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总结大一高数的得与失

　　篇一：

大一高数知识点,重难点整理

　　第一章基础知识部分

　　&初等函数

　　一、函数的概念

　　1、函数的定义

　　函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。

　　设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记作y=f（x），其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

2、函数的表示方法

（1）解析法

　　即用解析式（或称数学式）表示函数。

如y=2x+1,y=︱x︱，y=lg（x+1）,y=sin3x等。

便于对函数进行精确地计算和深入分析。

（2）列表法

　　即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。

便于差的某一处的函数值。

（3）图像法

　　即用图像来表示函数关系的方法

　　非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。

　　分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如

　　12x1,x0xsin,

　　fxyx

　　2x1,x00

　　隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。

所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。

而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F（x,y）=0给出的，如2x+y-3=0，e可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。

　　参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程

　　而由2x+y-3=0xy0等。

　　xt，

　　tT给出的，yt

　　这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。

　　反函数——如果在已给的函数y=f（x）中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=∮（y）叫做y=f（x）的反函数，记作x=fˉ1（y）或y=fˉ1（x）（以x表示自变量）.

　　二、函数常见的性质

　　1、单调性（单调增加、单调减少）

　　2、奇偶性（偶:

关于原点对称，f（-x）=f（x）；奇：

关于y轴对称，f（-x）=-f（x）.）3、周期性（T为不为零的常数，f（x+T）=f（x），T为周期）

　　4、有界性（设存在常数M＞0，对任意x∈D，有f∣（x）∣≤M,则称f（x）在D上有界，如果不存在这样的常数M，则称f（x）在D上无界。

　　5、极大值、极小值

　　6、最大值、最小值三、初等函数

　　1、基本初等函数

　　常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等函数。

（图像、性质详见P10）

　　2、复合函数——如果y是u的函数y=f（u）,而u又是x的函数u=∫（x），且∫（x）的值域与f（x）的定义域的交非空，那么y也是x的函数，称为由y=f（u）与u=∫（x）复合而成的复合函数，记作y=f（∫（x））。

　　3、初等函数——由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。

四、函数关系举例与经济函数关系式

　　1、函数关系举例2、经济函数关系式

（1）总成本函数——总成本=固定成本+变动成本平均单位成本=总成本/产量

（2）总收益函数——销售总收益=销售价格×产量（3）总利润函数——总利润=销售总收益-总成本

　　（4）需求函数——若其他因素不变，需求量Q=f（P）（P为产品销售价格）

　　&函数的极限

　　一、数列的极限

　　对于无穷数列{an}，当项数n无限增大时，如果an无限接近于一个确定的常数A，则

　　lim

　　称A为数列{an}的极限，记为a=A，或当n→∞时，an→A。

　　n→∞n

　　lim1lim

　　若数列{an}存在极限，也称数列{an}收敛，例如0，CC（C为

　　nnn

　　limn

　　常数），q=0q1）。

　　n→∞

　　若数列{an}没有极限，则称数列{an}发散。

数列极限不存在的两种情况：

（1）数列有界，但当n→∞时，数列通项不与任何常数无限接近，如：

　　；

（2）数列无界，如数列{n2}。

　　二、当x→0时，函数f（x）的极限

　　如果当x的绝对值无限增大（记作x→∞）时，函数f（x）无限地接近一个确定的常数A，那称A为函数f（x）当x→∞时的极限，记作

　　lim

　　fxA，或当x→∞时，f（x）→A。

　　单向极限定义如果当x或x时，函数f（x）无限接近一个确定的长寿湖A，那么称A为函数f（x）当x或x时得极限，记作

　　limlim

　　。

fxAfxAxn

　　三、当X→Xo时，函数f（x）的极限

　　1、当X→Xo时，函数f（x）的极限定义如果当x无限接近Xo（记作X→Xo）时，函数f（x）无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f（x）当X→Xo时的极限，记作

