二次函数中的面积计算问题教师用.docx
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二次函数中的面积计算问题教师用
专题二次函数中的面积计算问题
[典型例题]
例.如图,二次函数y
x2
bxc图象与x轴交于A,B两点(A在B的左边),与y轴交于点C,顶点为M,
MAB为直角三角形,图象的对称轴为直线x
2,点P是抛物线上位于
A,C两点之间的一个动点,则
PAC的面积的最大值为(
C)
y
27
11
27
C.
C
A.
B.
D.3
4
2
8
二次函数中面积问题常见类型:
一、选择填空中简单应用
A
B
O
x
二、不规则三角形面积运用
S=
M
三、运用
四、运用相似三角形
第10题
五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形
例1.如图1,已知:
正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方
形EFGH的面积为s,AE为x,则s关于x的函数图象大致是
(B)
(D)
图1
例2.解答下列问题:
如图1,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)求△CAB的铅垂高CD及S△CAB;
(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点
P,使S△PAB=
9
S△CAB,若存在,
8
求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
y
C
A
铅垂高
B
h
C
D
B
1
水平宽
a
O1
Ax
图2
思路分析
图1
此题是二次函数中常见的面积问题,方法不唯一,可以用割补法,但有些繁琐,如图2我们可得出一
种计算三角形面积的新方法:
SABC
1ah即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
.掌握这个公式
2
后,思路直接,过程较为简单,计算量相对也少许多,
答案(
)由已知,可设抛物线的解析式为
y
1=a(x-1)
2+
≠
.把
A(3
,
0)
代入解析式求得
a=-1
,
:
1
4(a0)
∴抛物线的解析式为y1=-(x-1)
2+4,即y1=-x
2+2x+3.
设直线AB的解析式为y2=kx+b,
由y=-x2+2x+3求得B点的坐标为(0,3).把A(3,0),B(0,3)代入y
=kx+b,解得
1
2
k=-
1,b=3.
∴直线AB的解析式为y2=-x+3.
(2)∵C(1,4),∴当x=1时,y1=4,y2=2.
∴△CAB的铅垂高CD=4-2=2.
1
S△CAB=×3×2=3(平方单位).
2
(3)解:
存在.
设P点的横坐标为
x,△PAB的铅垂高为h.
y
则h=y1-y2=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x
C
P
由S△PAB
9S△CAB得:
1
×3×(-x2+3x)=9
×3.
=
8
2
8
B
整理得4x
2
3.
D
-12x+9=0,解得x=
2
1
把x
3代入
y1=-
x2+2x+3,得
y1=
15.
=
2
4
O1
A
x
∴P点的坐标为(
3,15
).
图2
24
例3.
(贵州省遵义市)如图,在平面直角坐标系中,
Rt△AOB的顶点坐标分别为
A(0,2),O(0,0),
B(4,0),把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD(点A转到点C的位置),抛物线y=ax
2+bx
+c(a≠0)经过C、D、B三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为
P,求△PAB的面积;
(3)抛物线上是否存在点
M,使△MBC的面积等于△PAB的面积?
若存在,请求出点
M的坐标;若
不存在,请说明理由.
y
5
4
3
A
2
1
B
-3-2-1O
12345x
-1
思路分析:
根据题目所给信息,函数关系式和△PAB的面积很容易求出。
第(3)问是二次函数中常见的动
点问题,由于点M是抛物线上的一个不确定点,点M可以处于不同的位置,是由于点的不确定性
而导致图形的形状发生特征上的变化,故而用分类讨论的思想解决问题。
答案:
(1)由题意知C(-2,0),D(0,4).
∵抛物线经过B(4,0),C(-2,0).∴可设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)
将D(0,4)代入上式,解得a=-1.2
∴该抛物线的解析式为y=-1(x+2)(x-4)
2
即y=-1x2+x+4.2
(2)∵y=-1x2+x+4=-1(x-1)2+9.
222
y
5P
E
4
3
2A
1
B
∴抛物线的顶点P的坐标为(1,9).
-3-2-1O12345x
2
-1
过点P作PE⊥y轴于点E,如图.
则S△PAB=S四边形PEOB-S△AOB-S△PEA
=1×(1+4)×9-1×4×2-1×(9-2)×1=6.
