届高三理科数学一轮复习学案 75直线平面垂直的判定及其性质.docx

届高三理科数学一轮复习学案 75直线平面垂直的判定及其性质.docx

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届高三理科数学一轮复习学案75直线平面垂直的判定及其性质

第五节直线、平面垂直的判定及其性质

1．直线与平面垂直

（1）直线和平面垂直的定义：

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

（2）直线与平面垂直的判定定理及性质定理：

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b

2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

⇒α⊥β

性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.（　　）

（2）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（　　）

（3）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×

2．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（　　）

A．充分不必要条件　　　　　B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选B　∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.但l⊥m⇒/l∥α，∵l⊥m时，l可能在α内．

故“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件．

3．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β（　　）

A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m

C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m

解析：

选A　∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β（面面垂直的判定定理），故A正确．

4．设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是（　　）

A．若m⊥α，α⊥β，则m∥β

B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β

C．若m⊥n，m⊥α，则n∥α

D．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

解析：

选B　对于A，m可以在β内，故A错；对于C，n可以在α内，故C错误；对于D，m与n可以平行，故D错．

5．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．

解析：

由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC，共7对．

答案：

7

直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题.,常见的命题角度有：

（1）证明直线与平面垂直；

（2）利用线面垂直的性质证明线线垂直.

[题点全练]

角度

（一）　证明直线与平面垂直

1．如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，

❶

PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝AB，

❷

PH为△PAD中AD边上的高．

求证：

（1）PH⊥平面ABCD；

（2）EF⊥平面PAB.

[学审题]

①想到AB与平面PAD内所有的直线垂直；

②想到△PAD为等腰三角形，可取PA的中点得垂线；

③可证PH与平面ABCD内的两条相交直线垂直；

④可利用线面垂直的判定定理证明，也可以转化为与EF平行的某条直线与平面PAB垂直的证明．

证明：

（1）因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，

所以PH⊥AB.

因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.

因为AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以PH⊥平面ABCD.

（2）如图，取PA的中点M，连接MD，ME.

因为E是PB的中点，

所以ME綊AB.

又因为DF綊AB，

所以ME綊DF，

所以四边形MDFE是平行四边形，所以EF∥MD.

因为PD＝AD，所以MD⊥PA.

因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.

因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，

所以EF⊥平面PAB.

[题型技法]　证明线面垂直的4种方法

（1）线面垂直的判定定理：

l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.

（2）面面垂直的性质定理：

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

（3）性质：

①a∥b，b⊥α⇒a⊥α，②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.

（4）α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.（客观题可用）

角度

（二）　利用线面垂直的性质证明线线垂直

2.（2017·江苏高考）如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：

（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC.

证明：

（1）在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，

所以EF∥AB.

又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

BC⊂平面BCD，BC⊥BD，

所以BC⊥平面ABD.

因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.

又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，

BC⊂平面ABC，

所以AD⊥平面ABC.

又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.

[题型技法]　证明线线垂直的4种方法

（1）以算代证法：

先平移到相交位置，再证明所构成的三角形的三边满足勾股定理．

（2）利用线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.

（3）三垂线定理（垂影⇒垂斜）及其逆定理（垂斜⇒垂影）．

（4）a∥b，b⊥c⇒a⊥c.

[题“根”探求]

证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用，其思维流程为：

第一步：

找相交直线

在一个平面内找到两条相交直线

第二步：

证线线垂直

证明平面外的直线与这两条相交直线都垂直

第三步：

证线面垂直

利用直线与平面垂直的判定定理证得线面垂直

第四步：

证线线垂直

由线面垂直的性质得到线线垂直

[冲关演练]

1.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．

（1）求证：

SD⊥平面ABC；

（2）若AB＝BC，求证：

BD⊥平面SAC.

证明：

（1）如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．

∴DE∥BC，∴DE⊥AB，

∵SA＝SB，∴SE⊥AB.

又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.

又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.

在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.

又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.

（2）由于AB＝BC，则BD⊥AC，

由

（1）可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，

∴SD⊥BD，

又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.

2.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：

（1）CD⊥AE；

（2）PD⊥平面ABE.

证明：

（1）在四棱锥PABCD中，

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC.

而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由

（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD.

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD.

又∵AB∩AE＝A，

∴PD⊥平面ABE.

面面垂直的判定与性质是高考的重点，主要考查平面与平面垂直的证明，题型为解答题，难度适中，属于中档题.

[典题领悟]

　如图，四棱锥PABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝

2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：

（1）CE∥平面PAD；

（2）平面EFG⊥平面EMN.

[学审题]

①想到线面垂直的判定，可证线面垂直；或想到转化为证与其中一直线的平行线垂直；

②想到平行公理，可转化为一直线与另一直线的平行线平行；

③想到连中点得三角形中位线，可证线线平行；

④要证CE∥平面PAD想到证CE与平面PAD中的一条直线平行，或证CE所在平面与平面PAD平行；

⑤要证平面EFG⊥平面EMN想到证其中一平面内的直线与另一平面垂直．

证明：

（1）法一：

如图，取PA的中点H，连接EH，DH.

因为E为PB的中点，

所以EH∥AB，EH＝AB.

又AB∥CD，CD＝AB，

所以EH∥CD，EH＝CD，

因此四边形DCEH是平行四边形．

所以CE∥DH.

又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，

所以CE∥平面PAD.

法二：

如图，连接CF.

因为F为AB的中点，

所以AF＝AB.

又CD＝AB，所以AF＝CD.

又AF∥CD，

所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD.

又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以CF∥平面PAD.

因为E，F分别为PB，AB的中点，

所以EF∥PA.

又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.

又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.

（2）因为E，F分别为PB，AB的中点，

所以EF∥PA.

又AB⊥PA，所以AB⊥EF.

同理可证AB⊥FG.

又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，

因此AB⊥平面EFG.

又M，N分别为PD，PC的中点，

所以MN∥CD.

又AB∥CD，所以MN∥AB，

所以MN⊥平面EFG.

又MN⊂平面EMN，

所以平面EFG⊥平面EMN.

[解题师说]

1．证明面面垂直的2种方法

（1）定义法：

利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．

（2）定理法：

利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．

2．三种垂直关系的转化

[冲关演练]

（2017·北京高考）如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

（1）求证：

PA⊥BD；

（2）求证：

平面BDE⊥平面PAC；

（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积．

解：

（1）证明：

因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，

所以PA⊥平面ABC.

又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.

（2）证明：

因为AB＝BC，D为AC的中点，

所以BD⊥AC.

由

（1）知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，

所以BD⊥平面PAC.

因为BD⊂平面BDE，

所以平面BDE⊥平面PAC.

（3）因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，

所以PA∥DE.

因为D为AC的中点，

所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.

由

（1）知，PA⊥平面ABC，

所以DE⊥平面ABC.

所以三棱锥EBCD的体积V＝BD·DC·DE＝.

此类问题主要考查折叠前后线线位置关系的变化量和不变量，以此证明空间