极坐标摆线.docx

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极坐标摆线

設滾動圓的半徑為a，固定圓的半徑為ka，其中k是比1大的一個固定數。

又設固定圓的圓心是原點O，而滾動圓上的定點在出發時的位置是A（ka,0）。

設滾動圓到達某個位置時，其圓心為J、與固定圓的切點為I，而滾動圓上的定點移動到P（x,y）。

設以

為始邊、

為終邊的有向角為t弧度，我們以t為參數（見圖九）。

圖九

因為弧IP與弧IA的長度相等，所以，有向角

是kt弧度。

過P與J分別作水平直線與鉛垂直線，則可就t的值所屬的各種範圍分別討論（例如：

圖九是

的情形），而得

這就是內擺線的參數方程式。

若將上述情形中的定點換成與滾動圓的圓心相距為d，且在出發時的坐標為（（k-1）a+d,0），則此定點在

滾動過程中，所描繪曲線的參數方程式為

第二，若將圖九中的滾動圓改成與固定圓外切，則仿照上面的處理方式，即可得外擺線的參數方程式為

其中k表示固定圓與滾動圓的半徑之比，

。

同理，將定點改成與滾動圓圓心的距離為d，且在出發時的坐標為[（k+1）a-d,0]，則可得外次擺線的參數方程式為

上述四組參數方程式可合併成下述形式：

其中

或-1，而

、

且

。

當

，上述參數方程式，依d=a或

分別表示內擺線或內次擺線；當

時，上述參數方程式，依d=a或

分別表示外擺線或外次擺線。

在圖二中，設A點是滾動圓上的定點在出發時的位置。

我們選取一個坐標系，使得A點為原點而且滾動圓在x軸上向右滾動。

假設動圓滾動到某位置時，圓心為O，O點至x軸的垂足為I，圓上的定點的位置為P（x,y），以

為始邊，

為終邊的有向角為t弧度，P點至直線OI的垂足為M。

又設滾動圓的半徑為a。

因為滾動圓上的定點已由A點移動到P點，而滾動圓與x軸的切點已由A點轉移到I點，所以，滾動圓上的弧PI滾過線段

，亦即：

=弧PI的長=at。

於是，可得

上面的表示法就是擺線的參數方程式。

請注意：

當

時，

；當

時，

。

不過，

與

兩式卻對所有t值都成立。

我們乃至可讓參數t代表任意實數，如此，擺線成為可向兩邊無限延伸的週期曲線。

x坐標每經歷一段長度為

的區間，圖形就恢復原狀。

擺線與底線相交的點都是尖點（cusp）。

當參數t由0增至

時，擺線就是圖二中由A至C至B的部份，其中

，這一部份圖形稱為擺線的一拱（arch）。

同理，t由2π至4π、由4π至6π、……等所對應的圖形也都是一拱。

仿照前面的方式，我們也可求次擺線的參數方程式。

假設必然點與滾動圓的圓心的距離為d，底線是x軸，出發時定點的坐標為（0,a-d），其中d是滾動圓的半徑。

當動圓滾到圖二所示的位置時，定點的位置在

上且與O點的距離為d。

由此可知其參數方程式為

習題：

試根據上面參數方程式，說明長擺線（d>a）為什麼會與本身相交而形成迴圈（見圖一的下圖）。

在圖二中，當圓向前滾動時，P點描繪出擺線，那麼P點在直線OI上的垂足M點會描繪出什麼圖形呢？

1634年，GillesPersonedeRoberval（1602～1675年，法國人）考慮這條曲線，而利用它求出擺線的一拱與其底線間的面積。

所以，後世將這條曲線稱為Roberval曲線。

圖二中的虛線，就是Roberval曲線在擺線一拱內的部份，根據前一小節所討論的結果，不難發現Roberval曲線的方程式為

。

在圖二中，

的中點是

，而當

時，Roberval曲線上的點

對

的對稱點是

。

因為此對稱點也在Roberval曲線上，所以，Robertval曲線在A與C間的部份對於點

成對稱。

（圖二中的M與N就是一對對稱點。

）由此可知：

在以

與

為鄰邊的矩形中，Roberval曲線將此矩形分成面積相等的兩個區域。

更進一步可得：

Roberval曲線與AB所圍區域的面積，等於以

與

為鄰邊的矩形面積的一半，此值等於

。

第二，我們討論擺線與Roberval曲線間的區域面積。

此區域在C點的左、右兩側的面積顯然相等，所以，我們只須討論此區域左側部份的面積。

圖二中以

為直徑的半圓，乃是滾動圓在出發時的左半部份，直線PM被此半圓截出一線段

。

因為兩圓大小相等，而直線PM與兩圓圓心等距離，所以，

=

。

因為每一條水平直線在兩區域上所截出的線段都等長，所以，依據BonaventuraCavalieri（1598～1647年，義大利人）在1629年所提出的Cavalieri原理，這兩個區域的面積相等。