22222
(3)假设存在这样的点M,其坐标为M(x,y).
则S△MBC=1|y|×6=S△PAB=62
即1|y|×6=6,∴y=±2.2
当y=2时,-1
(x-1)2+9
=2,解得x=15
;
2
2
当y=-2时,-1
(x-1)
2+9
=-2,解得x=1
13.
2
2
∴存在点M,使△MBC的面积等于△PAB的面积,其坐标为:
M1(1+5,2),M2(1-5,2),M3(1+13,-2),M4(1-13,-2).
例4.如图,抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1>x2,与y轴交于点C(0,4),其
2
的两个根.
中x1,x2是方程x-2x-8=0
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)点P是线段AB上的动点,过点P作PE∥AC,交BC于点E,连接CP,当△CPE的面积最大
时,求点P的坐标;
(3)探究:
若点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点
Q,使△QBC成为等腰三角形,若存
在,请直接写出所有符合条件的点
Q的坐标;若不存在,请说明理由.
y
C
E
B
OP
Ax
解:
(1)解方程x2-2x-8=0,得x1=-2,x2=4.
∴A(4,0),B(-2,0).∵抛物线与x轴交于A,B两点,∴可设抛物线的解析式为y=
a(x+2)(x-4)(a≠0)
1
又∵抛物线与y轴交于点C(0,4),∴a×2×(-4)=4,∴a=-.
∴抛物线的解析式为
y=-
1
(x+2)(x-4),即y=-
1
2
+x+4
2
2
x
(2)设点P的坐标为(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G,如图.
y
∵A(4,0),B(-2,0),∴AB=6,BP=m+2.
C
∵PE∥AC,∴△BPE∽△BAC.
∴EG=
BP
,∴EG
=m+2,∴EG=2m+4
E
CO
AB
4
6
3
∴S△CPE=S△CBP-S△BPE
=1
2
=1
2
=-
1
BGOP
A
x
BP2CO-BP2EG
2
2m+4
(m+2)(4-)
3
1(m-1)2+3
3
又∵-2≤m≤4,∴当m=1时,S△CPE有最大值3.
此时点P的坐标为(1,0)
(3)存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三角形,点
Q的坐标为:
-
Q1(1,1),Q2(1,11),Q3(1,-11),Q4(1,4+19),Q5(1,419)
设点Q的坐标为(1,n).
y
Q4
∵B(-2,0),C(0,4),∴BC2=(-2)2+42=20.
①当QB=QC时,则QB2=QC2.
2222
即(-2-1)+y=(-1)+(4-y),∴y=1.
∴Q1(1,1)
C
Q2
②当BC=BQ时,则BQ2=BC2.
即(-2-1)2+y2=20,∴y=11.
Q1
-
∴Q2(1,11),Q3(1,11).
BOQ5
Ax
2
2
③当QC=BC时,则QC=BC.
即12+(4-y)2=20,∴y=4
19.
Q3
∴Q4(1,4+19),Q5(1,4-19).
例5.如图1,抛物线
2
为解
y=x-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3).(图2、图3
答备用图)
(1)k=_____________,点A的坐标为_____________,点B的坐标为_____________;
2
(2)设抛物线y=x
-2x+k的顶点为M,求四边形ABMC的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?
若存在,请求出点D的坐标;
若不存在,请说明理由;
2
(4)在抛物线y=x-2x+k上求点Q,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形.
yyy
AOBxAOBxAOBx
CCC
图1
解:
(1)-3,(-1,0),(3,0);
(2)连结OM,如图1.
2
∵y=x-2x+k=(x-1)
图2图3
2
-4
y
∴抛物线的顶点M的坐标为(1,-4).
S四边形ABMC=S△AOC+S△COM+S△MOB
=1×1×3+1×3×1+1×3×4
222
AOBx
C
M
=9
图1
说明:
也可过点
M作抛物线的对称轴,将四边形
ABMC的面积转化为求
一个梯形与两个直角三角形面积的和.
y
2
(3)设D(m,m-2m-3),连结OD,如图2.
则0<m<3,m2
2m3<0.
--
S四边形ABDC=S△AOC+S△COD+S△DOB
A
OBx
(m-2m
-3)]
=-3
m+9
m+6
C
=1×1×3+1×3
×m+1×3×[-
2
2
2
2
2
2
2
D
=-
3
(m-
3
2
75
.