　　lim

　　fxA，或当X→Xo时，f（x）→A。

　　2、当X→Xo时，函数f（x）的左极限和右极限

　　如果当X→Xoˉ（或xx0）时，函数f（x）无限接近一个确定的常数A，则称函数f（x）当X→Xo时的左极限（右极限）为A，记作四、无穷大与无穷小

　　1、无穷大与无穷小的定义

　　limfxAfxxx0xx0

　　lim

　　A。

　　lim

　　如果当X→Xo时，f（x）→0，就称f（x）当X→Xo时的无穷小，记作fx0；如

　　xx0

　　果当X→Xo时，f（x）的绝对值无限增大，就称函数f（x）当X→Xo时为无穷大，记作

　　lim

　　fx。

其中，如果当X→Xo时，f（x）向正的方向无限增大，就称函数f（x）当X

　　xx0

　　lim

　　→Xo时为正无穷大，记作fx；如果当X→Xo时，f（x）向负的方向无限增大，

　　xx0

　　就称函数f（x）当X→Xo时为负无穷大，记作

　　2、无穷小与无穷大的关系

　　在自变量的同一变化中，如果f（x）为无穷大，那么

　　lim

　　fx。

　　xx0

　　为无穷小；反之，如果f（x）f（x）

　　为无穷小，那么

　　为无穷大。

f（x）

　　根据这个性质，无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。

3、无穷小的性质

　　性质1：

有限个无穷小的代数和为无穷小；性质2：

有限个无穷小的乘积为无穷小；性质3：

有界函数与无穷小的乘积为无穷小。

4、无穷小的比较

　　设a与b是自变量同一变化中的两个无穷小，记作a=o（b）；

　　=0，则称a是比b低阶的无穷小；ba

（2）如果lim=∞,则称a是比b高阶的无穷小；

（1）如果lim

　　=c（c为非零的常数）,则称a是比b同阶的无穷小。

　　特别的，当c=1,即lim=1时，称a与b是等阶无穷小，记作a～b。

　　（3）如果lim

　　&极限运算法则

　　法则一若limu=A，limv=B，则

　　lim（u±v）=limu±limv=A±B;法则二若limu=A，limv=B，则

　　lim（u·v）=limu·limv=A·B；法则三若limu=A，limv=B，且B≠0，则lim

　　ulimuA==vlimvB

　　推论若limu=A，C为常数，k∈N，则

（1）limC·u=C·limu=C·A；

（2）limu=（limu）k=A

　　注运用这一法则的前提条件是u与v的极限存在（在商的情况下还要求分母的极限不为零）。

　　&两个重要极限

　　一、

　　limsinx

　　x0x

　　lim1x

　　二、1=e

　　&函数的连续性

　　一、函数连续性的概念

　　1.函数在某点的连续性

　　若函数f（x）在点x0及其左右有定义，且处连续，x0为函数f（x）的连续点。

　　理解这个定义要把握三个要点：

（1）f（x）要在点x0及其左右有定义；

（2）

　　lim

　　f（x）=f（x0），则称函数f（x）在点x0

　　xx0

　　lim

　　f（x）要存在

　　xx0

　　lim

　　f（x）=f（x0）。

　　xx0

　　（3）增量

　　△x=x-x0△y=f（x）-f（x0）

　　设函数f（x）在点x0及其左右有定义，如果当自变量x在点x0处的增量△x趋近于零时，相应的函数增量△y也趋近于零，即

　　lim

　　则称函数f（x）在点x0处连续，x0y0，

　　为f（x）的连续点。

　　2.函数在区间上的连续性、连续函数

　　如果函数f（x）在区间（a，b）上每一点上连续，则称函数f（x）在区间（a，b）上连续。

　　如果函数f（x）在某个区间上连续，就称f（x）是这个区间上的连续函数。

二、连续函数的运算与初等函数的连续性

　　1.连续函数的运算

　　如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）在这一点也连续。

　　设函数u在点x0处连续，且u0x0，函数y=f（u）点u0处连续，那么复合函数yf（x0）在点x0处也连续。

　　2.初等函数的连续性

　　初等函数在其定义域内是连续的。

　　第二章微分与导数

　　&导数的概念

　　设函数y=f（x）在点x0处及其左右两侧的小范围内有定义，当△x→0时，若

　　得极限x

　　存在，则称y=f（x）在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f（x）点x0处的导数，记作

　　limfx0xfx0y

　　，x0f’

　　x0xx0x

　　lim

　　还可记作y’

