届高考数学文科二轮复习练习全国通用第一篇+第20练+概率.docx

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届高考数学文科二轮复习练习全国通用第一篇+第20练+概率

第20练　概　率

[明考情]

概率是高考的必考知识点，以选择题形式考查古典概型和几何概型的应用.近几年出现古典概型与统计的交汇题型，难度为中低档.

[知考向]

1.随机事件及其概率.

2.古典概型.

3.几何概型.

考点一　随机事件的概率

要点重组　

（1）对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件.

（2）若事件A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；

若事件A，B对立，则P（A）＝1－P（B）.

1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）

A.至多有一次中靶B.两次都中靶

C.只有一次中靶D.两次都不中靶

答案　D

解析　射击两次有四种可能，就是（中，不中）、（不中，中）、（中，中）、（不中，不中），其中“至少有一次中靶”含有前三种情况，选项A、B、C中都有与其重叠的部分，只有选项D为其互斥事件，也是对立事件.

2.从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P（A）＝0.7，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（　　）

A.0.7B.0.2C.0.1D.0.3

答案　D

解析　∵“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到一等品”，事件A＝{抽到一等品}，P（A）＝0.7，

∴“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3.

3.抛掷一枚均匀的正方体骰子（各面分别标有数字1，2，3，4，5，6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P（A∪B）＝________.

答案　

解析　事件A∪B可以分成事件C：

“朝上一面的数为1，2，3”与事件D：

“朝上一面的数为5”这两件事，则事件C和事件D互斥，故P（A∪B）＝P（C∪D）＝P（C）＋P（D）＝＋＝＝.

4.抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线bx＋ay＝1的斜率k≥－的概率是________.

答案　

解析　因为k＝－≥－，所以≤.

符合题意的情况（b，a）有（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），所以所求概率为P＝＝.

5.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________.

答案　　

解析　“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，

故他属于至少2个小组的概率为P＝＝.

“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”.

故他属于不超过2个小组的概率是P＝1－＝.

考点二　古典概型

方法技巧　求古典概型问题的两种方法：

（1）转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；

（2）要用间接法，利用对立事件的概率公式进行求解.

6.（2017·天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝＝.故选C.

7.（2017·玉林质检）有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和蛇.现在有个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　向上的图案为鼠鹰、鼠蛇、鸡鹰、鸡蛇四种情况，其中向上的图案是鸡鹰的概率为.故选C.

8.（2017·潮州模拟）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a、b、c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba，Ca，Cb共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为，故选A.

9.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：

（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），其中勾股数只有（3，4，5），所以概率为.故选C.

10.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点，在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F，设G为满足＝＋的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为________.

答案　

解析　基本事件的总数是4×4＝16，

在＝＋中，当＝＋，＝＋，＝＋，＝＋时，

点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余情况的点G都在平行四边形外，故所求的概率是1－＝.

考点三　几何概型

要点重组　几何概型试验的两个基本特点

（1）无限性.

（2）等可能性.

方法技巧　几何概型问题解决的关键是确定区域的测度，注意区分长度与角度、面积与体积等一般所选对象的活动范围，在直线上选长度作为测度；在平面区域内选面积作为测度；在空间区域中则选体积作为测度.

11.（2017·咸阳模拟）某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品未掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽大约为（　　）

A.80mB.50mC.40mD.100m

答案　D

解析　由长度的几何概型公式结合题意可知，河宽为500×＝100（m）.

12.在直角三角形ABC中，直角顶点为C，∠A＝30°，在∠ACB的内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，则满足BC＜AM＜AC的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　记“BC＜AM＜AC”为事件D，在AB上取一点C1，使得AC1＝AC，连接CC1，则∠ACC1＝75°，在AB上取一点C2，使得BC2＝BC，连接CC2，则∠ACC2＝30°，那么∠C1CC2＝∠ACC1－∠ACC2＝45°，而∠ACB＝90°，根据几何概型的概率计算公式知，P（D）＝＝＝.

13.（2017·赣州联考）已知定义在区间[－3，3]上的函数f（x）＝2x＋m满足f

（2）＝6，在[－3，3]上随机取一个实数x，则使得f（x）的值不小于4的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　由f

（2）＝6，得4＋m＝6，m＝2，故f（x）＝2x＋2.由f（x）≥4，得x≥1，因此所求概率为＝.故选C.

14.（2017·全国Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.

由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.

故选B.

15.某中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7：

40至8：

00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　设小典到校的时间为7点x分，小方到校的时间为7点y分，（x，y）可以看成平面中的点，试验的全部结果构成的区域Ω＝{（x，y）|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个正方形区域，对应的面积为S＝20×20＝400，小典比小方至少早5分钟到校对应的区域为{（x，y）|40≤x≤60，40≤y≤60，y－x≥5}，如图中阴影部分所示.由得C（55，60），由得B（40，45），则S△ABC＝×15×15.由几何概型计算公式得所求概率为＝.

1.节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x，y，则0≤x≤4，0≤y≤4，而事件A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，即|x－y|≤2，可行域如图阴影部分所示，

由几何概型概率公式得P（A）＝＝.

2.若将一枚质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________.

答案　

解析　将先后掷2次出现向上的点数记作点坐标（x，y），则共可得点坐标的个数为6×6＝36，而向上点数之和为4的点坐标有（1，3），（2，2），（3，1），共3个，故先后掷2次，出现向上的点数之和为4的概率P＝＝.

解题秘籍　

（1）利用古典概型公式解题时，要注意基本事件的等可能性，正确把握基本事件的个数.

（2）当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.

1.（2016·天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝.

2.（2017·运城模拟）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不少于20分钟的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　根据几何概型可知，等待时间不少于20分钟的概率为P＝＝.

3.（2017·石嘴山市第三中学月考）一个袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个小球的编号之和小于15的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　D

解析　两球编号之和不小于15的情况有三种：

（7，8），（8，7），（8，8），则两球编号之和不小于15的概率为，因此两个球的编号之和小于15的概率为1－＝.

4.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，现从该三棱锥的6条棱中任选2条，则这2条棱互相垂直的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　由已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，可推得SB⊥BC，从该三棱锥的6条棱中任选2条，共有（SA，SB），（SA，SC），（SB，SC），（SA，AB），（SA，AC），（SA，BC），（SB，AB），（SB，AC），（SB，BC），（SC，AB），（SC，AC）