云南四川贵州西藏四省名校届高三数学第一次大联考试题文.docx

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云南四川贵州西藏四省名校届高三数学第一次大联考试题文

云南、四川、贵州、西藏四省名校2021届高三数学第一次大联考试题文

本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：

选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：

用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：

先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{x∈N|x2－x－2<0}，集合B＝{x|x>0}，则A∩B＝

A.1B.[1，2）C.{1}D.（－1，＋∞）

2.已知复数z满足z（1－i）＝2i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知a＝log52，b＝ln2，c＝log5，则

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

4.曲线f（x）＝在点（2，f

（2））处的切线方程为

A.y＝x＋B.y＝xC.y＝－x＋D.y＝－x

5.祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家以及天文学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年。

为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率π的值。

正三角形的边长为4，若总豆子数n＝1000，其中落在圆内的豆子数m＝618，则估算圆周率π的值是（为方便计算取1.70，π的值精确到0.01）

A.3.13B.3.14C.3.15D.3.16

6.已知圆C过点A（0，2）且与直线y＝－2相切，则圆心C的轨迹方程为

A.x2＝4yB.x2＝8yC.x2＝－4yD.x2＝－8y

7.已知α为锐角，且满足sinα－cosα＝，则cos2α的值为

A.±B.C.－2D.－

8.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2，且△ABC的面积为，则a的值为

A.12B.8C.2D.2

9.在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上运动，则的最小值为

A.－1B.0C.1D.

10.一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为

A.8＋4B.12C.16＋8D.12＋2

11.已知圆C：

x2＋y2－2x－3＝0，直线l：

y＝kx＋1与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时k的值为

A.1B.C.－1D.－

12.已知函数f（x）＝sinxcos2x，关于函数y＝f（x）有下列命题：

①f（）＝；②f（x）的图象关于点（，0）对称；

③f（x）是周期为π的奇函数；④f（x）的图象关于直线x＝对称。

其中正确的是

A.①④B.②③C.①③D.②④

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分。

13.若x，y满足约束条件，则z＝x－2y的最大值为。

14.2020年新冠肺炎疫情期间，为停课不停上教课学习效果，组织了一次网上测试。

并利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生人。

15.设双曲线C：

（a>0，b>0）的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且|OA|＝2|AF|，O为坐标原点，则C的离心率为。

16.在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，顶角为120°，以底边BC所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为。

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2是a1，a4的等比中项。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）当数列{an}的公差d>0时，求数列的前n项和Tn。

18.（本小题满分12分）

西尼罗河病毒（WNV）是一种脑炎病毒，通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类。

1999年8－10月，美国纽约首次爆发了WNV脑炎流行。

在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV的复制，抑制其对细胞的致病作用。

现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了使生产效率提高，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x（千克）和利巴韦林含片产量y（百盒）的统计数据如下：

由相关系数r可以反映两个变量相关性的强弱，|r|∈[0.75，1]，认为两个变量相关性很强；|r|∈[0.3，0.75），认为两个变量相关性一般；|r|∈[0，0.3），认为两个变量相关性较弱。

（1）计算相关系数r，并判断变量x、y相关性强弱；

（2）根据上表中的数据，建立y关于x的线性回归方程。

为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林?

参考数据：

≈25.69。

参考公式：

相关系数r＝，线性回归方程中，。

19.（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝AA1＝1，E是棱AA1的中点，EC＝。

（1）求证：

平面EDD1⊥平面EDC；

（2）求三棱锥D1－DEC的体积。

20.（本小题满分12分）

已知F1（－1，0），F2（1，0）是椭圆C：

的左、右焦点，点P是C的上顶点，且直线PF2的斜率为－。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F2作两条互相垂直的直线l1，l2。

若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，求|AB|＋|DE|的最大值。

21.（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝－x3＋ax2。

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）设a＝1，当x≥时，f（x）>x（k－ex），求实数k的取值范围。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4－4：

坐标系与参数方程。

在直角坐标系xOy中，曲线D的参数方程为（t为参数，t∈R）。

点A（－1，0），点B（1，0），曲线E上的任一点P满足。

以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求曲线D的普通方程和曲线E的极坐标方程；

（2）求点P到曲线D的距离的最大值。

23.（本小题满分10分）选修4－5：

不等式选讲

已知函数f（x）＝|3x－1|＋|3x＋a|，g（x）＝x·f（x），h（x）＝x2－5x－3。

（1）若f（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围；

（2）是否存在这样的实数a（其中a>－1），使得x∈[－，]，都有不等式g（x）≥h（x）恒成立?

若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。