完整版数理统计复习总结西北工业大学.docx
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完整版数理统计复习总结西北工业大学
1统计量与抽样分布
1.1基本概念：
统计量、样本矩、经验分布函数总体X的样本X1,X2,…，Xn,
样本均值
样本方差s2
修正样本方差
*2
n
样本k阶原点矩
Ak
样本k阶中心矩
Bk
经验分布函数Fn（X）
（Xi
2
X）
n
（Xi
1
Xik,（k
2
X）
1,2,...）
（XiX）k,（k
1,2,...）
）其中Vn（X）表示随机事件｛X
显然Vn（x）~B（n,F（x）），则有E[Fn（x）]
1
F（x）D[Fn（x）]-F（X）[1
n
x｝出现的次数
F（x）]
补充:
ES；n
1
DX
n
*2
ESn
DX
2
EXDX（EX）
21
n
2
2
Sn
XiX
ni
1
二项分布
B（n,p）:
P{X
k}
k
CnP
knk
（1P）,（k
EX=npDX=np（1-p）
泊松分布
P（）:
P{X
k}
k
e
（k0,1,...）
k!
EX
DX
1
均匀分布
U（a,b）:
f（x）
-,（a
xb）
ba
a
b
1
2
EX一
DX
（b
a）
2
12
指数分布
f（x）e
x,（x
0）
F（x）1e
2
0,1,...,n）
x,（x0）
EX-DX&
正态分布
N（
2）：
f（x）1
J2
exp{
（x
2
2）2}
EX
DX2
E（nS2n）
n
1ES；n12n
D（nS2n）
2（n
1）
DS；
2（n1）4
2
n
当
2EX434EXf
0时，EX
0EX2
DX（1-）2
1.2统计量：
充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族
n
L（）f（Xi；）h（Xi,X2,...,Xn）g（T（Xi,X2,...,Xn）；）且h非负T是B的充分统计量
i1
n
f（Xi;）C（）eXP{b（）T（Xi,X2,...,Xn）}h（Xi,X2,...,Xn）T是B的充分完备统计量
i1
n
f（Xi；）C（）exp{d（）Ti（Xi,X2,...,Xn）b2（）丁2（为，X2,...,Xn）}h（Xi,X2,...,Xn）
i1
（Ti,T2）是（1,2）的充分完备统计量
1.3抽样分布：
2分布，t分布，F分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正
态总体样本均值的分布
22n
补充:
合概率密度
yg（x）的概率密度fy（y）fx（g1（y））[g1（y）]'
B函数：
B（,）0x1（1x）1dxB（
若$是无偏估计，则MSE（$,）D$
**
对于的任意一个无偏估计量$，有D$D$，则$是的最小方差无偏估计，记MVUE
相合估计（一致估计）:
limEnlimD$n0
nn
2.2点估计量的求法：
矩估计法、最大似然估计法
矩估计法：
①求出总体的k阶原点矩：
akEXkxkdF（x;1,2,...,m）
②解方程组ak
1
n
nk
Xi（k=1,2,.
