第十一章全等三角形.docx

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第十一章全等三角形

八年级数学教学计划

水观镇中

本人在2011年秋季担任八年级2班的数学课。

为使该班的数学教学合乎学校实验班的规划，特制定以下教学计划。

一、指导思想

坚持“三个代表”重要思想和科学发展观，积极贯彻执行区教育局和学校提出的具体目标要求,全面贯彻落实教育方针，以人为本，以着眼于学生的终身发展为目标，全面深入贯彻落实素质教育，构建高效课堂。

规范“自成教育”体系，配合学校做好“数字校园”和“人民满意学校”办学，积极深入探索“双思三环六步”课堂教学模式和“分组合作”学习方式，关爱学生，平等对待学生，放眼于学生终身能力培养，把学生培养成适应未来社会发展的有用的栋梁之材。

通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，合作探究能力，以及分析问题和解决问题的能力。

二、教材分析

 本学期的教学内容共计五章：

第十一章  全等三角形，主要介绍了三角形全等的性质和判定方法及直角三角形全等的特殊条件。

更多的注重学生推理意识的建立和对推理过程的理解，学生在直观认识和简单说明理由的基础上，从几个基本事实出发，比较严格地证明全等三角形的一些性质，探索三角形全等的条件。

第十二章  轴对称，立足于已有的生活经验和初步的数学活动经历，从观察生活中的轴对称现象开始，从整体的角度直观认识并概括出轴对称的特征；通过逐步分析角、线段、等腰三角形等简单的轴对称图形，引入等腰三角形的性质和判定的概念。

第十三章实数，从平方根于立方根说起，学习有关实数的有关知识，并以这些知识解决一些实际问题。

第十四章  一次函数，通过对变量的考察，体会函数的概念，并进一步研究其中最为简单的一种函数——一次函数。

了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。

在教材中，通过体现“问题情境——建立数学模型——概念、规律、应用与拓展”的模式，让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，并进行探索一次函数及其图象的性质，最后利用一次函数及其图象解决有关现实问题；同时在教学顺序上，将正比例函数纳入一次函数的研究中去。

第十五章 因式分解，教材通过实例引出本章学习主要内容：

合并同类项，去括号，添括号法则，整式的加减乘除运算和因式分解。

教材还提供了“阅读与思考”、“观察与猜想”、“数学活动”等板块，丰富学生学习内容。

三、进一步落实“自成教育”

自信成功，自学成才，自立成人。

基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。

培养激发学生兴趣，保护自尊，帮助学生建立自信，树立克服困难的勇气和信心。

在上学期基础上，进一步加强数学知识能力学习；数学思维创新能力培养。

结合教学，发展学生合情推理和演绎推理能力，提高分析问题解决问题能力；学习习惯上进一步培养良好的行为习惯。

独立思考，及时总结，纠错改错，提前预习，合作交流，探究学习等习惯，应得到进一步强化。

遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

面向全体学生，实现：

人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。

使学生通过学习数学得到成功的体验。

1、学生自学，写出自学提纲。

2、教师引导学生解决疑难。

3、学生自选习题解答。

4、小组讨论习题的解答方案，并比较。

5、老师收齐学生作业批阅，学生做自我反思。

四、教学目标落实

通过三维目标（知识与技能目标、过程与方法（数学思考与解决问题）目标、情感与态度目标）的落实最终实现能力的培养。

认真落实“双思三环六步”教学模式。

钻研教材，突破重点、难点，抓住关键，深入了解学生，激发学生积极性，因人而宜，制定课堂上有效的辅导、教学方案，使课堂教学更生动有趣，使学生参与到数学活动中来。

五、教学常规落实

严格遵守学校的各项规章制度，不迟到早退，积极参加各项活动及学习，团结协作。

精心备课，备教材备学生，密切生活实际和学生实际，整合教学资源，运用好多媒体教学，利用一切可以利用的有利因素，为教学服务。

上好每一节课，根据学生实际合理利用教学资源，上好每一节课。

布置作业做到有的放矢，有针对性，有层次性。

认真批改作业。

同时对学生的作业批改及时、有效，分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题作出及时反馈，针对作业中的问题确定个别辅导的学生，并对他们进行及时的指导.积极做好学困生转化工作。

