因式分解练习题加答案道.docx
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因式分解练习题加答案道
因式分解3a3b2c-6a2b2c2+9ab2c3=3ab^2c(a^2-2ac+3c^2)
3.因式分解xy+6-2x-3y=(x-3)(y-2)
4.因式分解x2(x-y)+y2(y-x)=(x+y)(x-y)^2
5.因式分解2x2-(a-2b)x-ab=(2x-a)(x+b)
6.因式分解a4-9a2b2=a^2(a+3b)(a-3b)
7.若已知x3+3x2-4含有x-1的因式,试分解x3+3x2-4=(x-1)(x+2)^2
8.因式分解ab(x2-y2)+xy(a2-b2)=(ay+bx)(ax-by)
9.因式分解(x+y)(a-b-c)+(x-y)(b+c-a)=2y(a-b-c)
10.因式分解a2-a-b2-b=(a+b)(a-b-1)
11.因式分解(3a-b)2-4(3a-b)(a+3b)+4(a+3b)2=[3a-b-2(a+3b)]^2=(a-7b)^2
12.因式分解(a+3)2-6(a+3)=(a+3)(a-3)
13.因式分解(x+1)2(x+2)-(x+1)(x+2)2=-(x+1)(x+2)
abc+ab-4a=a(bc+b-4)
(2)16x2-81=(4x+9)(4x-9)
(3)9x2-30x+25=(3x-5)^2
(4)x2-7x-30=(x-10)(x+3)
35.因式分解x2-25=(x+5)(x-5)
36.因式分解x2-20x+100=(x-10)^2
37.因式分解x2+4x+3=(x+1)(x+3)
38.因式分解4x2-12x+5=(2x-1)(2x-5)
39.因式分解下列各式:
(1)3ax2-6ax=3ax(x-2)
(2)x(x+2)-x=x(x+1)
(3)x2-4x-ax+4a=(x-4)(x-a)
(4)25x2-49=(5x-9)(5x+9)
(5)36x2-60x+25=(6x-5)^2
(6)4x2+12x+9=(2x+3)^2
(7)x2-9x+18=(x-3)(x-6)
(8)2x2-5x-3=(x-3)(2x+1)
(9)12x2-50x+8=2(6x-1)(x-4)
40.因式分解(x+2)(x-3)+(x+2)(x+4)=(x+2)(2x-1)
41.因式分解2ax2-3x+2ax-3=(x+1)(2ax-3)
42.因式分解9x2-66x+121=(3x-11)^2
43.因式分解8-2x2=2(2+x)(2-x)
44.因式分解x2-x+14=整数内无法分解
45.因式分解9x2-30x+25=(3x-5)^2
46.因式分解-20x2+9x+20=(-4x+5)(5x+4)
47.因式分解12x2-29x+15=(4x-3)(3x-5)
48.因式分解36x2+39x+9=3(3x+1)(4x+3)
49.因式分解21x2-31x-22=(21x+11)(x-2)
50.因式分解9x4-35x2-4=(9x^2+1)(x+2)(x-2)
51.因式分解(2x+1)(x+1)+(2x+1)(x-3)=2(x-1)(2x+1)
52.因式分解2ax2-3x+2ax-3=(x+1)(2ax-3)
53.因式分解x(y+2)-x-y-1=(x-1)(y+1)
54.因式分解(x2-3x)+(x-3)2=(x-3)(2x-3)
55.因式分解9x2-66x+121=(3x-11)^2
56.因式分解8-2x2=2(2-x)(2+x)
57.因式分解x4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)
58.因式分解x2+4x-xy-2y+4=(x+2)(x-y+2)
59.因式分解4x2-12x+5=(2x-1)(2x-5)
60.因式分解21x2-31x-22=(21x+11)(x-2)
61.因式分解4x2+4xy+y2-4x-2y-3=(2x+y-3)(2x+y+1)
62.因式分解9x5-35x3-4x=x(9x^2+1)(x+2)(x-2)
63.因式分解下列各式:
(1)3x2-6x=3x(x-2)
(2)49x2-25=(7x+5)(7x-5)
(3)6x2-13x+5=(2x-1)(3x-5)
(4)x2+2-3x=(x-1)(x-2)
(5)12x2-23x-24=(3x-8)(4x+3)
(6)(x+6)(x-6)-(x-6)=(x-6)(x+5)
(7)3(x+2)(x-5)-(x+2)(x-3)=2(x-6)(x+2)
(8)9x2+42x+49=(3x+7)^2。
1.若(2x)n?
81=(4x2+9)(2x+3)(2x?
3),那么n的值是(B)
A.2B.4C.6D.8
2.若9x2?
12xy+m是两数和的平方式,那么m的值是(B)
A.2y2B.4y2C.±4y2D.±16y2
3.把多项式a4?
2a2b2+b4因式分解的结果为(D)
A.a2(a2?
