数值分析第五版课后习题答案.docx
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数值分析第五版课后习题答案
数值分析第五版课后习题答案
【篇一：
数值分析第五版答案（全）】
?
0,x的相对误差为?
，求lnx的误差。
e*x*?
x?
x*x*
1e*而lnx的误差为e?
lnx*?
?
lnx*?
lnx?
x**解：
近似值x*的相对误差为?
=er?
进而有?
（lnx*）?
?
2．设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。
解：
设f（x）?
xn，则函数的条件数为cp?
|xf（x）|f（x）
又f（x）?
nxn?
1x?
nxn?
1
|?
n,?
cp?
|n
又?
r（（x*）n）?
cp?
?
r（x*）
且er（x*）为2
?
?
r（（x*）n）?
0.02n
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指
*****出它们是几位有效数字：
x1?
7?
1.0.?
1.1021,x2?
0.031,x3?
385.6,x4?
56.430,x5
*解：
x1?
1.1021是五位有效数字；
*x2?
0.031是二位有效数字；
*x3?
385.6是四位有效数字；
*x4?
56.430是五位有效数字；
*x5?
7?
1.0.是二位有效数字。
********4．利用公式（2.3）求下列各近似值的误差限：
（1）x1,
（2）x1.?
x2?
x4x2x3,（3）x2/x4
****其中x1均为第3题所给的数。
x2,x3,x4
解：
1
2
1*?
（x2）?
?
10?
3
2
1*?
（x3）?
?
10?
12
1*?
（x4）?
?
10?
3
2
1*?
（x5）?
?
10?
1
2?
（x1*）?
?
10?
4
***
（1）?
（x1?
x2?
x4）
***?
?
（x1）?
?
（x2）?
?
（x4）
111?
4?
3?
3?
?
10?
?
10?
?
10222
?
1.05?
10?
3
***
（2）?
（x1x2x3）
*********?
x1x2?
（x3）?
x2x3?
（x1）?
x1x3?
（x2）
111?
?
0.031?
?
10?
1?
0.031?
385.6?
?
10?
4?
1.1021?
385.6?
?
10?
3
222
?
0.215
**（3）?
（x2/x4）
?
****x2?
（x4）?
x4?
（x2）
x*2
4
110.031?
?
10?
3?
56.430?
?
10?
3
?
56.430?
56.430
?
10?
5
4?
r335计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径r时允许的相对误差限是多少？
解：
球体体积为v?
则何种函数的条件数为rvr4?
r2cp?
?
?
3v?
r3
3
?
?
r（v*）?
cp?
r（r*）?
3?
r（r*）
又?
r（v*）?
1%1
故度量半径r时允许的相对误差限为
6．设y0?
28，按递推公式yn?
yn?
1?
?
?
?
?
?
?
?
=?
1%=311300（n=1,2,…）计算到y
10027.982（5位有效数字），试问计算y100将有多大误差？
解：
yn?
yn?
1
?
y100?
y99?
y99?
y98
y98?
y97?
……
y1?
y0
依次代入后，有y100?
y0?
100即y100?
y0
27.982,?
y100?
y0?
27.982
1*?
?
（y100）?
?
（y0）?
?
（27.982）?
?
10?
32
1?
y100的误差限为?
10?
3。
2
27．求方程x?
56x?
1?
0的两个根，使它至少具有4
?
27.982）。
2解：
x?
56x?
1?
0，
故方程的根应为x1,2?
28故
x1?
28?
28?
27.982?
55.982
?
x1具有5位有效数字
x2?
28?
?
?
11?
?
0.01786328?
27.98255.982
x2具有5位有效数字
8．当n充分大时，怎样求
解?
n?
1n1dx？
1?
x2?
n?
1
n1dx?
arctan（n?
1）?
arctann21?
x
设?
?
arctan（n?
1）,?
?
arctann。
则tan?
?
n?
1,tan?
?
n.
1?
n1?
x2dx
?
?
?
?
n?
1
?
arctan（tan（?
?
?
））
tan?
?
tan?
?
arctan1?
tan?
tan?
n?
1?
n?
arctan1?
（n?
1）n
1?
arctan2n?
n?
1
9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2？
解：
正方形的面积函数为a（x）?
x2
?
?
（a*）?
2a*?
（x*）.
当x*?
100时，若?
（a*）?
1,则?
（x*）?
1?
10?
22
2故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm
10．设s?
12gt，假定g是准确的，而对t的测量有?
