中考数学压轴题圆中证明及计算问题.docx

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中考数学压轴题圆中证明及计算问题

2020 年中考数学压轴题：

圆中证明及计算问题

【例 1】（2019·叶县一模）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 O 在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O

于点 D，连接 BD、CD，过点 D 作 BC 的平行线与 AC 的延长线相交于点 P．

（1）求证：

PD 是⊙O 的切线；

（2）求证：

AB•CP＝BD•CD；

（3）当 AB＝5 cm，AC＝12 cm 时，求线段 PC 的长．

【答案】见解析.

【解析】

（1）证明：

连接 OD．

∵∠BAD＝∠CAD，

∴弧 BD=弧 CD，

∴∠BOD＝∠COD＝90°，

∵BC∥PA，

∴∠ODP＝∠BOD＝90°，

即 OD⊥PA，

∴PD 是⊙O 的切线．

（2）证明：

∵BC∥PD，

∴∠PDC＝∠BCD．

∵∠BCD＝∠BAD，

∴∠BAD＝∠PDC，

∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，

∴∠ABD＝∠PCD，

∴△BAD∽△CDP，

∴ ABBD ，

CDCP

∴AB•CP＝BD•CD．

（3）∵BC 是直径，

∴∠BAC＝∠BDC＝90°，

∵AB＝5，AC＝12，

由勾股定理得：

BC＝13，

由（

）知，BCD 是等腰直角三角形，

∴BD＝CD＝ 13 2

，

∵AB•CP＝BD•CD．

∴PC＝ 169

．

【变式 1-1】（2018·焦作一模）如图，△ABC 内接于⊙O，且 AB=AC，延长 BC 到点 D，使 CD=CA，

连接 AD 交⊙O 于点 E．

（

）求证：

ABE≌△CDE；

（2）填空：

①当∠ABC 的度数为时，四边形 AOCE 是菱形；

②若 AE=6，BE=8，则 EF 的长为．

【解析】

（1）证明：

连接 CE，

∵AB=AC，CD=CA，

∴∠ABC=∠ACB，AB=CD，

∵四边形 ABCE 是圆内接四边形，

∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°，

∴∠ECD=∠BAE，

同理，∠CED=∠ABC，

∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，

∴∠CED=∠AEB，

∴△ABE≌△CDE；

（2）①60；

连接 AO、OC，

∵四边形 ABCE 是圆内接四边形，

∴∠ABC+∠AEC=180°，

∵∠ABC=60，

∴∠AEC=∠AOC=120°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

∵AB=AC，

∴△ABC 是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠ACB=∠CAD+∠D，AC=CD，

∴∠CAD=∠D=30°，

∴∠ACE=30°，

∴∠OAE=∠OCE=60°，

即四边形 AOCE 是平行四边形，

∵OA=OC，

∴四边形 AOCE 是菱形；

②由（

）得：

ABE≌△CDE，

∴BE=DE=8，AE=CE=6，∠D=∠EBC，

由∠CED=∠ABC=∠ACB，

得△ECD∽△CFB，

CF6

DEBC8

∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB，

∴△AEF∽△BCF，

∴

EF CF

AE BC

，

即

EF 6

6 8

【例 2】（2019·省实验一模）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 为 AB 上方的圆上一动点，过点 C 作⊙O

的切线 l，过点 A 作直线 l 的垂线 AD，交⊙O 于点 D，连接 OC，CD，BC，BD，且 BD 与 OC 交于点 E．

（

）求证：

CDE≌△CBE；

（2）若 AB＝4，填空：

①当弧 CD 的长度是时，△OBE 是等腰三角形；

②当 BC＝时，四边形 OADC 为菱形．

【答案】

（1）见解析；

（2）

2 ；2．

【解析】

（1）证明：

延长 AD 交直线 l 于点 F，

∵AD 垂直于直线 l，

∴∠AFC＝90°，

∵直线 l 为⊙O 切线，

∴∠OCF＝90°，

∴∠AFC＝∠OCF＝90°，

∴AD∥OC，

∵AB 为⊙O 直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠OEB＝90°，

∴OC⊥DB，

∴DE＝BE，∠DEC＝∠BEC＝90°，

∵CE＝CE，

∴△CDE≌△CBE；

（2）①如图 2，连接 OD，

由

（1）知∠OEB＝90°，

当△OBE 是等腰三角形时，

则△OEB 为等腰直角三角形，

∴∠BOE＝∠OBE=45°，

∵OD＝OB，OE⊥BD，

∴∠DOC＝∠BOE＝45°，

∵AB＝4，

∴OD＝2，

∴弧 CD 的长= 45π ⨯ 2 =；

1802

②当四边形 OADC 为菱形时，

则 AD＝DC＝OC＝AO＝2，

由

（1）知，BC＝DC，

∴BC＝2.

