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农产品定价
农产品定价问题的讨论
摘要
本文针对农产品定价问题，通过合理假设，从建立关于各产品价格提高百分数与销售总收入的抽象二次规划模型入手，根据不同情况将模型具体为基本价格模型和价格稳定浮动模型。
针对不考虑政策限制的情况，建立基本价格模型。
又根据对文中“价格伸缩性”和“交叉伸缩性”作用时间的不同理解，建立两个基于不同理解的子模型。
利用lingo软件求出结果：
二者先后作用时：
价格分别定为524.27、583.71、1086.60、1840.57万元，最大销售总收入234768.7万元；二者同时作用时：
价格分别定为523.19、557.82、1213.67、1943.82万元，最大销售总收入235626.0万元。
针对考虑政策限制的情况，我们从商家利益和顾客利益两方面考虑，通过增加约束条件，并对“价格指标”做出合理化理解，建立价格稳定浮动模型，避免了基本价格模型的局限性，使模型更加符合现实情况。
最后讨论了“价格指标”取不同值时对销售总收入的影响，利用lingo软件求出结果：
考虑商家利益时，限定奶酪1的价格在10%以内浮动，最大销售总收入232166.6万元；考虑顾客利益时，限定牛奶的价格在10%以内浮动，最少购买总支出200799.8万元。
关键词：
定价问题二次规划价格指标lingo
一、问题重述
某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。
现共有原料60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，相关数据如下表：
表1：
各种产品的百分比组成
脂肪
奶粉
水
牛奶
4
9
87
奶油
80
2
18
奶酪1
35
30
35
奶酪2
25
40
35
表2：
往年的国内消费和价格
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
消费量（万吨）
482
32
21
7
价格（元/吨）
297
720
1050
815
规律1：
价格的变化会影响消费需求。
定义需求的价格伸缩性E：
E=需求降低百分数/价格提高百分数
规律2：
两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。
定义需求关于价格的交叉伸缩性EAB：
EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数
通过数理统计的方法已经求出牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4以及E12=0.1,E21=0.4
问题1：
试求出4种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入为最大。
问题2：
由于政策不允许某种产品的价格指标上升，这使得新的价格必须使该产品消费的总费用较上一年度不增加。
因此，对问题的一个特别重要的附加要求，是对这一政策限制的经济代价，给出数量表示。
二、问题分析
本题属于数学规划类问题，根据价格的变化影响消费需求的原理，确定4种产品新的价格使得销售总收入达到最大值。
建立价格与需求的二次规划模型利用lingo求解，并利用经济学原理分析检验模型的正确性。
题目最后还增加了一个限定条件：
“不允许某种价格指标上升”使得“新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加”。
我们将这里的“价格指标”理解为价格正常上下浮动范围的界限，“消费的总费用”理解为对应产品的销售总收入，即政策控制某种产品的价格浮动界限，使得该产品的消费总费用不大于往年消费费用。
三、模型假设
1、各产品的生产计划完全按照计算所得的需求量，即不考虑产品有剩余
2、原料中的水的成本不计，且水的供应足够
3、题中所给数据信息都真实准确
4、价格在一定范围w（具体数值需讨论）内浮动时我们认为价格指标不变
四、符号系统
Pi0第i种产品的往年价格
Si0第i种产品的往年需求量
Pi第i种产品的新价格
Si第i种产品的新需求量
z销售总收入
Ei第i种产品的价格伸缩性
Eij第j种产品对第i种产品的交叉伸缩性
xi第i种产品的价格提高百分数
第i种产品的脂肪含量百分比
第i种产品的奶粉含量百分比
w价格指标的合理浮动范围
五、模型建立
由模型分析我们知道问题主要讨论在约束条件下，如何确定产品价格使得产生最大销售总收入。
根据“销售收入=产品价格*消费量”的基本定义，我们先建立抽象的关于价格和消费量的二次规划模型：