0.1秒的误差，证明当t增加时s的2
12gt,t?
02
2绝对误差增加，而相对误差却减少。
解：
s?
?
?
（s*）?
gt）?
（t*当t*增加时，s*的绝对误差增加
?
r（s*）?
?
（s*）
s*
gt2?
（t*）?
*2g（t）2
?
（t*）?
2*t
当t*增加时，?
（t*）保持不变，则s*的相对误差减少。
11．序列?
yn?
满足递推关系yn?
10yn?
1?
1（n=1,2,…）,
若y0?
?
1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？
这个计算过程稳定吗？
解：
y0?
?
1.41
1?
10?
22?
?
（y0*）?
又yn?
10yn?
1?
1
?
y1?
10y0?
1
?
?
（y1*）?
10?
（y0*）
又y2?
10y1?
1
?
?
（y2*）?
10?
（y1*）
?
?
（y2*）?
102?
（y0*）
......
0?
?
（y10*）?
110?
y（0*）
?
10?
101?
1?
02
2
1?
?
108
2
计算到y10时误差为1?
108，这个计算过程不稳定。
2
12
．计算f?
1）6?
?
?
?
，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
3,
，
99?
（3?
【篇二：
数值分析第五版答案】
．设x的相对误差为2%，求x的相对误差。
解：
设f（x）?
xn，则函数的条件数为cp?
|
n
xf（x）
|f（x）
又
f（x）?
nx
n?
1
x?
nxn?
1
|?
n,?
cp?
|n
又
?
r（（x*）n）?
cp?
?
r（x*）
且er（x*）为2%
?
?
r（（x*）n）?
0.02n
5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径r时允许的相对误差限是多少？
解：
球体体积为v?
4
?
r33
则何种函数的条件数为
rvr4?
r2
cp?
?
?
3
v?
r33
?
?
r（v*）?
cp?
r（r*）?
3?
r（r*）
又
?
r（v*）?
1
1
?
1?
0.333
故度量半径r时允许的相对误差限为?
r（r*）?
2
7．求方程x?
56x?
1?
0的两个根，使它至少具有4?
27.982
）。
解：
x?
56x?
1?
0，
故方程的根应为x1,2?
28故x1?
28
?
28?
27.982?
55.982
2
?
x1具有5位有效数字
x2?
28?
?
?
11
?
?
0.017863
28?
27.98255.982
x2具有5位有效数字
9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm？
解：
正方形的面积函数为a（x）?
x2p7当x*?
100时，若?
（a*）?
1,则?
（x*）?
2
1
?
10?
22
2
故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm
第二章插值法p48
?
1,21．当x?
1
时，f（x）?
0,?
3,4,分别用单项式基底、拉格朗日基底、牛顿基底求f（x）
的二次插值多项式。
解：
x0?
1,x1?
?
1,x2?
2,
f（x0）?
0,f（x1）?
?
3,f（x2）?
4;l0（x）?
l1（x）?
l2（x）?
（x?
x1）（x?
x2）1
?
?
（x?
1）（x?
2）
（x0?
x1）（x0?
x2）2（x?
x0）（x?
x2）1
?
（x?
1）（x?
2）
（x1?
x0）（x1?
x2）6
（x?
x0）（x?
x1）1
?
（x?
1）（x?
1）
（x2?
x0）（x2?
x1）3
则二次拉格朗日插值多项式为
l2（x）?
?
yklk（x）
k?
0
2
?
?
3l0（x）?
4l2（x）
?
?
（x?
1）（x?
2）?
124
（x?
1）（x?
1）3
?
5237x?
x?
623
2．给出f（x）?
lnx的数值表
用线性插值及二次插值计算的近似值。
解：
由表格知，
x0?
0.4,x1?
0.5,x2?
0.6,x3?
0.7,x4?
0.8;f（x0）?
?
0.916291,f（x1）?
?
0.693147f（x
2）?
?
0.510826,f（x3）?
?
0.356675f（x4）?
?
0.223144
若采用线性插值法计算ln0.54即f（0.54），则0.5?
0.54?
0.6
l1（x）?
x?
x2
x?
?
10（x?
0.6）1?
x2
lx?
x1
2（x）?
x?
?
10（x?
0.5）
2?
x1
l1（x）?
f（x1）l1（x）?
f（x2）l2（x）
?
6.9314
x7?
（0.?
6）
5.x1?
0826（
?
l1（0.54）?