（

【变式 2-1】2019·河南南阳一模）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为 2，∠B=135°，

则弧 AC 的长为（）

A. 2πB. πC. π

【分析】根据弧长公式l = nπ r ，需先确定弧 AC 所对的圆心角∠AOC 的度数，再根据同弧所对的圆心

180

角是圆周角的 2 倍得到∠AOC=2∠D，根据圆内接四边形对角互补，求出∠D=180°－∠B=45°，再代入弧

长公式求解即可.

【解析】解：

∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，

∴∠D=180°－∠B=45°，

∴弧 AC 所对圆心角的度数为：

2×45°=90°，

∵⊙O 的半径为 2，

∴弧 AC 的长为：

l =

故选 B.

nπ r 90 ⨯ 2π

180 180

=π，

1.（2018·洛阳三模）如图，在

ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O，与斜边 AB 交于点 D，

E 为 BC 边的中点，连接 DE.

（1）求证：

DE 是⊙O 的切线；

（2）填空：

①若∠B=30°，AC= 2 3 ，则 BD=

②当∠B=时，以 O、D、E、C 为顶点的四边形是正方形.

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）连接 OD，

∵AC 为直径，

∴∠ADC=90°，∠CDB=90°，

∵E 是 BC 的中点，

∴DE=CE=BE，

∴∠DCE=∠EDC，

∵OD=OC，

∴∠OCD=∠ODC，

∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=90°，

即∠ODE=90°，

∴DE 是⊙O 的切线；

（2）3；45°，理由如下：

①∵∠B=30°，AC= 2 3 ，∠BCA=90°，

∴BC= AC÷tan30°=6，

∴DE=3，

②由∠B=∠A=45°，

OA=OD，得∠ADO=∠AOD=45°，

∴∠AOD=90°，∴∠DOC=90°，

又∠ODE=90°，∴四边形 ODEC 是矩形，

∵OD=OC，

∴四边形 ODEC 是正方形.

2.（2018·河南第一次大联考）已知△ABC 内接于以 AB 为直径的⊙O，过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的

延长线于点 D，且 DA∶AB=1∶2．

（1）求∠CDB 的度数；

（2）在切线 DC 上截取 CE=CD，连接 EB，判断直线 EB 与⊙O 的位置关系，并证明．

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）如图，连接 OC，

∵CD 是⊙O 的切线，

∴∠OCD=90°．

∵DA：

AB=1：

2，

∴DA=OC，DO=2OC．

∴∠CDO=30°，

即∠CDB=30°．

（2）直线 EB 与⊙O 相切．

证明：

连接 OC，

由

（1）可知∠CDO=30°，

∴∠COD=60°，

∵OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CD=CB，

∵CD 是⊙O 的切线，

∴∠OCE=90°，

∴∠ECB=60°，

又∵CD=CE，

∴CB=CE，

∴△CBE 为等边三角形，

∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°，

∴EB 是⊙O 的切线．

3.（2019·偃师一模）如图，在

ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 与斜边 AB 交于点 D，

E 为 BC 边上一点，且 DE 是⊙O 的切线．

（1）求证：

BE=EC；

（2）填空：

①若∠B=30°，AC=2 3 则 DE=

；

②当∠B=

°时，以 O，D，E，C 为顶点的四边形是正方形．

【答案】

（1）见解析；

（2）①3；②45.

【解析】解：

（1）证明：

如图，连接 OD，

∵∠ACB=90°，AC 为⊙O 的直径，

∴EC 为⊙O 的切线，

∵DE 为⊙O 的切线，

∴EC=ED，

∵∠EDO=90°，

∴∠BDE+∠ADO=90°，

∵OD=OA，

∴∠ADO=∠A，

∴∠BDE+∠A=90°，

∵∠A+∠B=90°，

∴∠BDE=∠B，

∴BE=EC；

（2）①3；②45，理由如下：

①在

ABC 中，∠B=30°，AC=2 3 ，

∴BC=6，

由

（1）知，E 是 BC 中点，

②∵ODEC 为正方形，

∴∠DEC=90°，

DE=CE=BE，

∴∠B=45°，

故答案为：

3；45.