因此，擺線與Roberbval曲線所圍的區域（左、右兩部份）與滾動圓面積相等，此值等於

。

綜合前兩段的結果，可知擺線的一拱與其底線間的面積，等於滾動圓面積的三倍，亦即：

。

圖二

附帶一提：

Cavalieri所提的原理，中國數學家祖沖之在西元五世紀就已用來計算球體的體積。

習題：

試仿照本小節的方式，證明次擺線

的一拱與直線y=a-d所圍區域的面積為：

。

習題：

試利用定積分計算上述所提的面積。

若曲線C的所有法線都是某一曲線E的切線，則曲線E稱為曲線C的「漸屈線」（evolute）。

要討論曲線C的漸屈線，自然需要先討論曲線C的法線，但因法線是切線的垂直線，所以，我們需要先討論曲線C的切線。

擺線的切線如何求呢？

我們明白當一動點P繞一固定點I旋轉時，P點的軌跡是一圓弧，此圓弧在P點的切線就是過P點而與

垂直的直線。

當一滾動圓在一直線上作不滑的滾動時，我們沒有一個可做為旋轉中心的固定點，可是，在滾動過程中，滾動圓與底線在每個時刻都有一個切點，這個切點就是該時刻的瞬間旋轉中心。

若在某個時刻的瞬間旋轉中心是I，而圓上某定點在此時刻已移動到P點，則此定點所描繪的擺線在P點的切線，就是過P點而與

垂直的直線PJ，其中J是滾動圓過I的直徑的另一端點，直線PI則是此擺線過P點的法線。

在直線

上選取一點P'，使I點成為

的中點。

若P點的坐標是（

），則因為I點的坐標是（as,0），所以，P'點的坐標是（

）。

當P點描繪出擺線時，所有對應的P'點描繪出什麼圖形呢？

觀察A與P'的相關位置，不難發現它們的位置關係，與擺線上的C點與參數是

的Q點位置關係相同，因為C的坐標是（

），而Q點的坐標是（

）。

換言之，當P點描繪圖三中的擺線弧APC時，對應的P'點就會描繪出與擺線CQB全等的弧AP'A。

事實上，弧AP'A'乃是將弧CQB平移而得的（左移

單位、下移2a單位）。

同理，當P點描繪出擺線弧CQB時，對應的P'點就會描繪出弧A'Q'B，此弧乃是將擺線的下一拱的左半部份作同樣平移而得的。

因此，對整個擺線而言，當P點描繪出整個擺線時，對應的P'點會描繪出一個全等的擺線。

若前者的參數方程式是

，則後者的參數方程式為

，後者乃是將前者先向左平移

單位，再向下平移2a單位而得的。

我們將說明後者是前者的漸屈線。

因為P'點的軌跡是一個全等的擺線，所以它必是當一個半徑為a的圓在直線y=-2a上滾動時，由圓周上某定點描繪而成的。

因為P點與P'點對I點對稱，所以當兩個滾動圓在I點相切時，上滾動圓通過P點而下滾動圓通過P'點。

此時，P'點的瞬間旋轉中心是直線P'I'與直線y=-2a的交點I'。

於是，直線P'I'是第二個擺線在P'點的法線，直線P'IP是第二擺線在P'點的切線。

由此可知：

原擺線的每條法線PI都與第二擺線相切。

換言之，第二擺線是原擺線的漸屈線。

曲線的漸屈線在弧長方面有一個重要性質，這個性質對擺線的討論特別有效，我們先介紹這項性質。

此性質的證明只需利用微積分的方式即可。

設曲線E是曲線C的漸屈線，P與Q是曲線C上兩點，曲線C過P、Q的法線分別與漸屈線E相切於P'、Q'，則在漸屈線E上，弧P'Q'的長等於

與

兩線段長的差。

在圖四中，

比

小，所以，P'Q'弧的長等於

。

這個性質能够作下面的幾何解說：

假設有一條線纏繞在漸屈線E上，現在將一端點拉緊在P點，此時，在P'往Q'的部份，線仍然纏在漸屈線上，但在P'往P的部份，則已經拉直成線段。

接著，將線繼續拉緊解開，纏在P'Q'弧上的線逐漸被拉成線段，此時，因為有前面所提的性質，所以，在將線拉緊解開的過程中，線的端點一定沿著曲線C由P點移向Q'點。

以擺線為例，在圖三中的漸屈線弧AP'A'中，不論P'點的位置在弧上何處，AP'A'弧的長度都是等於P'A'弧的長加上線段

的長。

將P'趨近A'，則P趨近C。

因此，擺線弧AP'A'的長等於線段

的長，此值為4a。

因為擺線弧AP'A'與擺線弧CQB全等，其長是擺線一拱ACB的一半，所以，可知：

