和铁锤钉钉子的作用力为200N，方向竖直向下。

（2）若考虑重力，设此时受钉子的作用力为F2，对铁锤应用动量定理，取竖直向上为正。

（F2＋mg）t＝0－mv（矢量式）

F2＝

N－0.5×（－10）N＝205N，方向竖直向上。

由牛顿第三定律知，此时铁锤钉钉子的作用力为205N，方向竖直向下。

（3）比较F1与F2，其相对误差为

×100%＝2.5%，可见本题中重力的影响可忽略。

答案：

（1）200N，方向竖直向下　

（2）205N，方向竖直向下　（3）见解析,

〔对点训练3〕　（河北省唐山市2017～2018学年高三上学期期末）1998年6月18日，清华大学对富康轿车成功地进行了中国轿车史上的第一次碰撞安全性实验，成为“中华第一撞”，从此，我国汽车整体安全性碰撞实验开始与国际接轨，在碰撞过程中，关于安全气囊的保护作用认识正确的是（　C　）

A．安全气囊的作用减小了驾驶员的动量变化

B．安全气囊减小了驾驶员受到撞击力的冲量

C．安全气囊主要是减小了驾驶员的动量变化率

D．安全气囊延长了撞击力的作用时间，从而使得动量变化更大

解析：

在碰撞过程中，人的动量的变化量是一定的，而用安全气囊后增加了作用的时间，根据动量定理Ft＝ΔP可知，可以减小驾驶员受到的冲击力，即是减小了驾驶员的动量变化率，故选C。

动量定理分量式的应用技巧

根据力与运动的独立性原理，动量定理也可记为Fxt＝Δpx，Fyt＝Δpy。

即某一方向上的力的冲量只能引起这个方向上的动量变化，而不引起其他方向的动量变化。

案例　（2016·北京理综，24）动量定理可以表示为Δp＝FΔt，其中动量p和力F都是矢量。

在运用动量定理处理二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。

例如，质量为m的小球斜射到木板上，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前后的速度大小都是v，如图所示。

碰撞过程中忽略小球所受重力。

（1）分别求出碰撞前后x、y方向小球的动量变化Δpx、Δpy；

（2）分析说明小球对木板的作用力的方向。

解析：

（1）x方向：

动量变化为Δpx＝mvsinθ－mvsinθ＝0y方向：

动量变化为Δpy＝mvcosθ－（－mvcosθ）＝2mvcosθ方向沿y轴正方向。

（2）根据动量定理可知，木板对小球作用力的方向沿y轴正方向，根据牛顿第三定律可知，小球对木板作用力的方向沿y轴负方向。

1．（多选）（吉林省吉林二中2016～2017学年高二下学期期中）对于质量一定的物体，下列叙述中正确的是（　BD　）

A．物体的动能发生变化，其动量不一定变化

B．物体的动能变化，其动量必定变化

C．物体的动量发生变化，其动能必定变化

D．物体的动量发生变化，其动能不一定变化

解析：

物体的动能变化，速度大小一定变化，则动量一定变化。

故A错误，B正确；物体的动量发生变化，速度可能只方向改变，所以动能不一定变化。

故C错误，D正确。

故选：

BD。

2．（山西省怀仁县八中2016～2017学年高二下学期期中）如图所示为某运动员用头颠球，若足球用头顶起，每次上升高度为80cm，足球的重量为400g，与头顶作用时间Δt为0.1s，则足球一次在空中的运动时间及足球给头部的作用力大小分别是（空气阻力不计，g＝10m/s2）（　C　）

A．t＝0.4s，FN＝40NB．t＝0.4s，FN＝36N

C．t＝0.8s，FN＝36ND．t＝0.8s，FN＝40N

解析：

t＝2

＝0.8s，V＝

＝4m/s，（FN－mg）Δt＝2mv，FN＝36N，＝

＝32N，故选C。

3．（广东深圳市南山区2017～2018学年高三质验）如图所示，物体由静止开始做直线运动，0～4s内其合外力随时间变化的关系为某一正弦函数，下列表述错误的是（　C　）

A．0～2s内合外力的冲量一直增大

B．0～4s内合外力的冲量为零

C．2s末物体的动量方向发生改变

D．0～4s内物体的动量方向一直不变

解析：

根据I＝Ft可知，冲量的大小等于图像与坐标轴围成的面积，则0～2s内合外力的冲量一直增大，0～4s内合外力的冲量为零，选项A、B正确；2s末物体受到的冲量为正值，则动量方向为正，方向没变，选项C错误；0～4s内合外力的冲量为零，则0～4s内物体受到的冲量一直为正，则物体动量方向一直不变，选项D正确；此题选择错误的，故选C。

4．（多选）（宁夏育才中学2017～2018学年高三第四次月考）一质量m＝0.10kg的小钢球以大小为v0＝10m/s的速度水平抛出，下落h＝5.0m时撞击一钢板，撞后速度恰好反向，且速度大小不变。

