高考数学21种排列组合模型完整版.docx

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高考数学21种排列组合模型完整版

九相邻问题捆绑法

题忖屮规定相邻的儿个兀素拥绑成-个组，当作…个人兀素参

与排列•

例LAJKcJ）五人并排站成一排，如果月/必须相邻IIF在

/的右边，那么不同的排法种数有

A、60种Ik48种（λ36种1）、24种

解析：

把4"视为一人・HZi固定在/的右边,则本题相当于

4人的全排列，爲=24种，答案：

A

2•相离问题插空排

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例N七人并排站成-行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是

\、1440种B.360（）种

C、4820种DX4800种

解析：

除卬乙外，瓦余B个排列数为（种，再用叩乙去插6

个空位有々种，不同的排法种数是X4=3600种，选B.

3.定序问题缩倍法

任排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例3.A,B,C,D,E五人并排站成•排，如果〃必须站在/的右边

（4〃可以不相邻）那么不同的排法种数是

A、24种B、60种C、90种D、120种

解析：

B^A的右边与/T在M的左边排法数相同，所以题设的

排法只是5个元素全排列数的•半，即60种，选乩

4.标号排位问题分步法

把兀索排到指定位置上，可先把某个兀索按规定排入，笫二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例4・将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格电,毎格填•个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有

A.6种B、9种C、11种［）、23种

解析：

先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法「第二步填余下的两个数字，只有•种填法，共有3X3X1二9种填法，选〃・

5.有序分配问题逐分法

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例

（1）有甲乙丙三项任务，rp需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人屮选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是

A、126（）种B、2025种

C、2320种［）、3040种

解析：

先从10人中选出2人承担叩项任务，再从剩下的8人屮选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有GX=2520种，选（;.

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有

AWe种B、3G：

W种C、G：

U念种D、

一种

答案：

月・

6.全员分配问题分组法

例6.

（1）4名优秀学牛全部保送到3所学校去，毎所学校至少去一名，则不同的保送方案右多少种？

解析：

把四名学生分成3组令U种方法，再把三组学生分配到三所学校有念种，故共有U念=36种方法.

说明：

分配的兀素名亍对彖毎•对象都有兀素分配时常用先分纽再分配.

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本,不同的分法种数为

A.48（）种1人240种C、12（）种【）、96种

答案：

B.

7・名额分配问题隔板法

例7.1（）个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名

额，有多少种不同分配方案？

解析:

10个名额分到7个班级，就足把10个名额苕成10个相同的小球分成7堆，毎堆至少一个，可以在IO个小球的9个空位屮插入6块木板，每•种插法对应着•种分配方案,故共有不同的分配方案为=84种.

•限制条件的分配问题分类法

例&某高校从某系的10名优秀毕业牛•屮选4人分别到西部四城市参加中国四部经济丿F发建设，其中卬同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解析：

因为叩乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙來分类，有以下四种情况：

①若叩乙都不参加，则冇派遣方案禹种；②若甲参加而乙不参加，先安排叩有3种方法，然后安排其余学生有念方法，所以共右3心③若乙参加血叩不参加同理也有3心种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余H人到另外两个城市右《种，共有方法•所以共右不同的派遣方法总数为£+3&+3念+7心4088种.

9•多元问题分类法

元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.

例9.

（1）由数字0,1,2,3,4,5组成没有莹复数字的六位数，Jt•中个位数字小于十位数字的共仃

A、210种B、300种C、464种D、600种解析：

按题意，个位数字只可能是（）、1、2、3和4共5种情况，分别有〈、444.堆堆鳶、和W个，合并总计300个,选〃・

（2）从1,2,3∙∙∙,100这100个数屮，任取两个数，使它们的乘积能被7幣除，这两个数的取法（不计顺序）共河多少种？

解析：

被取的两个数中至少右一个能被7榕除时，他们的乘积就能被7榕除，将这100个数组成的集合视为全集1,能被7整除的数的集合记做4{7,14,21,…98}共有,4个元素,不能被7整除的数组成的集合记做輕={1,2,3,4,…,100}共有86个元素；由此可知，从月中任取2个元素的取法旳从/!

中任取-个，又从輕中任取一个共有两种情形共符合耍求

的取法有C1>ClX,=1295种.

（3）从1,2,3,∙∙∙,10（）这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

解析：

将/={123…,100}分成四个不相交的子集，能被4整除的数集宀{4,&12,…100}；能被4除余1的数集

—{1,5,9,…97},能被4除余2的数集C={2,6,…,98},能被4除余3的数集"{3,7,II,…99},易见这四个集合中每•个有23个元素：

从＞1屮任取两个数符合要；从乩D中各取•个数也符合耍求；从C中任取两个数也符合耍求；此外其它取法都不符合耍求；所以符合要求的取法共有c；+c；W种.

10•交叉问题集合法

某些排列组合问题几部分Z间右交集，可川集合中求元素个数公式n（∕U"）=H（A）+一n{A∩・

例10・从6名运动员中选出4人参加4X100米接力赛，如果卬不跑第一棒，乙不跑笫四棒，共有多少种不同的参赛方案？

解析：

设全集={6人中任取4人参赛的扌」!

•列},A={甲跑笫•棒的排列},1匸{乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共右：

H（I）-H（A）一λ（B）÷n（AMB）=4-4-4÷^=252种.

11.定位问题优先法

某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例11.1名老师和4名获奖同学徘成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

解析^老师在中间三个位置上选•个有农种，4名同学在英余

4个位置上右划种方法；所以共44；=72种.