2b2)+b4B.(a2?
b2)2
C.(a?
b)4D.(a+b)2(a?
b)2
4.把(a+b)2?
4(a2?
b2)+4(a?
b)2分解因式为(C)
A.(3a?
b)2B.(3b+a)2
C.(3b?
a)2D.(3a+b)2
6.已知x,y为任意有理数,记M=x2+y2,N=2xy,则M与N的大小关系为(B)
A.M>NB.M≥NC.M≤ND.不能确定
7.对于任何整数m,多项式(4m+5)2?
9都能(A)
A.被8整除B.被m整除
C.被(m?
1)整除D.被(2n?
1)整除
9.下列变形中,是正确的因式分解的是(D)
A.?
n2=(+n)(?
n)
B.x2?
10=x2?
9?
1=(x+3)(x?
3)?
1
C.x4?
x2=(x2+x)(x2?
x)
D.(x+a)2?
(x?
a)2=4ax
10.多项式(x+y?
z)(x?
y+z)?
(y+z?
x)(z?
x?
y)的公因式是(A)
A.x+y?
zB.x?
y+zC.y+z?
xD.不存在
11.已知x为任意有理数,则多项式x?
1?
x2的值()
A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能为正数或负数或零
二、解答题:
分解因式:
(1)(ab+b)2?
(a+b)2
(2)(a2?
x2)2?
4ax(x?
a)2
(3)7xn+1?
14xn+7xn?
1(n为不小于1的整数)
答案:
一、选择题:
1.B说明:
右边进行整式乘法后得16x4?
81=(2x)4?
81,所以n应为4,答案为B.
2.B说明:
因为9x2?
12xy+m是两数和的平方式,所以可设9x2?
12xy+m=(ax+by)2,则有9x2?
12xy+m=a2x2+2abxy+b2y2,即a2=9,2ab=?
12,b2y2=m;得到a=3,b=?
2;或a=?
3,b=2;此时b2=4,因此,m=b2y2=4y2,答案为B.
3.D说明:
先运用完全平方公式,a4?
2a2b2+b4=(a2?
b2)2,再运用两数和的平方公式,两数分别是a2、?
b2,则有(a2?
b2)2=(a+b)2(a?
b)2,在这里,注意因式分解要分解到不能分解为止;答案为D.
4.C说明:
(a+b)2?
4(a2?
b2)+4(a?
b)2=(a+b)2?
2(a+b)[2(a?
b)]+[2(a?
b)]2=[a+b?
2(a?
b)]2=(3b?
a)2;所以答案为C.
6.B说明:
因为M?
N=x2+y2?
2xy=(x?
y)2≥0,所以M≥N.
7.A说明:
(4m+5)2?
9=(4m+5+3)(4m+5?
3)=(4m+8)(4m+2)=8(m+2)(2m+1).
9.D说明:
选项A,=,则?
n2=(+n)(?
n),所以A错;选项B的右边不是乘积的形式;选项C右边(x2+x)(x2?
x)可继续分解为x2(x+1)(x?
1);所以答案为D.
10.A说明:
本题的关键是符号的变化:
z?
x?
y=?
(x+y?
z),而x?
y+z≠y+z?
x,同时x?
y+z≠?
(y+z?
x),所以公因式为x+y?
z.
11.B说明:
x?
1?
x2=?
(1?
x+x2)=?
(1?
x)2≤0,即多项式x?
1?
x2的值为非正数,正确答案应该是B.
二、解答题:
(1)答案:
a(b?
1)(ab+2b+a)
说明:
(ab+b)2?
(a+b)2=(ab+b+a+b)(ab+b?
a?
b)=(ab+2b+a)(ab?
a)=a(b?
1)(ab+2b+a).
(2)答案:
(x?
a)4
说明:
(a2?
x2)2?
4ax(x?
a)2
=[(a+x)(a?
x)]2?
4ax(x?
a)2
=(a+x)2(a?
x)2?
4ax(x?
a)2
=(x?
a)2[(a+x)2?
4ax]
=(x?
a)2(a2+2ax+x2?
4ax)
=(x?
a)2(x?
a)2=(x?
a)4.
(3)答案:
7xn?
1(x?
1)2
说明:
原式=7xn?
1?
x2?
7xn?
1?
2x+7xn?
1=7xn?
1(x2?
2x+1)=7xn?
1(x?
1)2.