?
0.6202186?
?
0.620219
若采用二次插值法计算ln0.54时，
l（x?
x1）（x?
x2）
0（x）?
（xx?
50（x?
0.5）（x?
0.6）
0?
x1）（x0?
2）
l（x?
x0）（x?
x2）
1（x）?
（x?
?
100（x?
0.4）（x?
0.6）
1?
x0）（x1?
x2）l（x?
x0）（x?
x1）
2（x）?
（x?
xx?
50（x?
0.4）（x?
0.5）
20）（2?
x1）
l2（x）?
f（x0）l0（x）?
f（x1）l1（x）?
f（x2）l2（x）
?
?
50?
0.9162x91?
（x0.?
5）（?
0.6）x69.?
31x47?
（?
l2（0.54?
）?
0.61531?
9?
84
0.
6153204．设xj为互异节点，求证：
n
（1）
?
xk
l（xk
jj）?
x
（k?
0,1,n,）
j?
0n
（2）?
（x
j
?
x）klj（x）?
0（k?
0,1,n,）
j?
0
证明
（1）令f（x）?
xk
（k=n）
0.?
140）8（260.5?
60）x（0.?
0.54x）（?
0.5
若插值节点为xj,j?
0,1,
n，则函数f（x）的n次插值多项式为ln（x）?
?
xkjlj（x）。
n
插值余项为r（x）?
f（x）?
l（x）?
f（n?
1）（?
）
nn（n?
1）!
?
n?
1（x）
又
k?
n,
?
f（n?
1）（?
）?
0?
r
n（x）?
0
?
n
?
xkk
jlj（x）?
x（k?
0,1,n,）j?
0n
（2）?
（xj?
x）klj（x）
j?
0
nn
?
?
（?
cjikxj（?
x）k?
i）lj（x）
j?
0i?
0n
?
?
ci
k?
i
n
k
（?
x）（?
xijlj（x））
i?
0
j?
0
又0?
i?
n由上题结论可知
?
n
xkl（x）?
xi
jj
j?
0
n
?
原式?
?
ciik（?
x）k?
xi
i?
0
?
（x?
x）k
?
0
?
得证。
8．f（x）?
x7?
x4
?
3x?
1,求f?
?
20,21,
27?
?
及f?
?
20,21
28?
?
。
解：
f（x）?
x7?
x4?
3x?
1
若x2i
i?
i?
0,1,,8
则f?
x0,x,xf（n）（?
）
1,
n?
?
n!
?
f?
xf（7）（0,x1,
x?
）7!
7?
?
7!
?
7!
?
1
j?
0
p31
f?
x0,x1,
f（8）（?
）,x8?
?
?
0
8!
14．求一个次数不高于3次的多项式p（x），使它满足…x-x2+x3
18．求f（x）?
x2在[a,b]上分段线性插值函数ih（x），并估计误差。
解：
在区间[a,b]上，x0?
a,xn?
b,hi?
xi?
1?
xi,i?
0,1,
n?
1,
h?
maxhi
0?
i?
n?
1
f（x）?
x
2
?
函数f（x）在小区间[xi,xi?
1]上分段线性插值函数为ih（x）?
?
x?
xi?
1x?
xi
f（xi）?
f（xi?
1）
xi?
xi?
1xi?
1?
xi
12
[xi（xi?
1?
x）?
xi?
12（x?
xi）]hi
误差为p29
1
maxf（x）?
ih（x）?
maxf?
?
（?
）hi2xi?
x?
xi?
18a?
?
?
b
f（x）?
x2
?
f?
（x）?
2x,f?
?
（x）?
2h2
?
maxf（x）?
ih（x）?
a?
x?
b4
第四章
数值积分与数值微分
p135
1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
（1）?
f（x）dx?
a?
1f（?
h）?
a0f（0）?
a1f（h）;
?
h
h
（2）?
2h
?
2h1
f（x）dx?
a?
1f（?
h）?
a0f（0）?
a1f（h）;
（3）?
f（x）dx?
[f（?
1）?
2f（x1）?
3f（x2）]/3;
?
1h
（4）?
f（x）dx?
h[f（0）?
f（h）]/2?
ah2[f?
（0）?
f?
（h）];
解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多
【篇三：
数值分析第五版习题答案】
x?
0，x的相对误差为?
，求lnx的误差。
[解]设x*?
0为x的近似值，则有相对误差为?
r*（x）?
?
，绝对误差为?
