高三信息卷数学文试题 含答案.docx

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高三信息卷数学文试题含答案

2021-2022年高三信息卷数学（文）试题含答案

一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则（）

A．B．C．D．

2．已知是虚数单位，则等于（）

A．B．C．D．

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．12B．11C．D．

3．若数列的前n项和为，则下列命题：

（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；

（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；

（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是

（4）若是等比数列，则

的充要条件是

其中，正确命题的个数是（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A．3B．—6C．10D．

6．已知:

命题：

“是的充分必要条件”；命题：

“”．则下列命题正确的是（）

A．命题“∧”是真命题B．命题“（┐）∧”是真命题

C．命题“∧（┐）”是真命题D．命题“（┐）∧（┐）”是真命题

7．若空间三条直线a、b、c满足，则直线（）

A．一定平行B．一定相交

C．一定是异面直线D．一定垂直

8．函数的图象大致是（）

9．如图所示的方格纸中有定点，则（）

A．B．C．D．

10．设

的最大值为（）

A．80　　　　B．　　　　C．25　　　D．

11．若双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。

若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且，那么α的值是（）

A．B．C．D．

12．若实数满足，则称是函数的一个次不动点．设函数与函数（其中为自然对数的底数）的所有次不动点之和为，则（）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13．已知与之间的部分对应关系如下表：

11

12

13

14

15

…

…

则和可能满足的一个关系式是．

14．在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量

满足，则=．

15．在区间（0，1）上任意取两个实数a，b，则＜的概率为

16、已知，，，。

根据以上等式，可猜想出的一般结论是；

三、解答题：

本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知函数

．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．

18．（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好．已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3533855634

6347534853

8343447567

该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品．

（Ⅰ）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；

（Ⅱ）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，，，，平面平面，是线段上一点，，，．

（Ⅰ）证明：

平面；

（Ⅱ）设三棱锥与四棱锥的体积分别为与，求的值．

20．（本小题满分12分）

已知数列的前项和。

（Ⅰ）求数列｛｝的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列｛｝的前项和．

21．（本小题满分12分）给定椭圆：

．称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直？

并说明理由。

22．（本小题满分14分）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同。

（Ⅰ）用表示，并求的最大值；

（Ⅱ）求证：

（）．

参考答案

一、选择题

1、D；2、A；3、A；4、B；5、C；6、B；7、D；8、C；9、C；10、A；11、D；12、B；

二．填空题

13、（不唯一）；14、；15、；

16、

，。

三．解答题

17．解析：

（Ⅰ）

…………………2分

．……………………………4分

所以的最小正周期为．………………………………………6分

（Ⅱ）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，

．…………………8分

时，，…………………………………………………9分

当，即时，，取得最大值2．…………10分

当，即时，，取得最小值．………12分

18．解析：

（Ⅰ）由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．…………3分

∴样本中一等品的频率为，

故估计该厂生产的产品的一等品率为,………4分

二等品的频率为，故估计该厂产品的二等品率为,…5分

三等品的频率为，故估计该厂产品的三等品率为．…6分

（Ⅱ）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，……………………7分

记等级系数为7的3件产品分别为、、，等级系数为8的3件产品分别为、、,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：

,，，，,,,,，,,,共15种，…………10分

记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件，

则包含的基本事件有共3种，………11分

故所求的概率．……………………12分

19．（Ⅰ）证明:

平面平面,平面平面,

平面，，平面,…………………1分

平面………………………………2分

四边形是直角梯形，,

都是等腰直角三角形,

…………………………4分

平面，平面，,

平面…………………………………………………………………6分

（Ⅱ）解:

三棱锥与三棱锥的体积相等,

由

（1）知平面,

得

……………………………………………9分

设由,

得

从而…………………………………………………………12分

20．解析：

（Ⅰ）时，;……………………………………2分

．………………………………………4分

……………………………………………6分

（Ⅱ）设，

当时，

；…………………………………7分

　时，

，……………10分

＝……………12分

21．解析：

（Ⅰ），

椭圆方程为，…………4分

准圆方程为．……………………5分

（Ⅱ）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，

当方程为时，此时与准圆交于点，

此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；

同理可证方程为时，直线也垂直．………………7分

②当都有斜率时，设点，其中．

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，

则由

消去，得

．………9分

由化简整理得：

．

因为，所以有

．…10分

设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，

所以满足上述方程

，

所以，即垂直．…………………11分

综合①②知垂直．……………………12分

22．解析：

（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．

，，………………………………………………………1分

由题意，．

即

由得：

，或（舍去）．

即有

．………………………………………4分

令，则．于是

当，即时，；

当，即时，．

故在为增函数，在为减函数，……………………………………8分

于是在的最大值为．…………………………………………9分

（Ⅱ）设

…………………………10分

则

．………………………………………11分

故在为减函数，在为增函数，

于是函数在上的最小值是

．…………13分

故当时，有，即当时，．…………………14分

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