江苏省普通高等学校高三数学招生考试模拟测试试题十080901144.docx

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江苏省普通高等学校高三数学招生考试模拟测试试题十080901144

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷（十）

数　　学

（满分160分，考试时间120分钟）

参考公式：

锥体的体积公式：

V＝Sh，其中S为底面积，h为高．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1，2，5}，则A∩B＝________．

2.已知复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝________．

3.书架上有3本数学书，2本物理书．若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为________．

4.运行如图所示的伪代码，其结果为________．

　S←1

ForIFrom1To7Step2

　S←S＋I

EndFor

PrintS

5.某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________．

6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P（1，3），则其焦点到准线的距离为________．

7.已知实数x，y满足则目标函数z＝x－y的最小值为________．

8.若一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________．

9.在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cosB＝，则边c＝________．

10.设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为________．

11.如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·的值为________．

12.在平面直角坐标系xOy中，过点P（－4，0）的直线l与圆C：

（x－1）2＋y2＝5相交于A、B两点．若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为____________．

13.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x＋，设g（x）＝若函数y＝g（x）－t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是________．

14.设函数y＝的图象上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是________．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示．

（1）求函数y＝f（x）的解析式；

（2）当x∈时，求f（x）的取值范围．

16.（本小题满分14分）

如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O是侧面ACC1A1的中心，∠ACB＝，M是棱BC的中点．求证：

（1）OM∥平面ABB1A1；

（2）平面ABC1⊥平面A1BC.

17.（本小题满分14分）

如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，直线AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P.垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：

①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30t和50t，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C：

＋y2＝1上一点，从原点O向圆M：

（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2（r>0）作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2.

（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；

（2）若r＝.

①求证：

k1k2＝－；

②求OP·OQ的最大值．

19.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝的图象在x＝0处的切线方程为y＝x，其中e是自然对数的底数．

（1）求实数a的值；

（2）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求实数k的取值范围；

（3）若函数g（x）＝lnf（x）－b（b∈R）的两个零点为x1，x2，试判断g′的正负，并说明理由．

20.（本小题满分16分）

设数列{an}共有m（m∈N，m≥3）项，记该数列前i项a1，a2，…，ai中的最大项为Ai，该数列后m－i项ai＋1，ai＋2，…，am中的最小项为Bi，ri＝Ai－Bi（i＝1，2，3，…，m－1）．

（1）若数列{an}的通项公式为an＝2n，求数列{ri}的通项公式；

（2）若数列{an}是单调数列，且满足a1＝1，ri＝－2，求数列{an}的通项公式；

（3）试构造一个数列{an}，满足an＝bn＋cn，其中{bn}是公差不为零的等差数列，{cn}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m（m∈N，m≥3），数列{ri}都是单调递增的，并说明理由

（十）

1.{－1}　解析：

由A＝{－1，1}，B＝{－1，2，5}，则A∩B＝{－1}．本题考查了集合交集的概念，属于容易题．

2.　解析：

z＝＝＋i，|z|＝＝.本题主要考查复数的模的概念及除法运算等基础知识，属于容易题．

3.　解析：

基本事件数共10种，取出的2本书都是数学书的事件有（数1，数2），（数1，数3），（数2，数3），共3种，则取出的2本书都是数学书的概率为.本题考查了古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数．本题属于容易题．

4.17　解析：

由题设伪代码的循环体执行如下：

S＝1＋1＋3＋5＋7＝17.本题考查伪代码的基础知识，属于容易题．

5.17　解析：

360×＝18人，则从高三年级学生中抽取的人数为55－20－18＝17.本题主要考查分层抽样的概念，属于容易题．

6.　解析：

由题设知抛物线的方程为y2＝2px，将P（1，3）代入y2＝2px，得p＝，即抛物线焦点到准线的距离为p，即为.本题主要考查抛物线的方程，以及p的几何意义，属于容易题．

7.－3　解析：

画出可行域发现z＝x－y过点（1，4）时，z＝x－y取得最小值－3.本题主要考查简单的线性规划问题．本题属于容易题．

8.2　解析：

底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为8，该正方体的棱长为2.本题主要考查简单的几何体的体积问题，属于容易题．

