高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案.docx

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高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案

教案说明

1、教学要求

在最新修订的《全日制普通高级中学数学教学大纲》中对本节课的要求是了解数系扩充的必要性，理解复数有关概念。

在国家新课程标准下，对本节课的要求为：

（1）在问题情境中了解数系扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

因此在讲解本节课时既要通过复数概念的理解体现数学的本质还要通过数系的扩充展现数学的人文价值。

2、教材处理：

本节课包含两个内容：

数系扩充、复数的概念。

就数系扩充的内容而言，本节课是一节介绍数学史的课程，希望学生体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用与现实的关系。

就复数内容而言，本节课是一堂概念课，因此如何让学生理解相关的概念显得很重要；同时本节课也是一堂全新内容的课——介绍之前从未接触的“虚数”，因此“虚”的理解就成为复数概念理解的难点，但同时也是本节课的重点。

对此，本节课由方程无实数解引入，从而引出最开始的形式上的“虚数”；通过与方程在有理数域与实数域解情况的类比，指出扩展数域的必要性。

其后由卡尔丹诺的形式虚数，顺势介绍复数系扩充史，进而得到虚数的单位“i”。

在引入复数之后，根据研究问题的一般思路：

新概念的理解——新旧概念的对比——新概念的系统化。

自然引出复数与实数虚数的关系、复数大小、复数的相等等问题。

其间做一些辨析与巩固练习，以此对学过的知识加深理解。

3、教法说明：

1、数系扩充这个内容，采取问题引入，教师讲解的方式。

采取问题引入，是为了让学生体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，进一步的感受到人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，体现数学的人文价值。

在数学史的介绍中，让学生体会创新，要敢于突破，敢于质疑，敢于提出新的看法，进而渗透德育教育。

通过对复数系的扩张，理解“i”的形成过程，有助于学生了解虚数单位的实质，更深入的了解复数、虚数的概念，从而避免数学的形式化。

2、复数的概念，为本节课的重点。

本着以人为本的原则，结合学生的理解能力与思维方式采取引导的方法，让学生自主思考，以引导思路、规范过程为主，采取探究式教学，更多的注重课堂教学的生成性。

在学习过程中通过归纳（归纳出复数的一般形式）、类比（虚数、实数的对比）、特殊化（复数、实数、虚数的关系）等，让学生体会开拓性研究的思路，了解处理新问题的方法。

3、例题与练习，以教材为蓝本，学生练习为主，老师巡堂、指出问题并规范过程。

例题与练习相结合，难度上由浅入深，逐层深入，让学生的对复数的概念形成一个理性——感性——理性的一个螺旋上升的过程，从而在概念理解上更加透彻。

在巡堂过程中，对个别的问题单独指导，对普遍出现的问题在课堂上可以进行探究。

课题:

数系的扩充和复数的概念

教材:

人教A版

1、教学目标

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．

【教学目标说明】

德育方面：

1、通过对探究题的设置，让学生能够自然的了解研究问题的一般方法，能够自然的提出问题，并在老师的引导下逐步达到自主解决问题。

接下来让学生清楚研究新问题的一般流程：

新概念新旧概念的联系与区别新概念的新性质研究

2、对数学发展史的了解和数系的扩充，体现数学的人文价值，以此激发学生的学习兴趣。

希望通过数系的扩充，让学生体会研究过程中有辛酸的挫折也有欣喜的成果，渗透研究精神。

能力方面：

1、类比推理能力。

数系扩充类比；复数与实数类比；运算规则类比；大小比较类比。

2、归纳整理能力。

新旧知识的梳理与归纳；复数形式的归纳。

知识方面：

1、复数概念理解：

关键在于“i”的理解。

“i”可以看作一个单位，作为纯虚数部分的度量；也可以看成一个方向；“i”也可以类似基底进行理解。

即复数在（1，i）上分解。

2、复数相等的充要条件：

从分解上讲，就比较容易理解。

2、教学重点

（1）数系的扩充过程．

（2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．

3、教学难点

（1）虚数单位

的理解．

（2）复数的大小比较。

3、教学方法：

讲解式、启发式、探究式

【教学方法说明】

对于复数的概念采取引导的方法，让学生自主的思考，采取探索式教学，更多的注重生成性。

复数的概念主要3个方面：

复数的形式、“i”的理解、复数相等的充要条件。

复数的形式：

归纳为主，将实数、虚数“一网打尽”，可以写作“a+bi”的形式。

可以由教师引导，学生归纳的方式。

“i”的理解：

教师引导，学生讨论，教师总结的方式。

一方面能提高学生的课堂参与度，另一方面也能够让学生对新概念认识深刻。

复数相等的充要条件：

由学生自己体会并提出来，不需要证明。

但是需要让学生去结合“i”的理解，进行类比思考。

注意要强调实部虚部必须为实数。

教学手段：

多媒体辅助教学

4、教学过程:

（一）引入新课.

问题1：

能否寻找两个数，使得它们的和为10，乘积为40。

利用设元的方法，转化为一个一元二次方程求解，可以发现判别式小于0。

工作无法继续！

怎么办？

（学生回答）

问题2：

（学生回答）考虑下列问题，你能否得到新的思路：

方程

在已知数系中的解集探究：

（1）在有理数集中。

（无有理数解）

（2）在实数集中。

（

）

（二）讲授新课.