　　∣

　　xx0或

　　dydy

　　∣xx0

　　dxdx

　　∣

　　xx0

　　。

　　（x0）和f（x0）都存在且等于A，即函数f（x）在点x0可导且f′（x0）=A等价于f

　　x0fx0A。

fx0Af

　　根据这个定理，函数在某点的左、右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等，

　　该点的导数就不存在。

　　&导数的四则运算法则和基本公式

　　篇二：

大一高数（下）2,大一下学期高数总结归纳

　　1．（3分）若a1,3,2,b5,1,4,则ab

　　2.（3分）曲面x2y2z214在点（1,2,3）处的法线方程为

　　yy2y0的通解为

　　为周期的周期函数，则其傅里叶级数的系数表达式为3.（3分）微分方程4.（3分）设f（x）是以2an（n0,1,2,）,bn

　　（n1,2,）.

　　1.（4分）级数

（1）

　　n1n1n2为（）.

　　（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性不确定

　　2.（4分）设曲面x2y2R2与x2z2R2（R0）所围成的空间立体的体积为V,若该立体在第一卦限部分的体积是V1,则（）.

V14:

1（B）V:

V16:

1（C）V:

V18:

1（D）V:

V116:

1（A）V

　　3.（4分）二重积分f（x,y）d在极坐标系下的面积元素为（）.

　　（A）ddxdy（B）drdrd（C）ddrd（D）dr2sindrd

　　4.（4分）若可微函数zf（x,y）在点（x0,y0）处取得极小值，,则下列结论中正确的是（）.

　　（A）数大于零（B）f（x0,y）在yy0处的导数等于零f（x0,y）在yy0处的导

　　导数小于零（D）f（x0,y）在yy0处的导数不存在f（x0,y）在yy0处的（C）

　　1.（6分）设f（x,y）exy（y21）arctanxy,求fx（x,1）.

　　f（x,y）由方程ezxyz0所确定，求dz.2.（6分）设z

　　1.（6分）计算二重积分（x

　　D2y2x）d,其中D是由直线y2,yx及y2x所围成的闭区域.

　　2.（6分）将函数f（x）ln（2x）展开为麦克劳林级数.

　　3.（6分）在斜边边长为定数l的直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.

　　1.（6

　　分）计算曲线积分,其中L为x2y2a2（a0）,yx及x轴在第一象限内所围成的扇形

　　的整个边界.

　　2.（6分）求曲面积分Ixdydzydzdx（z22z）dxdy,其中

　　为锥面z

　　z1）的下侧.

　　1.（6分）计算曲线积分132（xy2y）dxxx3dy,其中c是由直线x1,yx,y2x所围成的三角形c

　　的正向边界.

　　2.（6分）判别级数11的敛散性.tannnn1

　　3.（6分）求幂级数

（1）

　　n1n1（x1）nn的收敛半径和收敛区间.

　　1.（6分）求微分方程yy4xex在初始条件yx00,yx01下的特解.

　　2.（6分）设曲线积分[f（x）eLx]sinydxf（x）cosydy与路径无关,其中f（x）有一阶连续的导数,且

　　f（0）0,求f（x）.

　　评分标准

　　一、1.10;2.x1y2z3;123

　　C1exC2e2x.

　　1f（x）cosnxdx,bnf（x）sinnxdx;;1

　　二、1C;2C;3B;4B.

　　三、1解xf（x,1）e,

　　fx（x,1）ex.

　　z2解方程两边求微分得edzyzdxxzdyxydz0,dzyzdxxzdyezxy

　　四、1解画图

　　原式dyy（x2y2x）dx02

　　2193y3y2dy0248

　　13.6

　　2n1x2x3x4xnx）x（1（1x解ln（1234n11）,2xxln（2x）ln21ln2ln122

　　xxxx22xx2n2ln2

（1）（11）,2234n12

　　2分234n1

　　xx2x3x4xn1

　　nln2

（1）（2x2）.234n12223242（n1）2

　　1分

　　3解设周长和两个直角边分别为z,

　　则x,y,zxyl,l2x2y2.y）xyl（l2x2y2）,作辅助函数为F（x,

　　由拉格朗日乘数法，

　　Fx12x0,Fy12y0,

　　222lxy.