9.7　解析：

由cosB＝，得sinB＝，则sinC＝sin（A＋B）＝，由正弦定理得＝，得c＝7.本题主要考查和差角公式，以及利用正弦定理解三角形．本题属于中等题．

10.20　解析：

an＞0，前n项和Sn＞0,S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，则（S6－S3）2＝S3·（S9－S6），S9－S6＝（S6－S3）2/S3＝（S6－2S3＋S3）2/S3＝（5＋S3）2/S3＝（S＋10S3＋25）/S3＝S3＋25/S3＋10，由均值不等式得：

当且仅当S3＝5时，S3＋25/S3有最小值5＋5＝10，此时S3＋25/S3＋10有最小值10＋10＝20，则S9－S6的最小值为20.本题主要考查等比数列的性质以及基本不等式．本题属于中等题．

11.－2　解析：

由AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，利用余弦定理得BC＝2，·＝·＝·＋·，而由利用余弦定理知cosB＝，可得·＝－2.本题主要考查余弦定理和向量的数量积问题．本题属于中等题．

12.x±3y＋4＝0　解析：

由设AB的中点为H，连接AC，HC，设HC＝y，AH＝x，则由勾股定理得：

，得

，所以tan

HPC=，则k=

，直线l过点P（－4，0），则直线l的方程为x±3y＋4＝0.本题主要考查垂径定理，勾股定理，斜率与倾斜角的关系．本题属于中等题．

13.　解析：

f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x＋，由f（0）＝0，得m＝－1，作出y＝g（x）的图象，再作直线y＝t，可以发现当t∈时，y＝g（x）的图象与直线y＝t有且只有一个交点，即函数y＝g（x）－t有且只有一个零点，所以实数t的取值范围是.本题突出了函数思想和分类讨论思想，考查了利用导数求最值和恒成立问题．本题属于难题．

14.　解析：

不妨设点P在y轴左侧，Q在y轴右侧，P一定在y＝－x3＋x2上．①若Q在y＝－x3＋x2上，设Q（x，－x3＋x2），则P（－x，x3＋x2），OP⊥OQ，·＝－x2＋（x3＋x2）（x2－x3）＝0，所以x4－x2＋1＝0，无解．②若Q在y＝alnx上，设Q（x，alnx）（x≥e），则P（－x，x3＋x2），OP⊥OQ，·＝－x2＋alnx（x3＋x2）＝0，化简得alnx（x＋1）＝1.因为a≠0，所以lnx（x＋1）＝.设f（x）＝lnx（x＋1）（x≥e），f′（x）＝lnx＋＋1，x≥e时，f′（x）>0恒成立，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（e），即lnx（x＋1）≥e＋1，所以≥e＋1，即0＜a≤.本题突出了函数思想和分类讨论思想，考查了向量数量积处理垂直问题、利用导数求最值问题．本题属于难题．

15.解：

（1）由图象知，A＝2，（2分）

又＝－＝，ω＞0，所以T＝2π＝，得ω＝1.（4分）

所以f（x）＝2sin（x＋φ），将点代入，得＋φ＝＋2kπ（k∈Z），即φ＝＋2kπ（k∈Z）．

又－＜φ＜，所以φ＝.（6分）

所以f（x）＝2sin.（8分）

（2）当x∈时，x＋∈，（10分）

所以sin∈，即f（x）∈[－，2]．（14分）

16.证明：

（1）在△A1BC中，因为O是A1C的中点，M是BC的中点，所以OM∥A1B.（4分）

又OM

平面ABB1A1，A1B

平面ABB1A1，所以OM∥平面ABB1A1.（6分）

（2）因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥底面ABC，所以CC1⊥BC.

又∠ACB＝，即BC⊥AC，而CC1，AC

平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.（8分）

而AC1

平面ACC1A1，所以BC⊥AC1.

又ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.而BC，A1C

平面A1BC，且BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC.（12分）

又AC1

平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面A1BC.（14分）

17.解：

（解法1）由条件①，得＝＝.（2分）

设PA＝5x，PB＝3x，则

cos∠PAB＝＝＋，（6分）

所以点P到直线AB的距离

h＝PAsin∠PAB＝5x·

＝＝，（10分）

所以当x2＝34，即x＝时，h取得最大值15km，

即选址应满足PA＝5km，PB＝3km.（14分）

（解法2）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．（2分）

则A（－8，0），B（8，0）．

由条件①，得＝＝.（4分）

设P（x，y）（y＞0），则3＝5，

化简，得（x－17）2＋y2＝152（y＞0），（10分）

即点P的轨迹是以点（17，0）为圆心，15为半径的位于x轴上方的半圆．则当x＝17时，点P到直线AB的距离最大，最大值为15km.

所以点P的选址应满足在上述坐标系中且坐标为（17，15）．（14分）

18.

（1）解：

因为椭圆C右焦点的坐标为（，0），所以圆心M的坐标为，（2分）

从而圆M的方程为（x－）2＋＝.（4分）

（2）①证明：

因为圆M与直线OP：

y＝k1x相切，所以＝，即（4－5x）k＋10x0y0k1＋4－5y＝0，（6分）

同理，有（4－5x）k＋10x0y0k2＋4－5y＝0，

所以k1，k2是方程（4－5x）k2＋10x0y0k＋4－5y＝0的两根，（8分）

从而k1k2＝＝＝＝－.（10分）

②解：

设点P1（x1，y1），P2（x2，y2），联立解得x＝，y＝，（12分）

同理，x＝，y＝，

所以OP2·OQ2＝·＝·＝·（14分）

≤＝，当且仅当k1＝±时取等号．所以OP·OQ的最大值为.（16分）

19.解：

（1）由题意得f′（x）＝，因函数在x＝0处的切线方程为y＝x，所以f′（0）＝＝1，得a＝1.（4分）

（2）由

（1）知f（x）＝＜对任意x∈（0，2）都成立，所以k＋2x－x2＞0，即k＞x2－2x对任意x∈（0，2）都成立，从而k≥0.（6分）

又不等式整理可得k＜＋x2－2x，令g（x）＝＋x2－2x，

所以g′（x）＝＋2（x－1）＝（x－1）＝0，得x＝1，（8分）

当x∈（1，2）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，2）上单调递增，

同理，函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以k＜g（x）min＝g

（1）＝e－1.

综上所述，实数k的取值范围是[0，e－1）．（10分）

（3）结论是g′＜0.（11分）

证明：

由题意知函数g（x）＝lnx－x－b，所以g′（x）＝－1＝，

易得函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，

所以只需证明＞1即可．（12分）

因为x1，x2是函数g（x）的两个零点，所以相减得x2－x1＝ln.

不妨令＝t＞1，则x2＝tx1，则tx1－x1＝lnt，所以x1＝lnt，x2＝lnt，

即证lnt>2，即证φ（t）＝lnt－2·>0.（14分）

因为φ′（t）＝－＝>0，所以φ（t）在（1，＋∞）上单调递增，所以φ（t）>φ

（1）＝0.

综上所述，函数g（x）总满足g′<0成立．（16分）

20.解：

（1）因为an＝2n单调递增，所以Ai＝2i，Bi＝2i＋1，

所以ri＝2i－2i＋1＝－2i，1≤i≤m－1.（4分）

（2）若{an}单调递减，则Ai＝a1＝1，Bi＝am，所以ri＝a1－am>0，不满足ri＝－2，所以{an}单调递增．（6分）

则Ai＝ai，Bi＝ai＋1，所以ri＝ai－ai＋1＝－2，即ai＋1－ai＝2，1≤i≤m－1，

所以{an}是公差为2的等差数列，an＝1＋2（n－1）＝2n－1，1≤n≤m－1.（10分）

（3）构造an＝n－，其中bn＝n，cn＝－.（12分）

下证数列{an}满足题意．

证明：

因为an＝n－，所以数列{an}单调递增，

所以Ai＝ai＝i－，Bi＝ai＋1＝i＋1－，（14分）

所以ri＝ai－ai＋1＝－1－，1≤i≤m－1.

因为ri＋1－ri＝－

＝>0，

所以数列{ri}单调递增，满足题意．（16分）

（说明：

等差数列{bn}的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列{cn}的首项c1为负，公比q∈（0，1），这样构造的数列{an}都满足题意．）