数据结构与算法.docx

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数据结构与算法

数据结构与算法

1算法

1.1查找

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第7章.pdf

为了分析实施键比较的算法和性能，我们应该使用键比较次数作为算法所做工作量的度量标准。

1.1.1顺序查找

平均比较次数为n（n+1）/2n;

1.1.2二分查找

一、前置条件

操作对象为有序表。

二、算法描述

betweenbottomandtop

middle=（bottom+top）/2;

iftarget>middle

 bottom=middle+1;

 repeattheaboveprocess

else

 top=middle;

 repeattheaboveprocess

endif

1.1.3查找树

2-树

二叉查找树

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13351072_郑泽丰_11_1\

Theexpectedcomplexityofasearch,insert,ordeleteoperationisO（logn）,whiletheworst-casecomplexityisO（height）=O（n）,wherenisnumberofnodes/elements.

递归实现

用递归的思想实现插入、搜索和删除等操作。

RemoveFromADegree2Node。

Replacewithlargestkeyinleftsubtree（orsmallestinrightsubtree）.

数组实现

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13351072_郑泽丰_11_2\

链表实现

红黑树

ColoredNodesDefinition

•Binarysearchtree.

•Eachnodeiscoloredredorblack.

•Rootandallexternalnodesareblack.

•Noroot-to-external-nodepathhastwoconsecutiverednodes.

•Allroot-to-external-nodepathshavethesamenumberofblacknodes

词典查找树

1.1.4插值查找

1.1.5外部查找

B-树

1.2排序

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第8章.pdf

1.2.1插入排序

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2413553.html

算法描述

假定n是数组的长度，

首先假设第一个元素被放置在正确的位置上，这样仅需从1-n-1范围内对剩余元素进行排序。

对于每次遍历，从0-i-1范围内的元素已经被排好序，

每次遍历的任务是：

通过扫描前面已排序的子列表，将位置i处的元素定位到从0到i的子列表之内的正确的位置上。

将arr[i]复制为一个名为target的临时元素。

向下扫描列表，比较这个目标值target与arr[i-1]、arr[i-2]的大小，依次类推。

这个比较过程在小于或等于目标值的第一个元素（arr[j]）处停止，或者在列表开始处停止（j=0）。

在arr[i]小于前面任何已排序元素时，后一个条件（j=0）为真，

因此，这个元素会占用新排序子列表的第一个位置。

在扫描期间，大于目标值target的每个元素都会向右滑动一个位置（arr[j]=arr[j-1]）。

一旦确定了正确位置j，

目标值target（即原始的arr[i]）就会被复制到这个位置。

与选择排序不同的是，插入排序将数据向右滑动，并且不会执行交换。

效率分析

稳定

空间复杂度O

（1）

时间复杂度O（n2）

最差情况：

反序，需要移动n*（n-1）/2个元素

最好情况：

正序，不需要移动元素

数组在已排序或者是“近似排序”时，插入排序效率的最好情况运行时间为O（n）；

插入排序最坏情况运行时间和平均情况运行时间都为O（n2）。

通常，插入排序呈现出二次排序算法中的最佳性能。

对于具有较少元素（如n<=15）的列表来说，二次算法十分有效。

在列表已被排序时，插入排序是线性算法O（n）。

在列表“近似排序”时，插入排序仍然是线性算法。

在列表的许多元素已位于正确的位置上时，就会出现“近似排序”的条件。

通过使用O（nlog2n）效率的算法（如快速排序）对数组进行部分排序，

然后再进行选择排序，某些高级的排序算法就是这样实现的。

数组版

template

voidSortable_list:

:

insertion_sort（）

{

intfirst_unsorted;

intposition;

Recordcurrent;

for（first_unsorted=1;frst_unsorted

if（entry[first_unsorted]

{

position=first_unsorted;

current=entry[first_unsorted];

do{

entry[position]=entry[position-1];

position--;

}

while（position>0&&entry[position-1]>current）;

entry[position]=current;

}

}

链式版

只需要把未排序的鱼啊元素与原链断开，然后插入到应有的位置即可

1.2.2选择排序

一、介绍

Incomputerscience,selectionsortisasortingalgorithm,specificallyanin-placecomparisonsort.IthasO（n2）timecomplexity,makingitinefficientonlargelists,andgenerallyperformsworsethanthesimilarinsertionsort.Selectionsortisnotedforitssimplicity,andithasperformanceadvantagesovermorecomplicatedalgorithmsincertainsituations,particularlywhereauxiliarymemoryislimited.

二、算法描述

Thealgorithmdividestheinputlistintotwoparts:

thesublistofitemsalreadysorted,whichisbuiltupfromlefttorightatthefront（left）ofthelist,andthesublistofitemsremainingtobesortedthatoccupytherestofthelist.Initially,thesortedsublistisemptyandtheunsortedsublististheentireinputlist.Thealgorithmproceedsbyfindingthesmallest（orlargest,dependingonsortingorder）elementintheunsortedsublist,exchangingitwiththeleftmostunsortedelement（puttingitinsortedorder）,andmovingthesublistboundariesoneelementtotheright.