1
..,m），得$k
$k（X1,X2,...,Xn）即为所求
最大似然估计法：
①写出似然函数
L（
n
）f（Xi；
i1
），求出lnL
及似然方程lnL
i
0i=1,2,...,m
$
②解似然方程得到$i（X1,X2,...,Xn），即最大似然估计$i（X1,X2,...,Xn）i=1,2,...,m
补充:
似然方程无解时，求出的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估计
2.3MVUE和有效估计：
最小方差无偏估计、有效估计
T是的充分完备统计量，$是的一个无偏估计
$E（$|T）为
的惟一的MVUE
最小方差无偏估计的求解步骤：
求出参数的充分完备统计量T
求出ETg（），则$g1（T）是
的一个无偏估计
或求出一个无偏估计，然后改写成用
T表示的函数
11
综合，E[g（T）T]g（T）是的
MVUE
或者:
求出的矩估计或ML估计，再求效率，为
1则必为MVUE
T是g（
）的一个无偏估计，则满足信息不等式D[T（X）]
1（）E
2或I（）E
2lnf（X;）
0，f（X;）为样本的联合分布。
最小方差无偏估计
达到罗-克拉姆下界
有效估计量
效率为1
无偏估计$的效率：
e（$）
n1（）
D$
$是的最大似然估计，且$是的充分统计量
的有效估计
2.4区间估计：
概念、正态总体区间估计（期望、方差、均值差、方差比
态总体参数和区间估计
）及单侧估计、非正
一个总体的情况：
X〜N（
2）
2
已知，求
的置信区间:
X
一〜N（0,1）
'一n
o
未知，求
的置信区间:
决〜t（n1）
*
勺t_（n
、n2
1）
已知，求
2
的置信区间:
n
（Xi）
i1
（n）
（Xi）
i1
n
（Xi）
i1
未知，求
2
的置信区间:
（XiX）2
2（n
n
（Xi
1）g「
2（n1）
X）2
：
（n）
2
12』）
2
n
（Xi
i1
~_r_（n1）
1-
X）2
22
两个总体的情况：
X~N（1,1）,Y~N（2,2）
12的区间估计
非正态总体的区间估计:
3统计决策与贝叶斯估计
3.1统计决策的基本概念：
三要素、统计决策函数及风险函数
统计决策函数d（X）:
本质上是一个统计量，可用来估计未知参数
风险函数：
R（,d）E[L（,d（X））]是关于的函数
③求f（x,）关于x的边缘密度m（x）f（x,）d
④的后验密度为：
h（|x）f（x,）
m（x）
取L（,d）（d）2时
的贝叶斯估计为：
$E（|x）h（|x）d
R（,d）E（d）2
贝叶斯风险为：
2
贝叶斯风为FUd）E[R（,d）]E（d）2h（|x）d
取L（,d）（）（d）2时，贝叶斯估计为：
$E[（）凶
E[（）|x]
补充：
C（）的贝叶斯估计：
取损失函数L（,d）（C（）d）2，则贝叶斯估计为
•）E[C（）|x]C（）h（|x）d
f（x,）d
$f（x,）
$E（|x）h（|x）dd
m（x）f（x,）d
3.3minimax估计
对决策空间中的决策函数di（x）,d2（x）,…，分别求出在上的最大风险值maxR（,d）
在所有的最大风险值中选取相对最小值，此值对应的决策函数就是最小最大决策函数。
4假设检验
4.1基本概念：
零假设（Ho）与备选假设（H1）、检验规则、两类错误、势函数
零假设通常受到保护，而备选假设是当零假设被拒绝后才能被接受。
检验规则：
构造一个统计量T（X1,X2,...,X3），当H0服从某一分布，当H0不成立时，T的偏大
偏小特征。
据此，构造拒绝域
W
第一类错误
（弃真错误）
:
P{T
W|H。
为真｝
第二类错误
（存伪错误）
:
P{T
W|H。
为假｝
势函数：
（）E（
（X））P{XW}（X）
1,XW
0,XW
当
0时，（）为犯第一类错误的概率
4.2正态总体均值与方差的假设检验:
t检验、X2检验、F检验、单边检验
一个总体的情况:
N（
2）
2已知，检验
Ho：
Hi:
X耳〜N（O,i）
2
未知，检验
Ho：
Hi：
s：
V〜t（n
1）
已知，检验
Ho：
Hi：
n
（Xi
ii
2
）2
2（n）
未知，检验
Ho：
Hi：
n
2
（XiX）
ii
（n1）
两个总体的情况:
N（
i2），
N（
2
未知时，检验
Ho：
i
Hi：
nin2（nin22）
*2*2
nii）Sini（n2i）S2n,
〜t（m
n2
2）
2未知时，检验Ho：
2Hi：
i2
*2
SiniF（n
h〜F（ni
S2n2
hl
i）
单边检验：
举例说明,
2已知，检验Ho：
Hi：
构造Ui
~N（o,i），给定显著性水平
，有P{Ui
。
当Ho成
立时Ui
Xdef
3U，因此P{U
o-n
u}P{S
。
故拒绝域
为W{Uu}
4.3非参数假设检验方法：
2
拟合优度检验、科尔莫戈罗夫检验、斯米尔诺夫检验
2
拟合优度检验：
Ho：
PiPio
Hi：
PiPioW山
2（mri）}
科尔莫戈罗夫检验：
H°:
F（x）F°（x）Hi：
F（x）F°（x）实际检验的是Fn（x）F°（x）
W
{lim
n
sup
X
Fn（x）
F°（x）
Dn,}
斯米尔诺夫检验：
H。
F（x）
G（x）
H1
:
F（x）
G（X）实际检验的是Fn（X）Gn（x）
4.4似然比检验
W
{lim
n
sup
X
Fm
（X）
Gn2（x）
Dm』?