2
2
)+
8
图
当m=3时,四边形ABDC的面积最大.
Q1
y
2
3
3
15
E
2
2
-3=-
.
此时m-2m-3=(
2
)-2×
2
4
∴存在点D(
3
,-
15
),使四边形ABDC的面积最大.
AO
2
4
(4)有两种情况:
C
如图3,过点B作BQ1⊥BC,交抛物线于点
Q1、交y轴于点E,连接Q1C.
图
∵在Rt△COB中,OB=OC=3,∴∠CBO=45°,∴∠EBO=45°,OB=OE=3.
∴点E的坐标为(0,3).
∴直线BE的解析式为y=-x+3.
2
3,解得
x1
=-2
x2=3
令-x+3=x-2x-
,
y2=0
y1=5
2
Bx
3
∴点Q1的坐标为(-2,5).
y
如图4,过点C作CF⊥CB,交抛物线于点Q2、交x轴于点F,连接BQ2.
∵∠CBO=45°,∴∠CFB=45°,∴OF=OC=3.
∴点F的坐标为(-3,0).
F
AOBx
∴直线CF的解析式为y=-x-3.
C
令
x
3=x2
2x3,解得
x1=1
,x2=0
Q2
--
-
-
y1=-4
y2=-3
图4
∴点Q2的坐标为(1,-4).
2
综上所述,在抛物线y=x-2x-3上,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形的点Q有两个,分别是:
Q1(-2,5)和Q2(1,-4).
[精选练习]
1.如图,AB为半圆的直径,点P为AB上一动点,动点P从点A出发,沿AB匀速运动到点B,运动时间为
t,分别以AP于PB为直径做半圆,则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为()
2.如图,已知A、B是反比例函数y
k
(k>0,x<0)图象上
x
∥x轴,交y轴于点C。
动点P从坐标原点O出发,沿O→A
中“→”所示路线)匀速运动,终点为
C。
过P作PM⊥x轴,
足分别为M、N。
设四边形OMPN的面积为S,P点运动时间
于t的函数图象大致为
S
S
S
S
y
的两点,BC
C
B
→B→C(图
A
PN⊥y轴,垂
N
为t,则S关
P
O
M
x
(第2题图)
OtOtOtOt
A.B.C.D.
3.如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,
设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是
B
A
D
C
(第3题)
4.如图,两条抛物线y1=-1χ2+1、y2=1χ2-1与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行
22
线围成的阴影部分的面积为
5.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在
(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?
若存在,求出点C的坐标;
若不存在,请说明理由.
(4)如果点P是
(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?
若有,
求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.
y
B
AOx
2
6.如图,抛物线y=-x+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线交
y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点
Q,使得△QAC的周长最
小?
若存在,求出点
Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在
(1)中的抛物线上的第二象限内是否存在一点
P,使△PBC的面积最大?
,若存在,求出点P
的坐标及△PBC的面积最大值;若不存在,请说明理由.
y
C
BA
O
x
7.如图,已知抛物线y=ax2+bx-4与直线y=x交于点A、B两点,A、B的横坐标分别为-1和4.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)若平行于y轴的直线x=m(0<m<5+1)与抛物线交于点点P,求线段MN的长(用含m的代数式表示).
(3)在
(2)的条件下,连接OM、BM,是否存在m的值,使得△
m的值,若不存在,请说明理由.
M,与直线y=x交于点N,交x轴于
BOM的面积S最大?
若存在,请求出
y
x=my=x
B
N
OP
A
x
M
8.已知二次函数
y=x
2+ax+a-2.
(1)求证:
不论
a为何实数,此函数图象与
x轴总有两个交点;
(2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时,求出此二次函数的解析式;
(3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点
P,使得△PAB的面积为
313?
2
若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
9.已知:
t1,t2是方程t2+2t-24=0,的两个实数根,且
t1<t2,抛物线y=2
x
2+bx+c的图象经过点A
3
(t1,0),B(0,t2).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是抛物线上一动点,且位于第三象限,四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形,
求□OPAQ的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量
x的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,当□OPAQ的面积为
24时,是否存在这样的点
P,使□OPAQ为正方形?
若存在