三、分析

ØSelectionsortdoeshavetheadvantageofpredictability:

Itsworst-casetimewilldifferlittlefromitsbest.

ØThefunctionswapiscalledn-1times,andeachcalldoes3assignmentsofentries,foratotalcountof3（n-1）.

ØThereare（n-1）+（n-2）+…+1=（1/2）n（n-1）comparisonsofkeys,whichweapproximateto（

1/2）n^2+O（n）.

平均来说，插入排序所进行的比较哦啊次数大约仅是选择排序的一半，如果表内的元素较小，移动起来不慢的话，则插入排序会比选择排序快。

数组版

template

voidSortable_list:

:

selection_sort（）

{

for（intposition=count-1;position>0;position--）

{

intmax=max_key（0,position）;

swap（max,position）;

}

}

Thefunctionmax_key（）istofindthemaximumvalueinthepartthattheparametersgave.

链式版

1.2.3希尔排序

Shellsort.

结合插入排序和选择排序的优点，采用缩小增量的方法。

先把所有元素每隔n个进行分组并排序，然后再每个m个进行分组排序，直到每隔1个为止。

最后进行的是普通的插入排序。

template

voidSortable_list:

:

shell_sort（）

{

 intincrement,start;

 increment=count;

 do{

 increment=increment/3+1;

 for（start=0;start

 sort_interval（start,increment）;

}

 while（increment>1）;

}

函数sort_interval（start,increment）表示起始地址为start，增量为increment的插入排序。

1.2.4分而治之排序

voidSortable_list:

:

sort（）

{

 ifthlisthaslengthgreaterthan1

{

 partitionthelistintolowlist,highlist;

lowlist.sort（）;

highlist.sort（）;

combine（lowlist,highlist）;

}

}

快速排序

每次选择一个支点（pivot），将整个序列按照大于或者等于支点和小于支点的规则分为两个部分。

依次递归至所分成的部分的元素数目为1为止。

以下是顺序实现的快速排序伪代码

iflow_position

seperatethelistintotwopartionwiththepivotbetweenlow_positionandhigh_position.

recursivelydotheaboveoperation.

endif.

归并排序

Conceptually,amergesortworksasfollows:

Dividetheunsortedlistintonsublists,eachcontaining1element（alistof1elementisconsideredsorted）.

Repeatedlymergesubliststoproducenewsortedsublistsuntilthereisonly1sublistremaining.Thiswillbethesortedlist.

归并排序的主要操作有：

1.将序列分成两部分；2.将两个部分进行排序整合；3.递归以上操作直至分成两个部分之后只剩一个元素。

顺序实现的归并排序算法在空间上会消耗较多。

1.2.5堆排序

首先，对序列进行堆初始化，因为堆排序仅适用于顺序表。

然后，向堆中添加元素时，先添加到堆的最末尾。

然后一路回溯至堆根部。

回溯过程中，判断是否满足堆的条件。

堆排序的时间复杂度为O（nlogn）.

1.2.6树排序

1.2.7拓扑排序

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7714519

1.前置条件

G是一个无有向环的有向图。

则G的拓扑次序是G中所有顶点的一个顺序排列

2.偏序和全序

3.常用的算法有Kahn算法和DFS算法

两者区别

Kahn算法不需要检测图为DAG，如果图为DAG，那么在出度为0的集合为空之后，图中还存在没有被移除的边，这就说明了图中存在环路。

而基于DFS的算法需要首先确定图为DAG，当然也能够做出适当调整，让环路的检测和拓扑排序同时进行，毕竟环路检测也能够在DFS的基础上进行。

二者的复杂度均为O（V+E）。

广度优先算法

一、无前趋的顶点优先的拓扑排序方法

该方法的每一步总是输出当前无前趋（即入度为零）的顶点，其抽象算法可描述为：

NonPreFirstTopSort（G）{//优先输出无前趋的顶点while（G中有入度为0的顶点）do{从G中选择一个入度为0的顶点v且输出之；从G中删去v及其所有出边；}if（输出的顶点数目<|V（G）|）//若此条件不成立，则表示所有顶点均已输出

