双曲线 专题 171.docx

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双曲线专题171

1．已知F为双曲线C：

x2－my2＝3m（m>0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　）

A.　　　　　　　　B．3

C.mD．3m

解析：

双曲线方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为.选A.

答案：

A

2．已知双曲线－＝1（a>0）的离心率为2，则a＝（　　）

A．2B．

C.D．1

解析：

因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.

答案：

D

3．双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程为（　　）

A．x±2y＝0B．y±2x＝0

C．x±4y＝0D．y±4x＝0

解析：

依题意，题中的双曲线即－x2＝1，因此其渐近线方程是－x2＝0，即x±2y＝0，选A.

答案：

A

4．已知双曲线－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为（　　）

A．1B．

C.D．

解析：

在双曲线－y2＝1中，a＝，b＝1，c＝2.不防设P点在双曲线的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2，∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－.又|F1F2|＝2c＝4，而|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，∴S△PF1F2＝×|PF1|×|PF2|＝×（＋）×（－）＝1.故选A.

答案：

A

5．已知双曲线C：

－＝1（a>0，b>0），直线l：

y＝2x－2.若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（　　）

A．1B．2

C.D．4

解析：

根据题意，双曲线C的方程为－＝1（a>0，b>0），其焦点在x轴上，渐近线方程为y＝±x，又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线，可知＝2，直线l：

y＝2x－2与x轴的交点坐标为（1,0），即双曲线C的一个顶点坐标为（1,0），即a＝1，则b＝2a＝2，故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2，故选B.

答案：

B

6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为（　　）

A.B．2

C.D．2

解析：

不妨设双曲线的方程为－＝1（a>0，b>0），因为焦点F（c,0）到渐近线bx－ay＝0的距离为a，所以＝a，即＝a，所以＝1，所以该双曲线的离心率e＝＝＝，故选C.

答案：

C

7．已知双曲线C：

－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2（5,0），则双曲线C的方程为（　　）

A.－＝1B．－＝1

C.－＝1D．－＝1

解析：

由题意得e＝＝，又右焦点为F2（5,0），a2＋b2＝c2，所以a2＝16，b2＝9，故双曲线C的方程为－＝1.

答案：

C

8．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为（　　）

A.－y2＝1B．x2－＝1

C.－＝1D．－＝1

解析：

由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.

答案：

A

9．（2018·山西八校联考）已知双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y＝（x＋c）与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为（　　）

A.B．

C．2＋1D．＋1

解析：

∵直线y＝（x＋c）过左焦点F1，且其倾斜角为30°，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，∴∠F2PF1＝90°，即F1P⊥F2P.∴|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|sin60°＝c，由双曲线的定义得2a＝|PF1|－|PF2|＝c－c，∴双曲线C的离心率e＝＝＝＋1，选D.

答案：

D

10．已知F1，F2是双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的两个焦点，P是双曲线C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（　　）

A.x±y＝0B．x±y＝0

C．2x±y＝0D．x±2y＝0

解析：

不妨设|PF1|>|PF2|，则

所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c，即|PF2|为最小边，即∠PF1F2＝30°，则△PF1F2为直角三角形，所以2c＝2a，所以b＝a，即渐近线方程为y＝±x，故选A.

答案：

A

11．已知双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的焦距为10，点P（2,1）在C的一条渐近线上，则C的方程为（　　）

A.－＝1B．－＝1

C.－＝1D．－＝1

解析：

依题意，解得，

∴双曲线C的方程为－＝1.

答案：

A

12．已知双曲线过点（4，），且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．

解析：

法一：

因为双曲线过点（4，）且渐近线方程为y＝±x，故点（4，）在直线y＝x的下方．设该双曲线的标准方程为－＝1（a>0，b>0），所以，解得故双曲线方程为－y2＝1.

法二：

因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，故可设双曲线为－y2＝λ（λ≠0），又双曲线过点（4，），所以－（）2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为－y2＝1.

答案：

－y2＝1

13．双曲线Γ：

－＝1（a>0，b>0）的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．

解析：

双曲线的焦点（0,5）到渐近线y＝x，即ax－by＝0的距离为＝＝b＝3，所以a＝4,2a＝8.

答案：

8

14．已知双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）与椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的方程为________．

解析：

易得椭圆的焦点为（－，0），（，0），

∴∴a2＝1，b2＝4，

∴双曲线C的方程为x2－＝1.