目标函数要求：
求出4种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入最大
约束条件有：
脂肪与奶粉总量的限制
下面将建立的抽象模型分为基本价格模型和价格稳定浮动模型展开讨论：
●基本价格模型
一）模型分析：
需求的价格伸缩性和交叉伸缩性的两种理解：
价格的变化会影响消费需求，对于牛奶和奶油不受交叉伸缩性的影响，仅需考虑其自身的价格伸缩性。
对于奶酪1与奶酪2两者都要考虑，我们可以考虑两者价格影响需求的过程是先后的两个阶段（第一阶段奶酪1与奶酪2的需求因为自身的价格伸缩性而变化，第二阶段两者需求在前一阶段变化的基础上因为交叉伸缩性相互影响）；或者考虑成同一个过程的两个部分（奶酪1与奶酪2需求的变化一部分来源于自身价格变化，另一部分源于对方的价格变化带来的需求的交叉伸缩性改变）。
我们认为前者是价格变化通过价格伸缩性与交叉伸缩性先后影响对应的产品需求量的变化并且将价格伸缩性变化之后的新需求作为奶酪1与奶酪2交叉伸缩性变化的原始需求量，而后者是两者同时影响改变相应产品的需求量。
二）模型准备：
设四种产品的价格提高百分数为x1,x2,x3,x4
则四种产品的新价格为297（1+x1）,720（1+x2）,1050（1+x3）,815（1+x4）（元/吨）
牛奶的需求量：
482（1-x1E1）万吨
奶油的需求量：
32（1-x2E2）万吨
1）考虑价格伸缩性与交叉伸缩性先后影响对于产品需求量
奶酪1的需求量：
21（1-x3E3）（1+x4E12）万吨
奶酪2的需求量：
7（1-x4E4）（1+x3E21）万吨
或者：
2）考虑价格伸缩性与交叉伸缩性同时影响对于产品需求量
奶酪1的需求量：
21（1-x3E3+x4E12）万吨
奶酪2的需求量：
7（1-x4E4+x3E21）万吨
我们先考虑第1种理解：
生产四种产品所需的脂肪：
482（1-x1E1）*4%+32（1-x2E2）*80%+21（1-x3E3）（1+x4E12）*35%
+7（1-x4E4）（1+x3E21）*25%
生产四种产品所需的奶粉：
482（1-x1E1）*9%+32（1-x2E2）*2%+21（1-x3E3）（1+x4E12）*30%
+7（1-x4E4）（1+x3E21）*40%
销售总收入：
297（1+x1）*482（1-x1E1）+720（1+x2）*32（1-x2E2）+1050（1+x3）*21（1-x3E3）（1+x4E12）+815（1+x4）*7（1-x4E4）（1+x3E21）（万元）
三）模型建立：
目标函数：
Maxz=297（1+x1）*482（1-x1E1）+720（1+x2）*32（1-x2E2）+
1050（1+x3）*21（1-x3E3）（1+x4E12）+815（1+x4）*7（1-x4E4）（1+x3E21）
约束条件：
482（1-x1E1）*4%+32（1-x2E2）*80%+21（1-x3E3）（1+x4E12）*35%
+7（1-x4E4）（1+x3E21）*25%<=60
482（1-x1E1）*9%+32（1-x2E2）*2%+21（1-x3E3）（1+x4E12）*30%
+7（1-x4E4）（1+x3E21）*40%<=70
四）模型求解：
利用lingo得到结果（程序见附录1）：
表3：
基于第1种理解调整后的价格与消费量
产品
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
价格提高百分数
76.52%
-18.92%
3.49%
125.84%
价格（元/吨）
524.27
583.71
1086.60
1840.57
消费量（万吨）
334.47
38.06
22.74
3.53
注：
表中结果均保留小数点后两位有效数字（下同）
最大销售总收入z=234768.7（万元）
通过同样的方法可以得到第2种理解下的结果（程序见附录2）：
表4：
基于第2种理解调整后的价格与消费量
产品
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
价格提高百分数
76.16%
-22.52%
15.59%
138.51%
价格（元/吨）
523.19
557.82
1213.67
1943.82
消费量（万吨）
335.17
51.46
20.31
3.56
最大销售总收入z=235626（万元）
●价格稳定浮动模型
一）模型分析：
我们假设4种产品中的某一种的价格指标不能上升，即价格在某一个范围内浮动而这个范围不上升，新的价格必须使该种产品的消费总费用较上一年度不增加。