1、数系扩充引入：

问题2表明,对于同一个方程在不同的数系中其解的情况是不一样的。

对于问题2中的方程在有理数中不可解但在实数集却是可解得，由此得到启发：

对于问题1在实数集不可解，但是是非存在一个新的数集，使得在新的数集上问题1可以得到解决？

如果存在，那又是一个什么样的数集呢？

2、数系扩充史简述：

最早于到涉及到问题1并提出形式解决的是1545年意大利数学怪杰—卡尔丹诺在解决三次方程的根是遇到了一个问题：

求两个数使得他们的和为10，乘积为40。

卡丹得到了形式上的解决：

，

。

但是对于

没有给出任意的解释，在此只是作为一个形式与开方的记号出现。

直到解析几何的开山始祖—笛卡尔才开始给出了一个和实数（realnumber）对应的名称虚数（imaginarynumber）。

实际上：

从形式上，

，或者对任意的负数开方都可以写成：

（a<0）的形式，所以搞清楚负数开方的问题也就等价于搞清楚

。

对此，伟大的数学家欧拉第一个提出“i”作为一个虚数单位（类似于力的单位是N，虚数的单位规定是i）。

规定：

。

而真正对复数进行系统化、严密化、逻辑化的工作出自数学王子高斯的手下，高斯正式的提出“复数”一词，并对复数进行的运算法则、复数范围内多项式方程的解等进行了一系列研究。

从此，虚数也就不“虚”，正式进入数学的大家庭并在信号处理、航空航天、函数处理等领域发挥出巨大的威力。

3、复数的引入和数系的扩充

因此，在欧拉引入虚数单位i之后，卡尔丹诺的方程的解在实数系中无解，但在在复数范围内解存在，

，

可以写成

。

一般的，如果

，则称

为复数，其中i是虚数单位。

所有的复数构成的集合称为复数集。

一般的复数通常用字母

表示，即

。

其中a称为实部，b称为虚部。

从此，世界上就一种新的数系—复数系登上了数学的舞台，并为解决很多的实际问题提供了一种新的有力的工具。

至此，我们对数系的发展有了比较完整的了解，回顾从幼儿园到现在我们学习了那些数呢？

能不能做一个表？

复数

从这个表中我们也可以发现数学的发展的动力来自于问题，为解决矛盾而进行数域的拓展。

4、复数的进一步探讨：

我们学习了那么多的数集，有必要对此进行一个分类，进行整理，了解他们的相互关系：

探究1：

讨论特殊的复数：

1）如果

时,

是什么数？

（实数）

2）如果

时，

是什么数？

（虚数）

3）如果

，

是什么数？

（纯虚数）

4）总结虚数、纯虚数、实数、复数之间关系，并画出集合韦恩图。

练习：

判断

各是什么数？

具体回答：

实数、虚数、纯虚数。

如果是虚数指出其实部和虚部。

练习2、判断下列命题是否正确：

（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数

（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数

（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数

1）、复数、虚数、纯虚数的关系和判断原则。

例：

复数

何时为实数，何时为虚数？

何时为纯虚数？

答案：

练习1：

复数

何时为实数，何时为虚数？

何时为纯虚数？

答案：

答案：

；

探究2：

1）、实数可否比较大小？

那么复数呢？

可否比较大小？

能否判断两个复数相等。

2）、给出复数相等的条件：

如果

则

的充要条件是a=c,b=d。

注：

此问题本质上归结于对虚数单位“i”的理解。

可以从3个角度理解：

1）单位角度理解（理解i的本质）。

2）基底角度理解（思考角度拓展）。

3）方向类比理解（可以为后面的几何意义（向量类比）做伏笔）

答案：

例3：

如果

，求实数x,y的值。

解：

由复数相等的条件知：

解之：

所以x=4,y=-2。

分析：

先计算x、y，然后计算a、b。

答案：

a=1,b=2

7：

课堂小节：

1）数学的发展来源于问题—事物在矛盾中前进。

2）复数有关概念。

3）复数与实数、虚数的关系。

4）复数相等的条件。

8、分层作业（略）

9、教学反馈

本节课学生的问题集中在虚数不能比较大小，他们表示不可以理解为何实数能够比较虚数不可以。

问题主要归结为两种类型：

纯虚数的比较，与虚部相同虚数的比较。

（1）纯虚数的比较：

他们认为5i>3i.理由是5>3。

这个理由是不成立的。

一个通俗的、不严密的解释：

因为不等式两边同时乘一个数，不等号变向问题依赖于所乘数的正负，而显然i是无法判断正负的。

因为i是虚数单位，而0是实数的范畴。

（2）虚部相同的虚数比较：

他们认为5+3i>2+3i.其实，这个问题与上面的解释类似，都要求对同一数域加减，而3i是虚数，5和3是实数。

此种解释并不能让学生满意，最好的解释就是类比向量。

如果这样的问题严格的解释会涉及到数域中不等关系的定义问题，一方面是学生知识储备不足，另一方面是学生的理解能力也未必足够，因此留作课后探究，课堂上不可涉及太多。