　　解之得唯一可能的极值点2l,2l.由问题本身的性质可知最大值一定存在，并在该点处取得，既当两个直角边分别为

　　l,l，斜边为l时，周长最大.22

　　五、1解画图原式

　　420xdx0adt0分

　　a2a2a2

　　242

　　4a2.2解画图补充平面2

z1（x2y1）取上侧.由高斯公式可得

　　I（z22z）dxdyydzdx（z22z）dxdy

　　xdydzydzdxxdydz11

　　（112z2）dxdydz1dxdyx2y21

　　211

　　0d0rdrr2zdz3

　　2.六、1解画图由格林公式得

　　[（x21）（x22）]dxdyD

　　2111

　　2.2解由比较判别法的极限形式11tan1

　　limn11,n2

　　而级数1

　　2收敛,所以原级数收敛.n1n

　　3解lian1

　　na1,分

　　R1,又当x11时原级数收敛,当x11时原级数发散,

　　分

　　所以原级数的收敛区间为（2,0].七、1解特征方程为r210,

　　特征值是r11,r21,所以齐此方程的通解为yCx

　　1eC2ex.因为1是特征方程的单根，故可设特解为y*x（axb）ex,利用待定系数法可得a1,b1,于是原方程的通解为yC1exC2ex（x2x）ex.将初始条件代入上式得所求特解为yexex（x2x）ex.

　　1分

　　2解由所给条件可知

　　[f（x）ex]cosyf（x）cosy,即f（x）f（x）ex.用常数变易法可得通解为f（x）Cex1ex

　　2,2分将初始条件代入上式得C1

　　2,1所求函f（x）1x1

　　2e2ex.数为

　　篇三：

高数下总结

　　序言：

除了级数与三重积分高数下的知识基本都在这里了，而且都是考试必备知识，所

　　以哪个知识点没弄懂一定要针对性地找点题目弄懂！

　　第八章向量代数与空间解析几何

　　1.平面的点法式方程：

设平面过P（x0,yo,z0）,法向量nA,B,C，则平面方程为：

　　Axx0Byy0Czz00

　　2.平面法向量一般求法：

一般法向量n与俩向量n1x1,y1,z1，n2x2,y2,z2，则

　　ijnn10nnnxyz，如果不会用行列式就用高中方法求法向量即由求12111

　　nn02

　　x2y2z

　　第九章多元函数微分学

　　1.二元函数：

f（x,y）02.二元函数的极限：

xx0,

　　yy0

　　limf（x,y）

　　求法与一元基本一致，下判断其存在性：

　　一般找俩条特殊路线，若二者极限不相等则二重极限不存在，即常取ykx，ykx2等简单路线，若结果与K有关则极限不存在（注意一定要将x给消掉）例.判断下列二重极限是否存在，存在并求其值

　　x2yx2y1xy

（2）lim（3）lim

（1）

（1）limx0x2y2x0x4y2xxy0y0y0

　　kx2k

　　=解：

（1）取ykx，则原式=lim，与K有关，故极限不存在

　　x0（1k2）x21k2kx4k

（2）取ykx。

则原式=lim=，与K有关，故极限不存在

　　x0（1k2）x41k2

　　（3）此题无法利用上述方法判断其是否存在，故直接求

（1）1xxy

　　lim

（1）原式=lim

（1）=x=e1（用了第二个重要极限）

　　xxxy0y0

　　3.二元函数连续性：

f（x,y）在p0（x0,y0）连续等价于

　　xx0

　　yy0

　　limf（x,y）f（x0,y0）

　　4.偏导数求法：

对x求则把y看成常数，反之亦然

　　例.

　　zecosy

　　zz2z2z,,（求为二阶偏导）xyxyxy

　　zz2x

　　e2xsiny2ecosy解.