经济代价为上一模型得出的最大销售总收入减去调整价格后的最大销售总收入。
目标函数：
价格调整引起的经济代价最小，即调整后的销售总收入最大值
约束条件增加两项：
1、某一种产品价格在给定（1-w,1+w）范围内平稳浮动；2、该种产品的消费总费用不大于上一年度总费用，即：
|xi|<=w
Pi*Si<=Pi0*Si0
在第1种理解下对4种产品分别讨论：
1）假设牛奶的价格指标不上升
-w<=x1<=w
297（1+x1）*482（1-x1E1）<=297*482
2）假设奶油的价格指标不上升
-w<=x2<=w
720（1+x2）*32（1-x2E2）<=720*32
3）假设奶酪1的价格指标不上升
-w<=x3<=w
1050（1+x3）*21（1-x3E3）（1+x4E12）<=1050*21
4）假设奶酪2的价格指标不上升
-w<=x4<=w
815（1+x4）*7（1-x4E4）（1+x3E21）<=815*7
二）模型建立：
先考虑牛奶的价格指标不上升的情况：
目标函数：
Maxz=297（1+x1）*482（1-x1E1）+720（1+x2）*32（1-x2E2）
+1050（1+x3）*21（1-x3E3）（1+x4E12）+815（1+x4）*7（1-x4E4）（1+x3E21）
约束条件：
482（1-x1E1）*4%+32（1-x2E2）*80%+21（1-x3E3）（1+x4E12）*35%
+7（1-x4E4）（1+x3E21）*25%<=60
482（1-x1E1）*9%+32（1-x2E2）*2%+21（1-x3E3）（1+x4E12）*30%
+7（1-x4E4）（1+x3E21）*40%<=70
-w<=x1<=w
297（1+x1）*482（1-x1E1）<=297*482
三）模型求解：
我们取w=10%，并用lingo得到结果（程序见附录3）
表5：
控制牛奶价格指标不上升时的价格与消费量
产品
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
价格提高百分数
0.00%
-10.66%
5.65%
127.43%
价格（元/吨）
297.00
643.24
1109.30
1733.86
消费量（万吨）
482.00
41.21
22.21
3.51
最大销售总收入z=200799.8（万元）
四）模型改进：
当w的取值为8%、6%、4%、2%、0%时，我们发现上述结果并没有改变，最大销售总收入始终为200799.8万元。
用同样的方法考虑其余三种情况，我们发现只有当奶酪1或奶酪2的价格指标不上升时最大销售总收入会随w的取值改变而改变，见下表数据：
表6：
所有情况下的最大销售总收入（万元）
w=0%
w=2%
w=4%
w=6%
w=8%
w=10%
牛奶价格指标
不上升
200799.8
200799.8
200799.8
200799.8
200799.8
200799.8
奶油价格指标
不上升
229628.8
229628.8
229628.8
229628.8
229628.8
229628.8
奶酪1价格指标不上升
231050.6
231224.5
231426.9
231654.6
231903.1
232166.6
奶酪2价格指标不上升
231050.6
231080.9
231082.2
231082.2
231082.2
231082.2
从上表可以看出，价格指标w即价格上下波动的界限保持在一个值不变时，最大总销售收入都比第一个模型所得的结果要小，这也说明了政府干预的作用。
同一个价格指标作用于不同的商品时，对总销售收入的影响也不同，不难看出在同一个价格指标w下，价格指标作用于奶酪1时所能得到的总销售收入最大。
当价格指标取不同值时，w作用于奶酪1比作用于其他奶制品所得的总销售收入都要来得大；作用于牛奶时所得销售总收入都是最小的。
所以，政府在维持经济秩序的同时，如果从顾客角度去考虑的话，应该限定牛奶的价格指标，这样可以使顾客得到的利益最大化，商家的销售总收入最小；如果政府从商家角度去考虑，应该限定奶酪1的价格指标，这样可以使商家的利益最大化，商家的销售总收入最大。
五）模型解释：
下面为了解释牛奶与奶油的价格指标不上升时销售总收入保持不变的现象，我们对两者的情况稍作分析：
图一：
牛奶销售总收入与价格提高百分数的关系图
注：
红线为往年牛奶的销售总收入，蓝线为新价格对应的销售总收入（下同）
由图一可知：
当牛奶价格提高百分数x1<=0或者x1>=1.5时，曲线部分在横线部分下面，牛奶的销售收入比往年要小，即满足新的价格才能使消费的总费用较上一年度不增加的条件。