因式分解之十字相乘法专项练习题
(1)a2-7a+6;
(2)8x2+6x-35;
(3)18x2-21x+5;(4)20-9y-20y2;
(5)2x2+3x+1;(6)2y2+y-6;
(7)6x2-13x+6;(8)3a2-7a-6;
(9)6x2-11x+3;(10)4m2+8m+3;
(11)10x2-21x+2;(12)8m2-22m+15;
(13)4n2+4n-15;(14)6a2+a-35;
(15)5x2-8x-13;(16)4x2+15x+9;
(17)15x2+x-2;(18)6y2+19y+10;
(19)2(a+b)2+(a+b)(a-b)-6(a-b)2;(20)7(x-1)2+4(x-1)-20;
(1)(a-6)(a-1),
(2)(2x+5)(4x-7)
(3)(3x-1)(6x-5),(4)-(4y-5)(5y+4)
(5)(x+1)(2x+1),(6)(y+2)(2y-3)
(7)(2x-3)(3x-2),(8)(a-3)(3a+2)
(9)(2x-3)(3x-1),(10)(2m+1)(2m+3)
(11)(x-2)(10x-1),(12)(2m-3)(4m-5)
(13)(2n+5)(2n-3),(14)(2a+5)(3a-7)
(15)(x+1)(5x-13),(16)(x+3)(4x+3)
(17)(3x-1)(5x=2),(18)(2y+5)(3y+2)
(19)(3a-b)(5b-a),(20)(x+1)(7x-17)
例1分解因式
思路1因为
所以设原式的分解式是
然后展开,利用多项式的恒等,求出m,n,的值。
解法1因为
所以可设
比较系数,得
由①、②解得
把
代入③式也成立。
∴
思路2前面同思路1,然后给x,y取特殊值,求出m,n的值。
解法2因为
所以可设
因为该式是恒等式,所以它对所有使式子有意义的x,y都成立,那么无妨令
得
令
得
解①、②得
或
把它们分别代入恒等式检验,得
∴
说明:
本题解法中方程的个数多于未知数的个数,必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。
若有的解对某个方程或所设的等式不成立,则需将此解舍去;若得方程组无解,则说明原式不能分解成所设形成的因式。
例2分解因式
思路本题是关于x的四次多项式,可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
解设
由恒等式性质有:
由①、③解得
代入②中,②式成立。
∴
说明若设原式
由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解,故设原式
例3在关于x的二次三项式中,当
时,其值为0;当
时,其值为0;当
时,其值为10,求这个二次三项式。
思路1先设出关于x的二次三项式的表达式,然后利用已知条件求出各项的系数。
可考虑利用恒待式的性质。
解法1设关于x的二次三项式为
把已知条件分别代入,得
解得
故所求的二次三项为
思路2根据已知
时,其值0这一条件可设二次三项式为
然后再求出a的值。
解法2由已知条件知当
时,这个二次三项式的值都为0,故可设这个二次三项式为
把
代入上式,得
解得
故所求的二次三项式为
即
说明要注意利用已知条件,巧设二次三项式的表达式。
例4已知多项式
的系数都是整数。
若
是奇数,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积,然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。
证明:
设
(m,n,r都是整数)。
比较系数,得
因为
是奇数,则
与d都为奇数,那么mr也是奇数,由奇数的性质得出m,r也都是奇数。
在①式中令
,得
②
由
是奇数,得
是奇数。
而m为奇数,故
是偶数,所以
是偶数。
这样②的左边是奇数,右边是偶数。
这是不可能的。
因此,题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
说明:
所要证的命题涉及到“不能”时,常常考虑用反证法来证明。
例5已知
能被
整除,求证:
思路:
可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。
证明:
设
展开,比较系数,得
由①、②,得
,
代入③、④得:
,
∴
例6若a是自然数,且
的值是一个质数,求这个质数。
思路:
因为质数只能分解为1和它本身,故可用待定系数法将多项式分解因式,且使得因式中值较小的为1,即可求a的值。
进而解决问题。
解:
由待定系数法可解得
由于a是自然数,且
是一个质数,
∴
解得
当
时,
不是质数。
当
时,
是质数。
∴
=11.
1、分解因式
_______.
2、若多项式
能被
整除,则n=_______
.2、-4。
提示:
设原式
=
比较系数,得
由①、②解得
代入③得
3、二次三项式当
时其值为-3,当
时其值为2,当
时其值为5,这个二次三项式是_______.
4、m,n是什么数时,多项式
能被
整除?
5、多项式
能分解为两个一次因式的积,则k=_____.
6、若多项式
能被
整除,则
_______.
7、若多项式
当
2时的值均为0,则当x=_____时,多项式的值也是0。
8、求证:
不能分解为两个一次因式的积。
参考答案或提示:
1.
提示:
设原式
比较两边系数,得
由①、②解得
将
代入③式成立。
∴原式
3、
提示:
设二次三项式为
把已知条件代入,得
解得
∴所求二次三项式为
4.
设
比较系数,得
解得
∴当m=-11,n=4已知多项式能被
整除。
提示:
设原式
.
比较系数,得
解得
提示:
设原式
比较系数,得
解得
∴
.
提示:
设原式
比较系数,得
解得c=3.
∴当x=3时,多项式的值也是0.
8.设原式
且
展开后比较系数,得
由④、⑤得
代入③,再由①、③得
将上述
入②得
.而这与③矛盾,即方程组无解。
故命题得证。