对学习过程中有困难的学生，及时给予帮助，帮助他们找到应对措施，帮助他们渡过难关。

六、积极参与教研活动

深入探究“合作分组教学”。

做教学的组织者，学生的引导者，教学相长。

认真研读新课程标准，钻研新教材，扩充整合教材内容，发挥每个学生的作用，调动积极性，搞好学生互相评价，共同提高。

积极参与学校组织的数学教研活动，认真听课评课，提高认识，日益提高教学水平。

日常教学中，共同探讨教学中遇到的问题，协作进步，共同提高。

适应新时期教学工作的要求，各方面严格要求自己，认真钻研新课标理念，改进教法，坚持做好业务学习笔记，和教后反思，搞好课题研究。

七、深入业务学习

进一步探索新的课堂教学模式。

认真学习业务理论，并做好一周一次的业务笔记，提高自己的理论水平，丰富自己的业务知识；积极参加一切课题研究活动，敢想敢干，敢于创新，不怕失败。

在学习策略上及时指导学生，培养思维，方法技巧，提升能力。

及时对教学活动作出反思，每周写出一至两个教学反思，真正体会自己的优缺点，做到有的放矢，进一步提高自己。

充分备好每个教案，做到备学生，备教材，每周及时上传四个教案和四个课时作业。

发挥多媒体教学优势，积极利用和制作课件，提高自己电化教学能力。

第十一章全等三角形

11．1全等三角形

一、教学目标：

1、了解全等形及全等三角形的的概念；

2、理解全等三角形的性质

3、在图形变换及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，

4、学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣。

二、教学重点：

探究全等三角形的性质

教学难点：

掌握两个全等三角形的对应边，对应角

三、教学过程：

1、阅读P2，认识全等形。

思考：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用

表示，读作“全等于”

2、全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

3、例举：

如图，

AB与AC，AD与AE是对应边，已知：

，求

的大小。

四、作业：

P4—1，2，3

五、板书设计（略）

六、课后小记

课题：

11．2三角形全等的条件

（1）

一、教学目标

①、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

②、掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性．

③、通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．

二、教学难点：

全等的判定

三、教学过程：

1、复习过程，引入新知

多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：

全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．

2、创设情境，提出问题

根据上面的结论，提出问题：

两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?

如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?

组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．

3、建立模型，探索发现

出示探究1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?

让学生按照下面给出的条件作出三角形．

（1）三角形的两个角分别是30°、50°．

（2）三角形的两条边分别是4cm，6cm．

（3）三角形的一个角为30°，—条边为3cm．

再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：

只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．

出示探究2，先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论：

三边对应相等的两个三角形全等．

4、应用新知，体验成功

实物演示：

由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．鼓励学生举出生活中的实例．

给出例l，如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．

让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．

例2如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：

①以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；

②分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D；

③画射线AD．

AD就是∠BAC的平分线．你能说明该画法正确的理由吗?

例3、如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?

你有几种方法?

你能证明你的方法吗?

试一试．

5、巩固练习

教科书第8页的练习．

6、反思小结：

回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．

四、布置作业

1．必做题：

教科书第15页习题11．2中的第1、2题．

2．选做题：

教科书第15页第4题．

五、课后小记

课题：

11.2三角形全等的条件

（2）

一、教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力．

②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．

③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．

二、教学难点

1、指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．

2、知识重点应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等．

三、教学过程（师生活动）

1、创设情境，引入课题

多媒体出示探究3：

已知任意△ABC，画△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A．

教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△A'B'C'，剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．

2、交流对话，探求新知

根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．（SAS）

补充强调：

角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边．

3、应用新知，体验成功

出示例2，如图，有—池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?

让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据．

（若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：

要想证AB＝DE，

只需证△ABC≌△DEC

△ABC与△DEC全等的条件现有……还需要……）

明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．

补充例题：

1）已知：

如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE

求证：

△ABD≌△ACE

证明:

∵∠BAC=∠DAE（已知）

∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD

∴∠BAD=∠CAE

在△ABD与△ACE

AB=AC（已知）

∠BAD=∠CAE（已证）

AD=AE（已知）

∴△ABD≌△ACE（SAS）

2）继续求证：

1.BD=CE2.∠B=∠C3.∠ADB=∠AEC

变式1：

已知：

如图，AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.

求证：

⑴△DAC≌△EAB

1、BE=DC

2、∠B=∠C

3、∠D=∠E

4、BE⊥CD

4、再次探究，释解疑惑

出示探究4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?