而我们的价格指标w给定的最大值为10%，步长取0.02，即x1取值-10%—10%，在同时满足总消费费用的前提下，牛奶价格提高百分数x1的有效取值区间为[-0.1,0]，在这个区间内牛奶销售总收入是关于价格提高百分数单调递增，在x1=0处取到最大值，因此在价格指标从10%变到0的过程中，x1区间分别为：
[-0.1,0.1],[-0.08,0.08],[-0.06,0.06],[-0.04,0.04],[-0.02,0.02],[0,0]时，最优解和最优值不变，都在x=2处取到。
图二：
奶油销售总收入与价格提高百分数的关系图
对图二做类似的分析：
奶油价格提高百分数在x2<=-0.63和x2>=0的部分时，曲线在横线的下面，奶油的销售总收入比往年要小，也就是满足了新的价格才能使消费的总费用较上一年度不增加的条件。
我们的价格指标w给定的最大值为10%，即x2取值-10%—10%，在同时满足总消费费用的前提下，牛奶价格提高百分数x2的有效取值区间为[0,0.1]，在这个区间内牛奶销售总收入是关于价格提高百分数单调递减的，在x2=0处取到最大值，因此在价格指标从0变到10%，步长为2%的过程中，即x2区间分别为：
[-0.1,0.1],[-0.08,0.08],[-0.06,0.06],[-0.04,0.04],[-0.02,0.02],[0,0]时，最优解和最优值不变,都在x2=0处取到。
六、模型分析
本文一共建立了两个模型：
基本价格模型和价格稳定浮动模型。
基本价格模型仅仅考虑价格变化与需求的关系，直接利用给定数据建立二次规划模型，能够很直接得反映价格变化影响消费需求的关系，也能在一定程度上得到问题的正确结果。
缺点是考虑过于简单，与现实情况有一定差异。
价格稳定浮动模型利用经济学原理将“价格指标”引申为价格稳定浮动界限，解决了单纯考虑价格这一指标的局限性，更加符合经济学理论。
同时在选择最优解的时候考虑到商家和顾客的不同利益给出了不同的价格方案，能比较直接地反映政府宏观调控的作用，是一种较好的模型。
七、模型推广
本文主要采用二次规划的模型，具有广泛的实际应用。
利用上述模型可以方便地解决商品与需求量相互影响的问题，制定出最优的定价方案。
另外，本文对模型的评价方法也值得推广，在定价问题中从商家和顾客两种角度去得到模型的最优解，使模型结果更加真实可靠。
八、结论
本文针对农产品定价问题，从建立抽象二次规划模型入手，针对不考虑政策限制的情况，先建立了基本价格模型，根据对“价格伸缩性”和“交叉伸缩性”的不同理解得到两个子模型，最终结果分别为：
基于第1种理解调整后的价格与消费量
产品
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
价格提高百分数
76.52%
-18.92%
3.49%
125.84%
价格（元/吨）
524.27
583.71
1086.60
1840.57
消费量（万吨）
334.47
38.06
22.74
3.53
最大销售总收入z=234768.7（万元）
基于第2种理解调整后的价格与消费量
产品
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
价格提高百分数
76.16%
-22.52%
15.59%
138.51%
价格（元/吨）
523.19
557.82
1213.67
1943.82
消费量（万吨）
335.17
51.46
20.31
3.56
最大销售总收入z=235626（万元）
针对文中提出的政策限制，我们从商家利益和顾客利益两方面考虑，通过增加约束条件，保持原目标函数，并对“价格指标”做出合理理解，建立允许价格稳定浮动的二次规划模型。
最终结果为：
所有情况下的最大销售总收入（万元）
w=0%
w=2%
w=4%
w=6%
w=8%
w=10%
牛奶价格指标
不上升
200799.8
200799.8
200799.8
200799.8
200799.8
200799.8
奶油价格指标
不上升
229628.8
229628.8
229628.8
229628.8
229628.8
229628.8
奶酪1价格指标不上升
231050.6
231224.5
231426.9
231654.6
231903.1
232166.6
奶酪2价格指标不上升
231050.6
231080.9
231082.2
231082.2
231082.2
231082.2
考虑商家利益时，限定奶酪1的价格在10%以内浮动，最大销售总收入232166.6万元；
考虑顾客利益时，限定牛奶的价格在10%以内浮动，最少购买总支出200799.8万元。
九、参考文献
[1]赵静,但琦等.数学建模与数学实验.北京：
高等教育出版社,2008年.
