高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1.docx

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高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1

——教学资料参考参考范本——

高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1

______年______月______日

____________________部门

[读教材·填要点]

1．反证法

首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件（或已证明过的定理，或明显成立的事实）矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法．

2．放缩法

在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大（或缩小）使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．

[小问题·大思维]

1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？

提示：

用反证法证明不等式要把握三点：

（1）必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．

（2）反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．

（3）推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．

2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？

提示：

运用放缩法证明不等式的关键是放大（或缩小）要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．

用反证法证明否定性结论

[例1]　设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：

4a（1－b），4b（1－c），4c（1－d），4d（1－a）这四个数不可能都大于1.

[思路点拨]　本题考查反证法的应用．解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．

[精解详析]　假设4a（1－b）＞1,4b（1－c）＞1,4c（1－d）＞1，4d（1－a）＞1，则有

a（1－b）＞，b（1－c）＞，

c（1－d）＞，d（1－a）＞.

∴＞，＞，

＞，＞.

又∵≤，≤，

≤，≤，

∴＞，＞，

＞，＞.

将上面各式相加得2＞2，矛盾．

∴4a（1－b），4b（1－c），4c（1－d），4d（1－a）这四个数不可能都大于1.

（1）当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．

（2）用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．

解：

（1）当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.

又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，

两式相减得an＋1＝an，

所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，

所以an＝.

（2）反证法：

假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1（p

则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①

又因为p

所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证.

用反证法证明“至多”、“至少”型命题

[例2]　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：

a，b，c中至少有一个大于0.

[思路点拨]　由于问题是“至少型”命题，故可用反证法证明．

[精解详析]　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，

而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3

∴π－3>0，且（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）≥0

∴a＋b＋c>0这与a＋b＋c≤0矛盾．

因此，a，b，c中至少有一个大于0.

（1）在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明．在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾．

（2）在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．

2．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：

a，b，c，d中至少有一个是负数．

证明：

假设a，b，c，d都是非负数，

即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，

则1＝（a＋b）（c＋d）＝（ac＋bd）＋（ad＋bc）≥ac＋bd.

这与已知中ac＋bd>1矛盾，

∴原假设错误，

故a，b，c，d中至少有一个是负数.

用放缩法证明不等式

[例3]　求证：

－＜1＋＋…＋＜2－（n∈N*且n≥2）．

[思路点拨]　本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．

[精解详析]　∵k（k＋1）＞k2＞k（k－1），

∴＜＜.

即－＜＜－（k∈N＋且k≥2）．

分别令k＝2,3，…，n得

－＜＜1－，－＜＜－，

…

－＜＜－，将这些不等式相加得

－＋－＋…＋－＜＋＋…＋＜1－＋－＋…＋－，

即－＜＋＋…＋＜1－.

∴1＋－＜1＋＋＋…＋＜1＋1－.

即－＜1＋＋＋…＋＜2－（n∈N＋且n≥2）成立．

（1）放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a>b，可换成证a>c且c>b，欲证a

（2）放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：

舍去或加上一些项：

2＋＞2；

将分子或分母放大（缩小）：

＜，＞

，＜，＞（k∈R，k＞1）等．

3．设n是正整数，求证：

≤＋＋…＋<1.

证明：

由2n≥n＋k≥n（k＝1,2…，n），得≤<.

当k＝1时，≤<；

当k＝2时，≤<；

…

当k＝n时，≤<，

∴＝≤＋＋…＋<＝1.

[对应学生用书P23]

一、选择题

1．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为（　　）

A．a、b、c都是奇数

B．a、b、c都是偶数

C．a、b、c中至少有两个偶数

D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数

解析：

三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．

答案：

D

2．设M＝＋＋＋…＋，则（　　）

A．M＝1　　　　　　B．M<1

C．M>1D．M与1大小关系不定

解析：

∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210，

∴M＝＋＋＋…＋

<＝1.

答案：

B

3．设a，b，c∈（－∞，0），则三数a＋，b＋，c＋的值（　　）

A．都不大于－2

B．都不小于－2

C．至少有一个不大于－2

D．至少有一个不小于－2

解析：

假设都大于－2，

则a＋＋b＋＋c＋＞－6，∵a，b，c＜0，

∴a＋≤－2，b＋≤－2，c＋≤－2，

∴a＋＋b＋＋c＋≤－6，这与假设矛盾，则选C.

答案：

C

4．已知p＝a＋，q＝－a2＋4a（a>2），则（　　）

A．p>qB．p

C．p≥qD．p≤q

解析：

∵p＝（a－2）＋＋2，又a－2>0，

∴p≥2＋2＝4，而q＝－（a－2）2＋4，

由a>2，可得q<4，∴p>q.

答案：

A

二、填空题

5．给出下列两种说法：

①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以上两种说法正确的是________．

解析：

反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q>2，所以①错误；对于②，其假设正确．

答案：

②

6．用反证法证明“已知平面上有n（n≥3）个点，其中任意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n条”时，假设的内容为________．

解析：

对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n＋1条”．

答案：

直径的数目至少为n＋1条

7．A＝1＋＋＋…＋与（n∈N＋）的大小关系是________．

解析：

A＝＋＋＋…＋≥＝＝.

答案：

A≥

8．设a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系是________．

解析：

∵a>0，b>0，

∴N＝＋>＋

＝＝M.

∴M

答案：

M

三、解答题

9．已知0

x（2－y），y（2－z），z（2－x）不都大于1.

证明：

法一：

假设x（2－y）>1且y（2－z）>1且z（2－x）>1均成立，

则三式相乘有：

xyz（2－x）（2－y）（2－z）>1.①

由于0

∴0＜x（2－x）＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1≤1.

同理：

0＜y（2－y）≤1，且0＜z（2－z）≤1，

∴三式相乘得：

0

②与①矛盾，故假设不成立．

∴x（2－y），y（2－z），z（2－x）不都大于1.

法二：

假设x（2－y）＞1且y（2－z）＞1且z（2－x）＞1.

∴＋＋＞3.③

又＋＋

≤＋＋＝3④

④与③矛盾，故假设不成立，

∴原题设结论成立．

10．已知实数x、y、z不全为零，求证：

＋＋>（x＋y＋z）．

证明：

＝≥

＝|x＋|≥x＋.

同理可得：

≥y＋，

≥z＋.

由于x、y、z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：

＋＋>＋＋＝（x＋y＋z）．

11．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n（n－1）．

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）设数列的前n项和为Tn，

求证：

≤Tn<.

解：

（1）由Sn＝nan－2n（n－1）得

an＋1＝Sn＋1－Sn＝（n＋1）an＋1－nan－4n，

即an＋1－an＝4.

∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列，

∴an＝4n－3.

（2）证明：

Tn＝＋＋…＋

＝＋＋＋…＋

＝

＝<.

又易知Tn单调递增，故Tn≥T1＝，

得≤Tn<.