为什么?

让学生模仿前面的探究方法，得出结论：

两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．

5、巩固练习：

教科书第13页，练习

（1）

（2）．

6、小结提高

1．判定三角形全等的方法；

2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?

让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构．

7、布置作业

四、课后小记

课题：

11.2三角形全等的条件（3）

一、教学目标

①、探索并掌握两个直角三角形全等的条件：

HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等．

②、经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．

③、提高应用数学的意识．

二、教学重点：

理解，掌握三角形全等的条件：

HL．

三、教学过程:

提问：

1、判定两个三角形全等方法有：

，，，。

创设情境：

（显示图片），舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.

（1）你能帮他想个办法吗？

方法一：

测量斜边和一个对应的锐角.（AAS）

方法二：

测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.（ASA）或（AAS）

（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？

下面让我们一起来验证这个结论。

2、新课：

已知线段a、c（a﹤c）和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=∠α，CB=a，AB=c.

想一想，怎样画呢？

按照下面的步骤做一做：

⑴作∠MCN=∠α=90°;

⑵在射线CM上截取线段CB=a

⑶以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;

⑷连接AB.

小结：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

简写成“斜边、直角边”或“HL”.

想一想

你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？

直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:

SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.

3、作业：

14页1、2。

四、课后小记

11．3．1角的平分线的性质

（一）

一、教学目标

（一）教学知识点：

角平分线的画法．

（二）能力训练要求

1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．

2．会用尺规作一个已知角的平分线．

（三）情感与价值观要求

在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．

二、教学重点

利用尺规作已知角的平分线．

教学难点

角的平分线的作图方法的提炼．

三、教学方法

讲练结合法．

四、教具准备

多媒体课件（或投影）．

五、教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

问题1：

三角形中有哪些重要线段．

问题2：

你能作出这些线段吗？

三角形中有三条重要线段，它们分别是：

三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．

过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的连线就是这个三角形的高．

取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线．

用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线．

三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的．

Ⅱ．导入新课

[问题]我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：

在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．

求证：

∠MOC=∠NOC．

通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．

受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．

议一议：

下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

教师活动：

播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法．

学生活动：

观看多媒体课件，讨论操作原理．

通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．

（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）

讨论结果展示：

作已知角的平分线的方法：

已知：

∠AOB．

求作：

∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求．

（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．

议一议：

1．在上面作法的第二步中，去掉“大于

MN的长”这个条件行吗？

2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）

学生讨论结果总结：

1．去掉“大于

MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．

2．若分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．

3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．

4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

练一练：

任意画一角∠AOB，作它的平分线．

Ⅲ．随堂练习

课本P106练习．

练后总结：

平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB也垂直．

Ⅳ．课时小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法．

Ⅴ．课后作业

1．课本P108习题13．2─1、2．

2．预习课本P106～107内容．

教学反思

11．3．2角的平分线的性质

（二）

教学目标

（一）教学知识点

角的平分线的性质

（二）能力训练要求

1．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．

2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．

（三）情感与价值观要求

通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．

教学重点

角平分线的性质及其应用．

教学难点

灵活应用两个性质解决问题．

教学方法

探索、归纳的方法．

教具准备

剪刀、折纸、投影片．

教学过程

Ⅰ．创设情境，引入新课

[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？

把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？

[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．

[师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．

Ⅱ．导入新课

角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．

操作：

1．折出如怕9所示的折痕。

2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．

画一画：

按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？

拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．

[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．

[生甲]噢，对于，我知道了．

[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．

问题1：

你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？

[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．

问题2：

（出示投影片）

能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：

学生通过讨论作出下列概括：

已知事项：

OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．

由已知事项推出的事项：

PD=PE．

于是我们得角的平分线的性质：

在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？

（出示投影）

问题3：

根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．

由已知推出的事项：

点P在∠AOB的平分线上．

[师]这样的话，我们又可以得到一个性质：

到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？

[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．

[师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”．

下面请同学们思考一个问题．

思考：

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：

20000）？

1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？

用哪一个性质可以解决这个问题？

2．比例尺为1：

20000是什么意思？

（学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导）

讨论结果展示：

1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．

2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：

20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思．作图如下

第一步：

尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．

第二步：

在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．

总结：

应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．

[例]如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．

求证：

点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要