4.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为半圆上一动点，过点 C 作⊙O 的切线 l 的垂线 BD，垂足为 D，BD 与

⊙O 交于点 E，连接 OC，CE，AE，AE 交 OC 于点 F．

（

）求证：

CDE≌△EFC；

（2）若 AB=4，连接 AC．

①当 AC=时，四边形 OBEC 为菱形；

②当 AC=时，四边形 EDCF 为正方形．

【答案】见解析．

【解析】

（1）证明：

如图，

∵BD⊥CD，

∴∠CDE=90°，

∵AB 是直径，

∴∠AEB=90°，

∵CD 是切线，

∴∠FCD=90°，

∴四边形 CFED 矩形，

∴CF=DE，EF=CD，

∵CE=CE，

∴△CDE≌△EFC．

（2）解：

①当 AC=2 时，四边形 OCEB 是菱形．

理由：

连接 OE．

∵AC=OA=OC=2，

∴△ACO 是等边三角形，

∴∠CAO=∠AOC=60°，

∵∠AFO=90°，

∴∠EAB=30°，

∵∠AEB=90°，

∴∠B=60°，

∵OE=OB，

∴△OEB 是等边三角形，

∴∠EOB=60°，

∴∠COE=180°﹣60°﹣60°=60°，

∵CO=OE，

∴△COE 是等边三角形，

∴CE=CO=OB=EB，

∴四边形 OCEB 是菱形．

故答案为 2．

②当四边形 DEFC 是正方形时，

∵CF=FE，∴∠CEF=∠FCE=45°，

∵OC⊥AE，∴弧 AC=弧 CE，

∴∠CAE=∠CEA=45°，

∴∠ACE=90°，

∴AE 是⊙O 的直径，

∴△AOC 是等腰直角三角形，

∴AC=2 2 ．

∴AC=2 2 时，四边形 DEFC 是正方形．

故答案为 2 2 ．

5.（2019·三门峡二模）如图，AB 是半圆 O 的直径，D 为半圆上的一个动点（不与点 A，B 重合），连

接 AD，过点 O 作 AD 的垂线，交半圆 O 的切线 AC 于点 C，交半圆 O 于点 E．连接 BE，DE．

（1）求证：

∠BED＝∠C．

（2）连接 BD，OD，CD．

填空：

①当∠ACO 的度数为时，四边形 OBDE 为菱形；

②当∠ACO 的度数为时，四边形 AODC 为正方形．

【答案】

（1）见解析；

（2）30；45．

【解析】解：

（1）证明：

设 AD，OC 交于点 P，

∵OC⊥AD，

∴∠APC＝90°．

∴∠C+∠CAP＝90°

∵AC 是半圆 O 的切线，

∴∠CAO＝∠CAP+∠BAD＝90°，

∴∠BAD＝∠C，

∵∠BED＝∠BAD，

∴∠BED＝∠C；

（2）①30，理由如下：

连接 BD，如图：

∵AB 是半圆 O 的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠DAB＝∠ACO＝30°，

∴∠DBA＝60°，

∵OE⊥AD，

∴弧 AE=弧 AD，

∴∠DBE＝∠ABE＝30°

∵∠DEB＝∠DAB＝30°，

∴∠DEB＝∠ABE，DE∥AB

∵∠ADB＝90°，即 BD⊥AD，OE⊥AD，

∴OE∥BD，

∴四边形 OBDE 是平行四边形

∵OB＝OE

∴四边形 OBDE 是菱形；

故答案为 30°；

②45，理由如下：

连接 CD、OD，

∵∠BED＝∠ACO＝45°，

∴∠BOD＝2∠BED＝90°，

∴∠AOD＝90°，

∵OC⊥AD，

∴OC 垂直平分 AD，

∴∠OCD＝∠OCA＝45°，

∴∠ACD＝90°，

∵∠ACO＝90°，

∴四边形 AODC 是矩形，

∵OA＝OD，

∴四边形 AODC 是正方形，

故答案为 45°．

6.（2019·开封模拟）如图，CD 是⊙O 的直径，且 CD＝2cm，点 P 为 CD 的延长线上一点，过点 P 作

⊙O 的切线 PA、PB，切点分别为 A、B．

（1）连接 AC，若∠APO＝

°，试证明ACP 是等腰三角形；

（2）填空：

①当弧 AB 的长为cm 时，四边形 AOBD 是菱形；

②当 DP＝cm 时，四边形 AOBP 是正方形．

【答案】

（1）见解析；

（2） 2π ； 2 - 1 .