，排序成功。

Error（"G中存在有向环，排序失败！

"）；}

深度优先算法

一、pseudocode

thatwillcontainthesortednodes

S←Setofallnodeswithnooutgoingedges

foreachnodeninSdo

visit（n）

functionvisit（noden）

ifnhasnotbeenvisitedyetthen

   marknasvisited

   foreachnodemwithanedgefrommtondo

       visit（m）

   addntoL

二、codeinC++

（见文档链接）

三、继的顶点优先拓扑排序方法1、思想方法该方法的每一步均是输出当前无后继（即出度为0）的顶点。

对于一个有向图，按此方法输出的序列是逆拓扑次序。

因此设置一个栈（或向量）T来保存输出的顶点序列，即可得到拓扑序列。

若T是栈，则每当输出顶点时，只需做入栈操作，排序完成时将栈中顶点依次出栈即可得拓扑序列。

若T是向量，则将输出的顶点从T[n-1]开始依次从后往前存放，即可保证T中存储的顶点是拓扑序列。

2、抽象算法描述算法的抽象描述为：

NonSuccFirstTopSort（G）{//优先输出无后继的顶点while（G中有出度为0的顶点）do{从G中选一出度为0的顶点v且输出v；从G中删去v及v的所有人边}if（输出的顶点数目<|V（G）|）Error（"G中存在有向环，排序失败!

"）；}

Kahn算法

一、eudocode

L←Emptylistthatwillcontainthesortedelements

S←Setofallnodeswithnoincomingedges

whileSisnon-emptydo

 removeanodenfromS

 addntotailofL

 foreachnodemwithanedgeefromntomdo

     removeedgeefromthegraph

     ifmhasnootherincomingedgesthen

         insertmintoS

ifgraphhasedgesthen

 returnerror（graphhasatleastonecycle）

else

 returnL（atopologicallysortedorder）

二、注意

1.需要记录的有：

顶点的连接关系、入度为0的顶点集合、存放排好序的顶点

2.需要的方法：

判断顶点入度是否为0、移走一条边、统计排好序的顶点

1.3表格信息检索

1.3.1基数排序

1.3.2哈希排序

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13351072_郑泽丰_10__1

worst-casetimeforsearch,insert,anddeleteisO（size）;ExpectedtimeisO

（1）.

IdealHashing

•Usesa1Darray（ortable）table[0:

b-1].

–Eachpositionofthisarrayisabucket.

–Abucketcannormallyholdonlyonerecord.

•Usesahashfunctionfthatconvertseachkeykintoanindexintherange[0,b-1].

–f（k）isthehomebucketforkeyk.

•Everyrecord（key,element）isstoredinitshomebuckettable[f[key]].

•Acollisionoccurswhenthehomebucketforanewrecordisoccupiedbyarecordwithadifferentkey.

•Anoverflowoccurswhenthereisnospaceinthehomebucketforthenewpair.

•Whenabucketcanholdonlyonerecord,collisionsandoverflowsoccurtogether.

•Needmethodstohandlecollisions（andoverflows）.

HashTableIssues

•Size（numberofbuckets）ofhashtable.

•Choiceofhashfunction.

•collisionshandlingmethod.

Twoprincipalcriteria:

ØItshouldbeeasyandquicktocompute.

–Convertkeyintoanintegerincasethekeyisnotaninteger.

•DonebythemethodhashCode（）.

ØItshouldachieveanevendistributionofthekeysthatactuallyoccuracrosstherangeofindices.

–f（k）isanintegerintherange[0,b-1],wherebisthenumberofbucketsinthetable.

choosingahashfunction

1.Truncation

●Thefirst,second,andfifthdigitsfromtherightmightmakethehashfunction,sothat21296876mapsto976.

2.Folding

●21296876mapsto212+968+76=1256.

3.ModularArithmetic

●Thebestchoiceformodulusisoften,butnotalways,aprimenumber.

CollisionResolutionwithOpenAddress

ØClustering

ØLinearProbing

ØIncrementFunctions

ØQuadraticProbing

ØKey-DependentIncrements

ØRandomProbing

1.4图的遍历

1.4.1广度优先搜索

1.Discription:

VisitstartvertexandputintoaFIFOqueue.

Repeatedlyremoveavertexfromthequeue,visititsunvisitedadjacentvertices,putnewlyvisitedverticesintothequeue.

2.Property

Allverticesreanchablefromthestartvertex（includingthestartvertex）arevisited.

1.4.2深度优先搜索

1.pseudocode:

depthFirstSearch（v）

{

 Lablevertexvasreached.

for（eachunreachedvertexuadjacenctfromv）

depthFirstSearch（u）;

}

2.prpgerties

samecomplexityasBFS;

1.5贪心算法

1.5.1最短路径

查看文档:

uid-27164517-id-3287891.html

Dijkstra算法

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uid-20384806-id-1954190.html

一、前置条件

1.单源最短路径

2.有向图或者无向图

3.所有边权非负

二、算法描述

Letthenodeatwhichwearestartingbecalledtheinitialnode.LetthedistanceofnodeYbethedistancefromtheinitialnodetoY.Dijkstra'salgorithmwillassignsomeinitialdistancevaluesandwilltrytoimprovethemstepbystep.

1.Assigntoeverynodeatentativedistancevalue:

setittozeroforourinitialnodeandtoinfi