[2]李维铮等.运筹学（第三版）.北京：
清华大学出版社,2006年.
[3]刘焕彬等.数学模型与实验.北京：
科学出版社,2008年.
附录
附录1、基于第1种理解调整后的价格与消费量
max=10000*（482*（1-0.4*x1）*297*（1+x1）+32*（1-2.7*x2）*720*（1+x2）+21*（1-1.1*x3）*（1+0.1*x4）*1050*（1+x3）+7*（1-0.4*x4）*（1+0.4*x3）*815*（1+x4））;
0.04*482*（1-0.4*x1）+0.8*32*（1-2.7*x2）+0.35*21*（1-1.1*x3）+0.25*7*（1-0.4*x4）<=60;
0.09*482*（1-0.4*x1）+0.02*32*（1-2.7*x2）+0.3*21*（1-1.1*x3）+0.4*7*（1-0.4*x4）<=70;
482*（1-0.4*x1）>=0;
32*（1-2.7*x2）>=0;
21*（1-1.1*x3）>=0;
7*（1-0.4*x4）>=0;
@free（x1）;
@free（x2）;
@free（x3）;
@free（x4）;
附录2、基于第2种理解调整后的价格与消费量
MAX=297*（1+x1）*482*（1-0.4*x1）+720*（1+x2）*32*（1-2.7*x2）+1050*（1+x3）*21*（1-1.1*x3+0.1*x4）+815*（1+x4）*7*（1-0.4*x4+0.4*x3）;
482*（1-0.4*x1）*0.04+30*（1-2.7*x2）*0.8+21*（1-1.1*x3+0.1*x4）*0.35+7*（1-0.4*x4+0.4*x3）*0.25<=60;
482*（1-0.4*x1）*0.09+30*（1-2.7*x2）*0.02+21*（1-1.1*x3+0.1*x4）*0.3+7*（1-0.4*x4+0.4*x3）*0.4<=70;
482*（1-0.4*x1）>=0;
32*（1-2.7*x2）>=0;
21*（1-1.1*x3）>=0;
7*（1-0.4*x4）>=0;
@free（x1）;
@free（x2）;
@free（x3）;
@free（x4）;
附录3、控制牛奶价格指标不上升时的价格与消费量
max=10000*（482*（1-0.4*x1）*297*（1+x1）+32*（1-2.7*x2）*720*（1+x2）+21*（1-1.1*x3）*（1+0.1*x4）*1050*（1+x3）+7*（1-0.4*x4）*（1+0.4*x3）*815*（1+x4））;
0.04*482*（1-0.4*x1）+0.8*32*（1-2.7*x2）+0.35*21*（1-1.1*x3）+0.25*7*（1-0.4*x4）<=60;
0.09*482*（1-0.4*x1）+0.02*32*（1-2.7*x2）+0.3*21*（1-1.1*x3）+0.4*7*（1-0.4*x4）<=70;
482*（1-0.4*x1）>=0;
32*（1-2.7*x2）>=0;
21*（1-1.1*x3）>=0;
7*（1-0.4*x4）>=0;
@free（x1）;
@free（x2）;
@free（x3）;
@free（x4）;
x1>=-0.0;
x1<=0.0;
482*（1-0.4*x1）*297*（1+x1）<=482*297;
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