【解析】解：

（1）连接 AO，

∵PA 是⊙O 的切线，

∴∠PAO＝90°，

∵∠APO＝30°，

∴∠AOP＝60°，

∵OA＝OC，

∴∠C＝∠CAO＝30°，

∴∠C＝∠APO=30°，

∴△ACP 是等腰三角形；

（2）①若四边形 AOBD 是菱形，则 AO＝AD，

∵AO＝OD，

∴△AOD 是等边三角形，∠AOD＝60°，

∴∠AOB＝120°，

∵CD=2，

∴圆 O 的半径为 1，

120π ⨯ 122π

∴弧 AB 的长为：

1803

②若四边形 AOBP 为正方形时，则 PA＝AO＝1，

则 OP= 2 ，

∵OD=1，

∴PD= 2 －1，

所以答案为：

2 －1．

7.（2019·西华县一模）如图，AB 为⊙O 的直径，F 为弦 AC 的中点，连接 OF 并延长交弧 AC 于点 D，

过点 D 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 E．

（1）求证：

AC∥DE；

（2）连接 CD，若 OA=AE=2 时，求出四边形 ACDE 的面积．

【答案】见解析．

【解析】证明：

（1）∵F 为弦 AC（不是直径）的中点，

∴AF=CF，OD⊥AC，

∵DE 是⊙O 的切线，

∴OD⊥DE，

∴AC∥DE．

（2）连接 CD，

∵AC∥DE， OA=AE=2，

∴OF=FD，

∵AF=CF，∠AFO=∠CFD，

∴△AFO≌△CFD，

∴

AFO=

CFD，

∴S 四边形 ACDE=S△ODE

∵OD=OA=AE=2，

∴OE=4，

由勾股定理得：

DE=2 3 ，

∴S 四边形 ACDE=S△ODE

=2 3 ．

8.（2019·郑州联考）已知：

如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为直径，∠CBA 的平分线交 AC 于点 F，交

⊙O 于点 D，DE⊥AB 于点 E，且交 AC 于点 P，连结 AD．

（1）求证：

∠DAC＝∠DBA；

（2）求证：

P 是线段 AF 的中点；

（3）连接 CD，若 CD＝3，BD＝4，求⊙O 的半径和 DE 的长．

【答案】见解析．

【解析】

（1）证明：

∵BD 平分∠CBA，

∴∠CBD＝∠DBA，

∵∠DAC 与∠CBD 是弧 CD 所对的圆周角，

∴∠DAC＝∠CBD，

∴∠DAC＝∠DBA；

（2）证明：

∵AB 为直径，

∴∠ADB＝90°，

∵DE⊥AB 于 E，

∴∠DEB＝90°，

∴∠ADE+∠BDE＝∠DBE+∠BDE＝90°，

∴∠ADE＝∠DBE＝∠DAC，

∴PD＝PA，

∵∠DFA+∠DAF＝∠ADE+∠BDE＝90°，

∴∠PDF＝∠PFD，

∴PD＝PF，

∴PA＝PF，即 P 是线段 AF 的中点；

（3）解：

∵∠CBD＝∠DBA，CD＝3，

∴CD＝AD＝3，

由勾股定理得：

AB＝5，

即⊙O 的半径为 2.5，

由 DE×AB＝AD×BD，

即：

5DE＝3×4，

∴DE＝2.4．

即 DE 的长为 2.4．

9.（2019·安阳二模）如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD，

AC 分别交于点 E，F，且∠ACB＝∠DCE．

（1）判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；

【答案】见解析．

【解析】

（1）直线 CE 与⊙O 相切，

证明：

连接 OE，

∵OA＝OE，

∴∠EAO＝∠AEO，

∵∠ACB＝∠DCE，

∴∠AEO＝∠ACB＝∠DCE，

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴BC∥AD，

∴∠ACB＝∠DAC，

∵∠ACB＝∠DCE，

∴∠DAC＝∠DCE，

由∠D＝90°，得：

∠DCE+∠DEC＝90°，

∴∠AEO+∠DEC＝90°，

∴∠OEC＝90°，即 OE⊥EC，

∵OE 为半径，

∴直线 CE 与⊙O 相切；

由勾股定理得：

AC＝2 5 ，

∵∠ACB＝∠DCE，

由勾股定理得：

CE＝ 5 ，

在

COE 中，CO2＝CE2+OE2，OE=OA，

（2 5 ﹣OA）2＝OA2+（ 5 ）2，

解得：

OA＝

3 5

，

3 5

即⊙O 的半径是．

10.（2019·平顶山三模）如图，在△ABC 中，AC＝BC，AB 是⊙C 的切线，切点为点 D，直线 AC 交

（

）求证：

ABF 是直角三角形；

（2）若 AC＝6，则直接回答 BF 的长是多少．

【答案】见解析.

【解析】

（1）证明：

连接 CD，则 CF＝CD，

∵AB 是⊙C 的切线．

∴CD⊥AB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠A＝30°，

∴∠ACB＝120°，∠BCD＝∠BCF＝60°，

∵BC＝BC，

∴△BCD≌△BCF，

∴∠BFC＝∠BDC＝90°，

∴△ABF 是直角三角形．

（2）解：

由

（1）知：

AC＝BC，CD⊥AB，

∴AD＝BD＝BF，

在

ACD 中，∠A＝30°，AC＝6，

∴CD＝3，∴AD= 3 CD＝3 3 ．∴BF＝3 3 .

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