答案：

x2－＝1

15．（2018·合肥市质检）双曲线M：

－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线x＝a与双曲线M的渐近线交于点P，若sin∠PF1F2＝，则该双曲线的离心率为________．

解析：

不妨设P为直线x＝a与双曲线M的渐近线在第一象限内的交点，则P点坐标为（a，b），因为sin∠PF1F2＝，所以|PF1|＝3b，所以（a＋c）2＋b2＝9b2，即9a2＋2ac－7c2＝0,7e2－2e－9＝0，又e>1，解得e＝.

答案：

B组——能力提升练

1．已知F1，F2是双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．（1，]B．（1,2]

C．[，＋∞）D．[2，＋∞）

解析：

∵2|＋|≤||⇒4||≤2c⇒||≤，又||≥a，∴a≤，即c≥2a，∴e＝≥2.故选D.

答案：

D

2．若实数k满足0

A．离心率相等B．虚半轴长相等

C．实半轴长相等D．焦距相等

解析：

由0

答案：

D

3．（2018·云南五市联考）设P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆（x＋4）2＋y2＝4和（x－4）2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝（　　）

A．4B．5

C．6D．7

解析：

易知双曲线的两个焦点分别为F1（－4,0），F2（4,0），恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为（|PF1|＋2）－（|PF2|－1）＝（|PF1|－|PF2|）＋3＝5，同理|PM|－|PN|的最小值为（|PF1|－2）－（|PF2|＋1）＝（|PF1|－|PF2|）－3＝－1，所以|m－n|＝6，故选C.

答案：

C

4．（2018·江南十校联考）已知l是双曲线C：

－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为（　　）

A.B．

C．2D．

解析：

由题意知F1（－，0），F2（，0），不妨设l的方程为y＝x，点P（x0，x0），由·＝（－－x0，－x0）·（－x0，－x0）＝3x－6＝0，得x0＝±，故点P到x轴的距离为|x0|＝2，故选C.

答案：

C

5．已知双曲线－＝1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B．－＝1

C.－＝1D．－＝1

解析：

根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，选D.

答案：

D

6．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3,4），则此双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B．－＝1

C.－＝1D．－＝1

解析：

因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3,4），所以c＝5，＝，又c2＝a2＋b2，所以a＝3，b＝4，所以此双曲线的方程为－＝1.

答案：

C

7．过双曲线－＝1（a>0，b>0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为（　　）

A.B．

C．2D．

解析：

不妨设B（x，－x），|OB|＝＝c，可取B（－a，b），由题意可知点A为BF的中点，所以A（，），又点A在直线y＝x上，则·＝，c＝2a，e＝2.

答案：

C

8．若直线l1和直线l2相交于一点，将直线l1绕该点逆时针旋转到与l2第一次重合时所转的角为θ，则角θ就称为l1到l2的角，tanθ＝，其中k1，k2分别是l1，l2的斜率，已知双曲线E：

－＝1（a>0，b>0）的右焦点为F，A是右顶点，P是直线x＝上的一点，e是双曲线的离心率，直线PA到PF的角为θ，则tanθ的最大值为（　　）

A.B．

C.D．

解析：

设PA，PF的斜率分别为k3，k4，由题意可知tanθ＝，不妨设P（，y）（y>0），则k3＝，k4＝.令m＝－a，n＝－c，则tanθ＝＝，由m－n＝c－a>0，得当＋y取得最小值时tanθ取最大值，又y>0，m<0，n<0，所以＋y≥2，当且仅当y＝时等号成立，此时tanθ＝＝＝，故选C.

答案：

C

9．（2018·淄博模拟）过双曲线－＝1（a>0，b>0）的左焦点F1，作圆x2＋y2＝a2的切线交双曲线的右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（　　）

A．b－a＝|MO|－|MT|

B．b－a>|MO|－|MT|

C．b－a<|MO|－|MT|

D．b－a＝|MO|＋|MT|

解析：

如图，连接OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|＝＝b，连接PF2，

∵M为线段F1P的中点，O为F1F2的中点，

∴|OM|＝|PF2|，

∴|MO|－|MT|＝|PF2|－＝（|PF2|－|PF1|）＋b＝×（－2a）＋b＝b－a，故选A.

答案：

A

10．（2018·昆明市检测）已知点F为双曲线C：

－＝1（a>0，b>0）的一个焦点，以点F为圆心的圆与C的渐近线相切，且与C交于A，B两点，若AF⊥x轴，则C的离心率为________．

解析：

不妨设F为双曲线的右焦点，则F（c,0），易知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点F到渐近线的距离d＝＝b，所以圆F的半径为b.在双曲线方程中，令x＝c，