若滾動圓的半徑為a，則擺線一拱的長度為8a。

圖三

同理，在圖三中，PC弧的長等於Q'B弧的長，此值等於線段

的長，也等於前的兩倍。

因此，若P點的坐標是（

），則因為J的坐標是（as,2a），所以，PC弧的長等於

。

於是，AP弧的長為

。

習題：

試利用微積分方式證明上述有關擺線的弧長公式。

在力學上，擺線具有很重要的性質，我們第一介紹它的等時性質（tautochroneproperty）。

將擺線的一拱倒轉，亦即：

對其底線作鏡射，則此段擺線的最高點C變成最低點，見圖三與五。

此時，若一質點從此段擺線上任意點出發，在重力作用下沿擺線向下滑，則此質點到達最低點C所需的時間與出發點的位置無關，亦即：

從任意兩相異點出發，它們到達C點的時間相同。

這就是擺線的等時性質。

圖五是由擺線的一拱及其漸屈線等倒置而成，若我們以一條長為擺線一拱長之半的線繫住一個擺錘，另一端固定在漸屈線弧AA'B的中點A'。

當擺錘擺動時，線的上端纏在漸屈線上，而下端有一段拉直。

由於線長等於擺線一拱長的一半，根據前小節的說明，擺錘擺動的路線就是圖五中的擺線孤。

前段所提的等時性，則是表示：

不論振幅為何，其週期是個定值，此定值等於

，其中a是擺線的滾動圓的半徑，g是重力加速度。

前段所提的設置，稱為擺線鐘（cycloidalpendulum），這是ChristiaanHuygens（1629～1695年，荷蘭人）在1673年所發明的，它是其有真正等時性的鐘擺。

要證明前面所提的等時性質，必須利用一些物理與微積分知識，讓我們略作說明如下：

設倒置的擺線的參數方程式為

，質點下滑的出發點P所對應的參數為

。

（我們將參數t換成θ，以避免誤以為它就是時間。

）當質點下滑到參數為θ的點時，根據能量守恆定律，質點喪失的位能轉變成動能，所以質點在該處的瞬時速度為

。

圖四

另一方面，弧長s的微分為

於是，質點滑落到最低點C（見圖五）所需的時間為

此值等於

，與

無關，而擺線鐘的週期則是此值的四倍。

前段證明的細節留給有興趣的讀者自行補足。

圖五

擺線在力學上的另一項重要性質，乃是最速降性質（brachistochroneproperty），我們說明如下。

若一質點在重力作用下，由P點沿著某曲線滑落到較低的Q點，設P與Q不在同一鉛垂直線上，則當滑行的曲線是以P為尖點的一段倒轉的擺線弧時，質點由P點滑落到Q點所需的時間為最短。

這就是擺線的最速降性質。

設P與Q的坐標分別是P（x1,y1）與Q（x2,y2），x1y2，而y=f（x）是滿足f（x1）=y1與f（x2）=y2的一個函數，仿照前小節的方式，可知一質點沿著曲線y=f（x）由P點落到Q點所需的時間為

在所有此種函數y=f（x）中，那一個函數能使上述定積分的值最小，這個問題乃是「一個以函數（或曲線）為變數的極值問題」。

研究這類問題的方式稱為「變分法」（calculusofvariation）。

它與微積分中討論極值的方式不相同，而且也困難得多。

探討最速降曲線的問題，乃是變分學的先驅問題之一，一般的變分學書籍都會談到這個例子。

在最速降曲線問題中，有一個問題必須交待，那就是：

對任意二點P（x1,y1）與Q（x2,y2），x1y2，有多少擺線以P為一尖點而又通過Q呢？

答案是：

恰有一條。

這條擺線是這樣來的。

第一，利用微積分或其他方式能够證明：

恰有一個

滿足下式：

然後，令

，則擺線

通過P與Q，而且P是一個尖點。

給了P、Q兩點，我們怎麼作出這樣的擺線呢？

任取一圓，使它與過P的水平直線切於P點且圓在水平直線下方。

讓圓在水平直線下滾動，設定點P的軌跡與直線PQ交於Q'點。

另取一圓，其半徑與前一圓的半徑之比為

，則將後一圓在過P的水平直線下滾動時，定點P所描繪的軌跡，就是以P為一尖點且通過Q的擺線。

前段所提的作法，事實上與擺線的一項性質有關。

若兩擺線的底線重合，且有一尖點重合，則其中任一擺線都可由另一擺線以重合尖點為中心，放大或縮小而得。

換言之，任意二擺線部是相似的曲線。