已知小钢球与钢板的作用时间极短，取g＝10m/s2，则（　BD　）

A．钢板与水平面的夹角θ＝60°

B．小钢球从水平抛出到刚要撞击钢板的过程中重力的冲量大小为1N·s

C．小钢球撞击钢板的过程中其动量的变化量的大小为10

kg·m/s

D．钢板对小钢球的冲量大小为2

N·s

解析：

小钢球撞击钢板时的竖直分速度vy＝

＝10m/s，设小球的速度方向与水平方向的夹角为α，则tanα＝

＝

＝1，解得α＝45°，即钢板与水平面的夹角θ＝45°，选项A错误；小钢球从水平抛出到刚要撞击钢板时所飞行的时间t＝

＝1s，重力冲量I＝mgt＝1N·s，选项B正确；取垂直斜面向上为正方向，刚要撞击钢板时小钢球速度的大小为v1＝

v0＝10

m/s，动量P1＝－mv1＝－

kg·m/s；撞后小钢球的速度v2＝10

m/s，动量p2＝mv2＝

kg·m/s，小钢球的动量变化Δp＝p2－p1＝2

kg·m/s，由动量定理可知，钢板对小钢球的冲量大小I＝Δp＝2

N·s，选项C错误，D正确。

基础夯实

一、选择题（1～3题为单选题，4、5题为多选题）

1．（河南省信阳市2016～2017学年高二下学期期中）物体的动量变化量的大小为5kg·m/s，这说明（　D　）

A．物体的动量在减小B．物体的动量在增大

C．物体的动量大小一定变化D．物体的动量大小可能不变

解析：

物体的动量变化量的大小为5kg·m/s，动量是矢量，动量变化的方向与初动量可能同向、可能反向、也可能不在同一条直线上，故物体的动量的大小可能增加、可能减小，也可能不变，故D正确，A、B、C错误。

故选D。

2．（山西省怀仁县八中2016～2017学年高二下学期期中）运动员向球踢了一脚（如图），踢球时的力F＝100N，球在地面上滚动了t＝10s停下来，则运动员对球的冲量为（　D　）

A．1000N·sB．500N·s

C．零D．无法确定

解析：

滚动了t＝10s是地面摩擦力对足球的作用时间。

不是踢球的力的作用时间，由于不能确定人作用在球上的时间，所以无法确定运动员对球的冲量。

3．质量为1kg的物体做直线运动，其速度图象如图所示。

则物体在前10s内和后10s内所受外力的冲量分别是（　D　）

A．10N·s,10N·sB．10N·s，－10N·s

C．0,10N·sD．0，－10N·s

解析：

由图象可知，在前10s内初、末状态的动量相同，p1＝p2＝5kg·m/s，由动量定理知I1＝0；在后10s内末状态的动量p3＝－5kg·m/s，由动量定理得I2＝p3－p2＝－10N·s，故正确答案为D。

4．古时有“守株待兔”的寓言，设兔子的头部受到大小等于自身体重的打击力时即可致死。

若兔子与树桩发生碰撞，作用时间为0.2s，则被撞死的兔子的奔跑的速度可能是（　CD　）

A．1m/sB．1.5m/s

C．2m/sD．2.5m/s

解析：

根据题意建立模型，设兔子与树桩的撞击力为F，兔子撞击后速度为零，根据动量定理有Ft＝mv，所以v＝

＝

＝gt＝10×0.2m/s＝2m/s。

5．（河南省安阳市三十六中2016～2017学年高二期中）从同一高度落下的玻璃杯，掉在水泥地上易碎，掉在软泥的地上不易碎。

这是因为（　CD　）

A．掉在水泥地上，玻璃杯的动量大

B．掉在水泥地上，玻璃杯的动量变化大

C．掉在水泥地上的玻璃杯动量改变快，掉在软泥地上的玻璃杯动量改变慢

D．掉在水泥地上，玻璃杯受到的冲量和掉在软泥地上一样大，但与水泥地的作用时间短，因而受到水泥地的作用力大

解析：

由同一高度落下的玻璃杯掉在水泥地上和软泥地上时的速度相同，动量相同，故选项A错误；最后速度减为零，动量变化量相同，故选项B错误；由动量定理可知落在水泥地上作用时间短，受到的作用力大，故选项C、D正确。

二、非选择题

6．在水平力F＝30N的作用下，质量m＝5kg的物体由静止开始沿水平面运动。

已知物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，若F作用6s后撤去，撤去F后物体还能向前运动多长时间才停止？

（g取10m/s2）

答案：

12s

解析：

用动量定理求解，研究全过程。

选物体作为研究对象，研究整个运动过程，这个过程的始、终状态的物体速度都等于零。

取水平力F的方向为正方向，根据动量定理得

（F－μmg）t1＋（－μmg）t2＝0

解得t2＝

t1＝

×6s＝12s。

7．一个质量为m＝0.4kg的足球以10m/s的速度水平飞向球门。

守门员跃起用双拳将足球以12m/s的速度反方向击出，守门员触球时间约为0.1s，问足球受到的平均作用力为多大？

方向如何？

答案：

88N，方向与原来速度方向相反

解析：

选定足球原运动方向为正方向。

根据动量定理

·Δt＝p′－p，这里

为足球在水平方向受到的平均作用力，Δt为击球的时间，p′为击球后足球的动量，p为足球原来的动量。

设足球的质量为m，击球先、后的速度分别为v和v′，于是可得到

＝

＝

＝

＝

N＝－88N。

可见，足球受到的平均作用力为88N，方向与原来速度方向相反。

能力提升

一、选择题（1～3题为单选题，4～5题为多选题）

1．（山东省济宁市2017～2018学年高三上学期期末）质量相同的子弹、橡皮泥和钢球以相同的水平速度射向竖直墙壁，结果子弹穿墙而过，橡皮泥粘在墙上，钢球被弹回。

不计空气阻力，关于它们对墙的水平冲量的大小，下列说法正确的是（　A　）

A．子弹对墙的冲量最小

B．橡皮泥对墙的冲量最小

C．