*（x）?
?
x*，从而lnx的误差为?
*（lnx）?
（lnx*）?
?
（x*）?
相对误差为?
（lnx）?
2、设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。
[解]设x*为x的近似值，则有相对误差为?
r*（x）?
2%，绝对误差为?
*（x）?
2%x*，从而xn的误差为?
*（lnx）?
（xn）?
相对误差为?
（lnx）?
*
r1*?
x?
?
，x**r?
*（lnx）lnx*?
?
lnx*。
x?
x*?
（x）?
n（x）**n?
12%x?
2n%?
x**n，?
*（lnx）（x*）n?
2n%。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：
*****?
385.6，x4?
7?
1.0。
x1?
1.1021，x2?
0.031，x3?
56.430，x5
***?
385.6有4?
1.1021有5位有效数字；x2?
0.0031有2位有效数字；x3[解]x1
**?
7?
1.0有2位有效数字。
?
56.430有5位有效数字；x5位有效数字；x4
****,x2,x3,x44、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3题所给
的数。
***?
x2?
x4
（1）x1；
?
?
f?
*******?
e*（x1?
x2?
x4）?
?
?
?
（x）?
?
（x）?
?
（x）?
?
（x）k124?
?
x?
k?
1?
k?
[解]；
111?
?
10?
4?
?
10?
3?
?
10?
3?
1.05?
10?
3
222n
***x2x3；
（2）x1*
*?
?
f***e*（x1x2x3）?
?
?
?
k?
1?
?
xkn?
**********?
（x）?
（xx）?
（x）?
（xx）?
（x）?
（xx）?
（x）k231132123?
?
[解]?
（0.031?
385.6）1?
10?
4?
（1.1021?
385.6）1?
10?
3?
（1.1021?
0.031）1?
10?
3；
222
?
0.59768?
10?
3?
212.48488?
10?
3?
0.01708255?
10?
3
?
213.09964255?
10?
3?
0.21309964255
**（3）x2。
/x4
?
?
f**e*（x2/x4）?
?
?
?
k?
1?
?
xkn*?
x21***?
?
（x）?
?
（x）?
?
（x）k24**2?
x4（x4）?
*
[解]?
110.031156.4611?
3?
3。
?
?
10?
3?
?
?
10?
?
?
102256.430222（56.430）（56.430）
56.4611?
3?
5?
?
?
10?
0.88654?
10（56.430）22
5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径r允许的相对误差是多少？
4?
*（?
（r*）3）4[解]由1%?
?
r*（?
（r*）3）?
可知，43?
（r*）3
3
?
444?
?
?
*（?
（r*）3）?
1%?
?
（r*）3?
?
?
（r*）3?
?
*（r*）?
4?
（r*）2?
?
*（r*），33?
3?
?
*（r*）111***?
1%?
?
从而?
（r）?
1%?
r，故?
r（r）?
。
*33003r**
6、设y0?
28，按递推公式yn?
yn?
1?
1783（n?
1,2,?
）计算到y100，若取100
783?
27.982（五位有效数字，）试问计算y100将有多大误差？
[解]令n表示yn的近似值，e*（yn）?
n?
yn，则e*（y0）?
0，并且由
n?
n?
1?
11?
783可知，?
27.982，yn?
yn?
1?
100100
1n?
yn?
n?
1?
yn?
1?
?
（27.982?
），即100
12从e*（yn）?
e*（yn?
1）?
?
（27.982?
783）?
e*（yn?
2）?
?
（27.982?
783）?
?
，100100
而e*（y100）?
e*（y0）?
（27.982?
783）?
783?
27.982，
而783?
27.982?
11?
10?
3，所以?
*（y100）?
?
10?
3。
22
7、求方程x2?
56x?
1?
0的两个根，使它至少具有四位有效数字（?
27.982）
[解]由x?
28?
783与783?
27.982（五位有效数字）可知，x1?
28?
783?
28?
27.982?
55.982（五位有效数字）。
而x2?
28?
783?
28?
27.982?
0.018，只有两位有效数字，不符合题意。
但是x2?
28?
?
1
28?
783
n?
1
n?
1?
1.7863?
10?
2。
55.9828、当n充分大时，怎样求?
[解]因为?
n?
1
n1dx？
1?
x21dx?
arctan（n?
1）?
arctann，当n充分大时为两个相近数相21?
x
减，设?
?
arctan（n?
1），?
?
arctann，则n?
