数学广东省中山市学年高二下学期期末统一考试理.docx
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数学广东省中山市学年高二下学期期末统一考试理
广东省中山市2016-2017学年高二下学期期末统一考试（理）
本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.若复数满足，则（）
A．B．C．D．
2．设随机变量X～B（8，p），且D（X）＝1.28，则概率p的值是（）
A．0.2B．0.8C．0.2或0.8D．0.16
3．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：
使用智能手机
不使用智能手机
总计
学习成绩优秀
4
8
12
学习成绩不优秀
16
2
18
总计
20
10
30
附表：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经计算的观测值为10，，则下列选项正确的是（ ）
A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响
D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响
4.用反证法证明：
若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是（）
A．假设都是偶数；B．假设都不是偶数
C．假设至多有一个偶数D．假设至多有两个偶数
5．函数的单调递减区间是（）
A.B.
C.，D.
6．已知X的分布列为（）
X
－1
0
1
P
设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为
A. B．4C．－1D．1
7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于（ ）
A.B.C.D.
8．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布
N（－1,1）的部分密度曲线）的点的个数的估计值为
附：
若X～N（μ，σ2），则P（μ－σA．1193B．1359C．2718D．3413
9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是（ ）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A.产品的生产能耗与产量呈正相关
B．t的值是3.15
C．回归直线一定过（4.5,3.5）
D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
10.将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是
A.150B.210C.240D.300
11.大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：
0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：
，如果把这个数列排成如图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为（）
A．1200B．1280C．3528D．3612
12．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是（）
A．B．
C.D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）
13.直线是曲线的一条切线，则实数的值为
14.
15.已知,则的值等于.
16.已知函数，如果存在，使得对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
在的展开式中，求：
（1）第3项的二项式系数及系数；
（2）含的项．
18．（本小题满分12分）
设正项数列的前项和为，且，
（1）求，并猜想数列的通项公式
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
19.（本小题满分12分）
为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数和温度的回归方程来建立两个变量之间的关系.
温度
20
22
24
26
28
30
32
产卵数个
6
10
21
24
64
113
322
400
484
576
676
784
900
1024
1.79
2.30
3.04
3.18
4.16
4.73
5.77
26
692
80
3.57
1157.54
0.43
0.32
0.00012
其中，，，，
附：
对于一组数据，，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，．
（1）根据表中数据，分别建立两个模型下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：
）
（2）若模型①、②的相关指数计算分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.
20.（本小题满分12分）
某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：
应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：
至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
21.（本小题满分12分）
对于命题：
存在一个常数，使得不等式对任意正数，恒成立.
（1）试给出这个常数的值；
（2）在
（1）所得结论的条件下证明命题；
（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题：
“存在一个常数，使得不等式对任意正数，，恒成立．”观察命题与命题的规律，请猜想与正数，，，相关的命题．
22.（本小题满分12分）
已知函数存在两个极值点．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设和分别是的两个极值点且，证明：
．
参考答案
一、选择题：
1-12、CCABAABBBADA
二、填空题：
13．；15．；15．；16．.
三、解答题：
17.解：
（1）第3项的二项式系数为，…………………………………2分
又，所以第3项的系数为240.……………5分
（2），
令，得.所以含的项为第2项，且………10分
18.解：
（1）当时，，∴或（舍,）.………1分
当时，，∴．………2分
当时，，∴．………3分
猜想：
.………4分
（2）证明：
①当时，显然成立．………5分
②假设时，成立，
则当时，,
即
∴.………11分
由①、②可知，，.………12分
19.解：
（1）对于模型①：
设，则
其中，………………………1分
……………………3分
所以，…………………4分
当时，估计产卵数为……5分
对于模型②：
设，则
其中，…………………………………6分
………………………8分
所以，…………………………………9分
当时，估计产卵数为…………10分
（2）因为，所以模型②的拟合效果更好…………………………………12分
20.解：
（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3……………1分
；；；…………4分
应聘者甲正确完成题数的分布列为
1
2
3
………………………………………5分
设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为0，1，2，3……………………………6分
，
……………………………9分
应聘者乙正确完成题数的分布列为：
0
1
2
3
.
（或∵∴）…………10分
（2）因为，
所以……………………………………………11分
综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；
从做对题数的方差考查，甲较稳定；
从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大………………12分
21.解：
（1）令得：
，故；……3分
（2）先证明.
∵，，要证上式，只要证，
即证即证，这显然成立.
∴.……6分
再证明.
∵，，要证上式，只要证，
即证即证，这显然成立.
∴.……9分
（3）猜想结论：
存在一个常数，使得不等式
对任意正数，，，恒成立.……12分
22.解：
（Ⅰ）由题设函数的定义域为，，………1分
故函数有两个极值点等价于其导函数在有两个零点．
当a=0时，显然只有1个零点．………………………2分
当a≠0时，令，那么．
若a<0，则当x>0时，即单调递增，所以无两个零点.…3分
若a>0，则当时，单调递增；当时，单调递减，所以.又，当x→0时→，故若有两个零点，则，得．………………………………………5分
综上得，实数a的取值范围是．………………………………………6分
（Ⅱ）要证，两边同时取自然对数得．………7分
由得，得.
所以原命题等价于证明．…………8分
因为，故只需证，即．……9分
令，则，设，只需证．…10分
而，故在单调递增，所以．
综上得．………………………………………………………………12分
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