，｝
明确零假设和备选假设：
H0
0
H
1:
1
I（xx）SUpL（Xi，…，Xn；）
构造似然比：
Ll（xi‘…,xn）
Lo（Xi，…，Xn）SUpL（Xi，…，xn；）
0
拒绝域：
W{（x1,...,xn）}
5方差分析
5.1单因素方差分析：
数学模型、离差平方和分解、显著性检验、参数估计
Xij
（i=1,2,...,m;j=1,2,...,ni）H0：
ni
总离差平方和Qt
（XijX）2
j1
QtQe
Qa
组内离差平方和
Qe
ni_
（XijXi）2
j1
Qe
E产）
nr
组间离差平方和
n（XiX）2
当H0成立时,
E（牛）
r1
构造统计量
QA（r
1）
Qe
（nr）
鱼〜F（r
Qe
1,n
r），当
H0不成立时，有偏大特征
N（
2（nr）
2）且
XiXk
ik，
应用:
若原始数据比较大而且集中，可减去同一数值
XjXj
k再解题
辅助量：
P丄（
ni
mni
Xij）2,Q
1
12
-（Xj）2,R
i1nijj1
ni
Xij2
qaqp,qe
Q,Qtrp
5.2两因素方差分析：
数学模型、
Xij
离差平方和分解、显著性检验
i
数学模型jj〜N（0,2）
各耳相互独立
ij
H01:
H02:
总离差平方和qt
（Xij
j1
X）QtQe
Qb
Qa
ni
组内离差平方和qe
（XijXi?
X?
jXi）2j1
Qe
E（（r1）（s
1））
因素B引起的离差平方和
Qb
s
r（X；
j1
X）2
当Ho成立时,
因素A引起的离差平方和
Qa
s（Xi?
X）2
当Ho成立时,
1）
辅助量：
P
构造统计量:
Xij
j1
Qi
Xij
>Qii
Qi
P,Qb
Qii
P,Qe
Qi
Qii
Fb
Qa（r
1）
Qe（r1）（s1）
Qb（s1）
Qe（r
1）（s1）
6回归分析
6.1一元线性回归:
（T2（T*2）
回归模型、
Xij
i1
R
s
X2
ij
j1
Qa
Qe
Qe
未知参数的估计
Yxii
2
回归模型：
i〜N（0,）i=1,2,...,n.
各i相互独立
F（r
1,（r
1）（s
1））
F（s
1,（r
1）（s
1））
（X、
（T
2）、
参数估计量的分布
（3aY0
（,）的估计:
（1
n
（XX）（YY）i1
n
（Xi
i1
X）2
（,）分布:
□〜N（，［丄
n
）
2
（XX）
」L]2）
（Xix）2
i1
n
（丫
ni1
y）2
2
[1
1
（-
n
n_
（xX）2）
i1
*2
[1
n
6.2多元线性回归：
回归模型、
参数估计、
分布
丫Xi
回归模型：
i
2
i〜N（0,In）i=1,2,…,n.
各i相互独立
参数估计：
XtY（XtX）
卩卩（XtX）1xty
7多元分析初步
7.1定义及性质：
定义、性质
X~Np（,）其中为X
的均值向量,
为X的协方差矩阵
Y=CX+b，则丫〜Np（C
b,CCt）
def
0，冈U（X
2
（X）~（p）
7.2参数的估计与假设检验:
工的估计、
正态总体均值向量的假设检验
样本均值向量X
Xi样本离差阵
1
n
（XkX）（XkX）t
k1
最大似然估计卩
最小方差无偏估计
S
（n1）
1
X〜N（，—）
n
YYiT
1
n（Xo）T
1（X
o）〜
2（P）
1）（X
1
o）TS（X
2
0）]〜F（p,np）
2mn
（XY）T1（XY）~2（p）
mn
fpmm（mn）（mpn12）（xy）tsi（xy）
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