1?
tan?
，n?
tan?
，从而tan（?
?
?
）?
tan?
?
tan?
（n?
1）?
n1，?
?
21?
tan?
tan?
1?
n（n?
1）n?
n?
1
因此?
n?
1n11。
dx?
?
?
?
?
arctan221?
xn?
n?
1
9、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2?
[解]由?
*（（l*）2）?
[（l*）2]?
?
*（l*）?
2l*?
*（l*）可知，若要求?
*（（l*）2）?
1，则?
（l）?
**?
*（（l*）2）
2l*?
111?
，即边长应满足l?
100?
。
2?
100200200
12gt，假定g是准确的，而对t的测量有?
0.1秒的误差，证明当t2
增加时s的绝对误差增加，而相对误差却减少。
10、设s?
[证明]因为?
*（s）?
（ds**）?
（t）?
gt*?
*（t）?
0.1gt*，dt
?
（s）?
*
r?
*（s）s*gt*?
*（t）2?
*（t）1?
?
?
，所以得证。
**1t5tg（t*）2
2
11、序列?
yn?
满足递推关系yn?
10yn?
1?
1（n?
1,2,?
），若y0?
2?
1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？
这个计算过程稳定吗？
?
?
y?
2[解]设n为yn的近似值，?
（yn）?
n?
yn，则由?
0与?
?
yn?
10yn?
1?
1*
?
0?
1.411可知，?
*（y0）?
?
10?
2，n?
yn?
10（n?
1?
yn?
1），即?
2?
n?
10n?
1?
1
?
*（yn）?
10?
*（yn?
1）?
10n?
*（y0），11从而?
*（y10）?
1010?
*（y0）?
1010?
?
10?
2?
?
108，因此计算过程不稳定。
22
12、计算f?
（2?
1）6，取2?
1.4，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？
1
（2?
1）6，（3?
22）3，1（3?
22）3，99?
702。
[解]因为?
*（f）?
11，?
10?
1，所以对于1?
62（2?
1）
?
e*
（1）?
1e*（1.4）?
611?
1?
4?
?
10?
6.54?
10?
?
10?
2，有一位有效数字；722（1.4?
1）
对于2?
（3?
22）3，
11?
e*
（2）?
2e*（1.4）?
6（3?
2?
1.4）2?
?
10?
1?
0.12?
10?
1?
?
10?
1，没有有效数22
字；对于f3?
1
（3?
22）3，
611?
1?
3?
2?
?
10?
2.65?
10?
?
10，有一位有效数422（3?
2?
1.4）?
e*（3）?
3e*（1.4）?
字；11?
对于4?
99?
702，e*（4）?
4e*（1.4）?
70?
?
10?
1?
35?
10?
1?
?
101，没有22
有效数字。
13、f（x）?
ln（x?
x2?
1），求f（30）的值。
若开平方用六位函数表，问求对数时
误差有多大？
若改用另一等价公式ln（x?
x2?
1）?
?
ln（x?
x2?
1）计算，求对数时误差有多大？
[解]因为302?
1?
?
29.9833（六位有效数字），?
*（x）?
1?
10?
4，所以2e*
（1）?
（f1?
）*e*（x）?
?
?
1?
?
10?
4（30?
302?
1）2，111?
?
10?
4?
0.2994?
10?
2
30?
29.98332
1?
?
10?
4
x?
x2?
12。
1e*
（2）?
（f2?
）*e*（x）?
?
?
11?
?
10?
4?
0.8336?
10?
6
30?
29.98332
?
x1?
1010x2?
1010
14、试用消元法解方程组?
，假定只有三位数计算，问结果是否x?
x?
22?
1
可靠？
10101010?
2[解]精确解为x1?
10。
当使用三位数运算时，得到,x2?
1010?
110?
1
x1?
1,x2?
1，结果可靠。
15、已知三角形面积s?
1?
absinc，其中c为弧度，0?
c?
，且测量a，b，c22
?
s?
a?
b?
c?
?
?
。
sabc的误差分别为?
a,?
b,?
c，证明面积的误差?
s满足
n
[解]因为?
（s）?
?
k?
1?
f111?
（xk）?
bsinc?
a?
asinc?
b?
abcosc?
c，?
xk222
111bsinc?
a?
asinc?
b?
abcosc?
c?
s222?
1sabsinc所以。
2
?
?
c?
b?
c?
c?
b?
c?
?
?
?
?
cbtanccbc
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