完整版届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学理试题.docx
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完整版届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学理试题
江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考
理科数学试卷
主命题：
新余四中黄良友辅命题：
鹰潭一中熊冬辉临川二中王晶
第I卷（选择题：
共60分）
1、选择题：
（每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意）
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（）
A． B．2 C．1 D．
3．已知定义在上的奇函数满足：
当时，，则（）
A．B．C．D．
4．设等差数列的前项和为，若，，则（）
A．B．C．D．
5．已知条件，条件直线与直线平行，则是的（）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
6．程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果，则判断框中应填入（）
A．B．C．D．
7．已知，且，则向量在方向上的投影为（）
A．B．C．1D．
8．把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间为（）
A．B．C．D．
9．已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示,
则该几何体的棱的长度中，最大的是（）
A．B．C．D．
10．以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于两点，若，则双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．
11．今有个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有（）种
A．B．C．D．
12．若曲线和上分别存在点,使得是以原点为直角顶点的直角三角形,交轴于点，且，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题：
共90分）
2、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分。
请将正确答案直接填在答题卡的相应位置）
13．若，则的展开式中常数项为．
14．在中，分别是内角的对边，若，，，则的面积
等于．
15．已知关于实数的不等式组构成的平面区域为，若，使得恒成立，则实数的最小值是．
16．已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，底面是等腰梯形，且满足，，则球的表面积是．
三．解答题：
（本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
已知数列为正项等比数列，满足，且构成等差数列，数列满足.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
F
P
D
A
B
C
E
如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个动点．
（Ⅰ）求证：
平面平面；
（Ⅱ）设二面角的平面角为，试判断在线段上是否存在
这样的点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分12分）
为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：
（记成绩不低于分者为“成绩优秀”）
分数
甲班频数
乙班频数
（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断是否有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？
甲班
乙班
总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计
（Ⅱ）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为，求的分布列和期望．
参考公式：
，其中．
临界值表
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点是椭圆上的点，面积的最大值是．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若判定四边形的面积是否为定值？
若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）若在上存在极大值点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求证：
，其中．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程选讲
在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线过点与曲线交于不同两点，的中点为，与的交点为，求．
23．（本题满分10分）选修4-5；不等式选讲
若关于的不等式在实数范围内有解．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）若实数的最大值为，且正实数满足，求证：
.
江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学参考答案
1、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
B
C
D
A
B
B
A
C
D
二、填空题：
13．14.15.16．
三、解答题：
17.解：
（Ⅰ）设等比数列的公比为，由题意，得
解得或（舍）…………………2分
又所以………………4分
………………6分
（Ⅱ）．……………7分
∴，…………………9分
∴…………………12分
18.解：
（Ⅰ）四边形是正方形，∴.
∵平面平面，∴平面.
∵平面，∴.
∵，点为线段的中点，∴.
又∵，∴平面.
又∵平面，∴平面平面.………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，∵，∴平面.
在平面内过作交于点，
∴，故，，两两垂直，以为原点，
以，，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.
因为，，∴.
∵平面，则，，
又为的中点，，………………7分
假设在线段上存在这样的点，使得,设，，，
设平面的法向量为，则
∴，令，则，则………………9分
平面，平面的一个法向量,,则
∴.
，解得，∴………………12分
19.解：
（1）补充的列联表如下表：
甲班
乙班
总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计
根据列联表中的数据，得的观测值为，
所以有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.………………5分
（2）的可能取值为，，，，
，………………6分
，………………7分
，………………8分
，………………9分
所以的分布列为
……………10分
………………12分
20.解：
（1）由解得得椭圆的方程为.………………4分
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为．……5分
当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程
，
……………7分
………………8分
点到直线的距离是………………9分
由得
因为点在曲线上，所以有整理得………………10分
由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为
………………11分
由得,故四边形的面积是定值，其定值为．………………12分
21.解：
（1）由于，
则①当时，，
即当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故在处取得极大值，
则，解得：
；………………………………3分
②当时，恒成立，无极值，不合题意舍去；………………4分
③当时，，
即当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故在处取得极小值，不合题意舍去；
因此当时，在上存在极大值点；………………6分
（2）法一：
令，，
由
（1）得：
在处取得极大值1，且该极值是唯一的，
则，即，当且仅当时取“=”，………………8分
故当时，，………………10分
因此．………………12分
法二：
下面用数学归纳法证明：
，对恒成立．
（1）当时，左边，右边，
左边右边，结论成立；
（2）假设当时，结论成立，即，
当时，左边
，
而，
令，，
由
（1）得：
在处取得极大值1，且该极值是唯一的，
则，即，当且仅当时取“=”，………………10分
则对恒成立，即
成立
故当时，结论成立，
因此，综合
（1）
（2）得，对恒成立．………………12分
22.（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为：
；
即
的直角坐标方程为：
.……………4分
（Ⅱ）直线的参数方程（为参数），
将其代入曲线的普通方程并整理得，
设两点的参数分别为，则
…………………………………………………7分
因为为的中点，故点的参数为，……8分
设点的参数分别为，把代入整理得………9分
所以.………10分
23.解：
（1）因为所以
又因为………………………3分
所以………………………5分
（2）由
（1）可知，,则
方法一：
………………………10分
方法二：
利用柯西不等式
…………………10分
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