　　）2

　　（2e2xcosy）z2e2xsiny

　　xyyy

　　（

　　5.全微分几个概念间关系

　　①可微函数一定连续（不连续一定不可微）②可微则偏导一定存在（逆命题不成立）且dz③函数有一阶连续偏导则函数一定可微④偏导不存在一定不可微

　　dxdy（全微分公式）xy

　　x2y2

　　例.讨论函数f（x,y）xy

　　,x2y20,x2y20

　　在（0,0）是否可微

　　解.思路：

求其在（0,0）点极限是否存在，判断其连续性从而判断其是否可微

　　x2y21kx6

　　limxy,）在（0,0）取ykx，==取决于k，则x06故f（lim33x0x6k3x6xy1ky0

　　点极限不存在（即使存在若不等于0，该函数在（0,0）点不连续，亦不可微），故f（x,y）在（0,0）点不连续，故函数在（0,0）不可微6.复合函数求导法则：

分道相加，连线相乘

　　①中间函数为一元：

uu（x）,vv（x）,zfu（x）,v（x）z

　　则

　　dzfdufdvf其中可用f'表示（f对一个变量的偏导）

　　1dxudxvdxuf

　　可用f'表示，这样就避免了u、v在最后结果中出现了

　　同理

　　例.zxtanx，求

　　dzdx

　　解.zf（u,v）uv，ux，vtanx

　　则

　　dzfdufdv

　　f'f'sec2x

　　12dxudxvdx

　　②中间函数为二元：

uu（x，y）,vv（x,y）,zfu（x,y）,v（x,y）z

　　zfufvzfufv

　　下面举一个特别重要的例子则

　　xuxvxyuyvy2z

　　例.f具有二阶连续偏导，zf（xy,xy），求

　　解.zf（u,v），ux2y2，vxy

　　则

　　zfufv

　　f'2xf'y

　　12xuxvx

　　）f1'uf1'vf2'uf2'vz2xf2'y

　　xyyuyvyuyvy

　　（

　　2yf12''xf2'yf21''2yf22''x2xf11''

　　由于f具有二阶连续偏导，故f12''f21''（f12''表示f1'对第2个变量v的偏导，其他同理）

　　故原式4xyf11''2xyf12''f2'xyf22''这种题一定要弄懂！

！

　　7.隐函数微分法

　　①一个方程情形：

　　zfx'zfy'dyfx'

　　,f（x,y）0则）则0，f（x,y,zdxfy'xfz'yfz'

　　例.exy2zez0求全微分dz

　　解.令fxe

　　zfx'yexyzfy'xexy

　　2ze则zz，

　　xfz'e2yfz'e2

　　zzyexyxexy

　　dxdyzdxzdy故dzxye2e2

　　②方程组情形（有3个未知量时求的是导数，有4个未知量时求的是偏导）

　　方法：

对方程两边同时对x或y或其他变量求（偏）导即可

　　xyz0

　　例

（1）222

　　xyz1

　　xyuv0dxdy

　　求

（2）u2v202

　　dzdzxyuv0

　　求

　　解.

（1）方程组两边同时对z求导得：

　　dxdy

　　10dzdz

　　2xdx2ydy2z0dzdz

　　dxzy

　　dzyx

　　解得

　　dyzxdzxy

（2）方程两边同时对x求偏导得：

　　y2u2v0xx

　　2xvuuv0xx

　　8.方向导数与梯度

　　4xvyuu

　　x2u2v2

　　解得

　　v4xuyv

　　x2u2v2

　　①方向导数：

设二元函数f（x,y）在点p0（x0,y0）处可微，则f（x,y）在点p0（x0,y0）处沿任意方向l0的方向导数都存在，且其值：

　　fx'（x0,y0）cosfy'（x0,y0）sin其中为l对x轴正向的转角

　　lx0,y0

　　例.求fx,yxecos（xy）在点（1,0）处沿从点P（2,1）到点Q（3,0）方向l的方向导数

　　解.方向l即为向量PQ1,1所指方向，=，

　　故cos，又4

　　，fx'（x,y）2eysinx（y）f'（x,y）2xe2yxsin（xy）所以，

　　fx'（1,0）

　　，

　　1fy'（1,0）2代入公式即得

　　1,0uuu

　　,,②梯度：

uf（x,y,z）在P（x0,y0,z0）梯度为gradu（p），xyzxyz000

　　它是一个向量。

　　9.多元函数求极值

　　方法：

先求其一阶

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