12.多排问题单排法

把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.

例12・

（1）6个不同的元素扌作成前后两排，m3个元素，那么不同的排法种数是

A、36种BX12（）种C、720种D、1440种

解析：

前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共4=720

种，选

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,右•多少种不同排法？

解析：

看成一排，某2个元素在前半段四个位置屮选排2个，有垮种，某1个兀素排在后半段的四个位置屮选…个有41种,其余5个元素任排5个位置匕有&种，故共有^44=5760种HF法.

13."至少""至多"问题用间接排除法或分类法

抽取两类混合兀素不能分步抽.

例13•从4台屮型和3台乙型电视机中任取3台，其屮至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共右

A、140种B、80种C、70种D、35种

解析1：

逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另•种型号的电视机，故不同的取法共有H=70种,选.C

解析厶至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：

甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台：

故不同的取法有

CC+W=70台，选C.

14•选排问题先取后排

从儿类兀素中取出符合题意的几个兀素，再安排到•定的位置上,可用先取后排法.

例14.

（1）四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,

则恰有•个空盒的放法有多少种?

解析：

“先取”四个球中二个为•组,另二组各•个球的方法有U种，“再排”在四个盒屮每次排3个有禹种，故共有

W=I44种.

（2）9名乒乓球运动员，其屮男3名，女4名，现在要进行混

合双打训练，有多少种不同的分组方法?

解析：

先取男女运动员各2名，种，这四名运动员混和双打练习有&中排法，故共有CU念=120种.

15.部分合条件问题排除法

在选取的总数屮，只有部分合条件，可以从总数屮减去不符合条件数，即为所求.

例15・

（1）以止方体的顶点为顶点的四面体共有

A、70种B、64种C.58种D.32种

解析」匸方体8个顶点从中毎次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有Gl-12=58个.

（2）四面体的顶点和各棱中点共1（）点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共仃

AS150种B、147种C、144种D、141种解析：

1（）个点中任取4个点共有G；J种，英中四点共面的有三种睛况:

①在四面体的四个面上,每面内四点共面的悄况为V,四个面共有4（：

个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个;③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个•所以四点不共血的情况的种数是G；厂4^-3-6=141种.

16•圆排问题线排法

把刀个不同元素放在圆周力个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列,而顺序相同（即旋转一下就可以亘合）的排法认为足相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列介个普通排列：

a∖,5g∙∙,55S■…，5∙∙∙g,Q∖,在圆排列中只算

种，因为旋转后可以重合，故认为相同，力个元素的圆排列数n∖

有万种•因此可将某个元素固定展成线排，其它的〃-1元素全排列.

例16・5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法？

解析：

首先可让5位姐姐站成•圈，屈圆排列有禹种，然后在让插入英间，每位均可插入其姐姐的圧边和右边，有2种方式,故不同的安排方式24X768种不同站法.

说明：

从个不同元素中取出加个元素作恻形排列共河万&种不同排法.

17.可重复的排列求卑法

允许克复排列问题的特点足以元素为研究对彖，兀素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地〃个不同元素排在刃个不同位置的排列数有加"种方法.

例17•把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

解析：

完成此事共分6步，第-•步：

将笫-•名实习生分配到车间有7种不同方案，第一步：

将第一名实习牛分配到乍间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有才种不同方案.

复杂排列组合问题构造模型法

例18•马路上有编号为1,2,：

”・・，9九只路灯，现耍关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

解析：

把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯（；种方法,所以满足条件的关灯方案令1（）种.

说明：

一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.

19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法

例19•设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒了要求每个盒了放•个球,

并Il恰好有两个球的号码与盒了号码相同，问有名少种不同的方法？

解析：

从5个球屮取出2个与盒了对号有C；种，还剩卜3个球与3个盒了序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3,4,3号球与3,4,5号盒了时，3号球不能装入3号盒了，当3号球装入4号盒子时，4,3号球只有1种装法，3号球装入5号盒了时，4,5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为2（；=20种.

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法

例20.

（1）3（）（）3（）能被多少个不同偶数整除？

解析:

先把30030分解成质因数的形式:

30030=2X3×5×7X11X13；依题意偶因数2必取，3,5,7,11,13这5个因数屮任取若干个组成成积，所有的偶因数为

—U+（；Y:

+C；=32个.

（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

解析：

因为四面体屮仅有3对异面直线，可将问题分解成止方体的H个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体«个顶点

屮任取四个顶点构成的四面体有V-12=58个，所以8个顶点可连成的异面直线右3X58-174对.

21.利用对应思想转化法

对应思想是教材屮渗透的•种匝耍的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

例21.

（1）恻周上有10点,以这些点为端点的弦相交于恻内的交点最多有多少个？

解析：

因为圆的•个内接四边形的两条对角线相交丁•圆内•点，一个恻的内接四边形就对应着两条弦相交于恻内的一个交点，F是问题就转化为岡周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有C寿个，所以］员I周匕有1（）点，以这些点为端点的弦相交丁•圆内的交点有］m个.

（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其屮实线农示马路，从/到〃的最短路径有多少种？

解析：

可将图中矩形的一边叫一小段，从S到〃最短路线必须走7小段，苴中：

向东4段，向北3段:

rf∏⅛前一段的尾接后

•段的首，所以只耍确定向东走过4段的走法，便能确定路径,因此不同走法右V种.