=q&&p->datalink;//循链搜索其值等于key的结点if（p->data==key）{current=p;returnp;}//找到,返回结点地址else{current=head;returnNULL;}//未找到,返回空指针}8-4考虑用双向链表来实现一个有序表，使得能在这个表中进行正向和反向搜索。
若指针p总是指向最后成功搜索到的结点，搜索可以从p指示的结点出发沿任一方向进行。
试根据这种情况编写一个函数search（head,p,key），检索具有关键码key的结点，并相应地修改p。
最后请给出搜索成功和搜索不成功时的平均搜索长度。
【解答】phead40102030506070∧∧templateDblListNode*Search（DblListNode*head,DblListNode*&p,Typekey）{//在以head为表头的双向有序链表中搜索具有值key的结点。
算法可视为双向链表类和双向链表结点类的友元//函数。
若给定值key大于结点p中的数据,从p向右正向搜索,否则,从p向左反向搜索。
DblListNode*q=p;if（keydata）{while（q!
=NULL&&q->data>key）q=q->lLink;}//反向搜索else{while（q!
=NULL&&q->datarLink;}//正向搜索if（q!
=NULL&&q->data==key）{p=q;returnp;}//搜索成功elsereturnNULL;}如果指针p处于第i个结点（i=1,2,„,n），它左边有i-1个结点，右边有n-i个结点。
找到左边第i-1号结点比较2次，找到第i-2号结点比较3次，„，找到第1号结点比较i次，一般地，找到左边第k个结点比较i-k+1次（k=1,2,„,i-1）。
找到右边第i+1号结点比较2次，找到第i+2号结点比较3次，„，找到第n号结点比较n-i+1次，一般地，找到右边第k个结点比较k-i+1次（k=i+1,i+2,„,n）。
因此，当指针处于第i个结点时的搜索成功的平均数据比较次数为2ni1n*（n3）n3iii*n2iii*nn1（ik1）（ki1）n22nki1k1一般地，搜索成功的平均数据比较次数为22n1n3iii*nn3n1ASLsuccn2n3ni1如果指针p处于第i个结点（i=1,2,„,n），它左边有i个不成功的位置，右边有n-i+1个不成功的位置。
ni1n*（n3）2（ik）（ki1）（n1）iii*n1（n1）2kik081
第8章搜索一般地，搜索不成功的平均数据比较次数为2n1n*（n3）2n7n62ASLiii*n1unsucc22（n1）n1i08-5在一棵表示有序集S的二叉搜索树中，任意一条从根到叶结点的路径将S分为3部分：
在该路径左边结点中的元素组成的集合S；在该路径上的结点中的元素组成的集合S；在该路径右边结点中的元素12组成的集合S。
S=SSS。
若对于任意的aS,bS,cS，是否总有abc？
为什么？
3123123【解答】答案是否定的。
举个反例：
看下图粗线所示的路径452565355070154030S1={15},S2={25,30,35,45},S3={40,50,65,70}c=40S3，b=45S2，bc不成立。
8-6设有一个输入数据的序列是{46,25,78,62,12,37,70,29},试画出从空树起，逐个输入各个数据而生成的二叉搜索树。
【解答】464646464646252578257825782578空树加46加78加25621262123762加624646加12加3725787825126262123737707029加29加708-7在二叉搜索树上删除一个有两个子女的结点时，可以采用以下三种方法：
（1）用左子树T上具有最大关键码的结点X顶替，再递归地删除X。
L
（2）交替地用左子树T上具有最大关键码的结点和右子树T上具有最小关键码的结点顶替，再递LR归地删除适当的结点。
（3）用左子树T上具有最大关键码的结点或者用右子树T上具有最小关键码的结点顶替，再递归LR地删除适当的结点。
可随机选择其中一个方案。
试编写程序实现这三个删除方法，并用实例说明哪一个方法最易于达到平衡化。
82
第8章搜索【解答】①在被删结点有两个子女时用左子树T中具最大关键码的结点顶替的算法：
LtemplateBstNode*BST:
:
leftReplace（BstNode*ptr）{BstNode*temp=ptr->leftChild;//进到ptr的左子树while（temp->rightChild!
=NULL）temp=temp->rightChild;//搜寻中序下最后一个结点ptr->data=temp->data;//用该结点数据代替根结点数据returntemp;}②在被删结点有两个子女时用右子树T中具最小关键码的结点顶替的算法：
RtemplateBstNode*BST:
:
rightReplace（BstNode*ptr）{BstNode*temp=ptr->rightChild;//进到ptr的右子树//搜寻中序下最后一个结点while（temp->leftChild!
=NULL）temp=temp->leftChild;//用该结点数据代替根结点数据ptr->data=temp->data;returntemp;}
（1）用左子树T上具有最大关键码的结点X顶替，再递归地删除X。
LtemplatevoidBST:
:
Remove（Type&x,BstNode*&ptr）{//私有函数：
在以ptr为根的二叉搜索树中删除含x的结点。
若删除成功则新根通过ptr返回。
BstNode*temp;if（ptr!
=NULL）if（xdata）Remove（x,ptr->leftChild）;//在左子树中执行删除//在右子树中执行删除elseif（x>ptr->data）Remove（x,ptr->rightChild）;elseif（ptr->leftChild!
=NULL&&ptr->rightChild!
=NULL）{//ptr指示关键码为x的结点，它有两个子女//在ptr的左子树中搜寻中序下最后一个结点顶替xtemp=leftReplace（ptr）;//在temp为根的子树中删除该结点Remove（ptr->data,temp）;}else{//ptr指示关键码为x的结点，它只有一个或零个子女temp=ptr;if（ptr->leftChild==NULL）ptr=ptr->rightChild;//只有右子女elseif（ptr->rightChild==NULL）ptr=ptr->leftChild;//只有左子女deletetemp;}}
（2）交替地用左子树T上具有最大关键码的结点和右子树T上具有最小关键码的结点顶替，再递LR归地删除适当的结点。
templatevoidBST:
:
Remove（Type&x,BstNode*&ptr,int&dir）{//私有函数：
在以ptr为根的二叉搜索树中删除含x的结点。
若删除成功则新根通过ptr返回。
在参数表中有一个//引用变量dir,作为调整方向的标记。
若dir=0,用左子树上具有最大关键码的结点顶替被删关键码;若dir=1,//用右子树上具有最小关键码的结点顶替被删关键码结点,在调用它的程序中设定它的初始值为0。
BstNode*temp;if（ptr!
=NULL）83
第8章搜索if（xdata）Remove（x,ptr->leftChild,dir）;//在左子树中执行删除//在右子树中执行删除elseif（x>ptr->data）Remove（x,ptr->rightChild,dir）;elseif（ptr->leftChild!
=NULL&&ptr->rightChild!
=NULL）{//ptr指示关键码为x的结点，它有两个子女if（dir==0）{temp=leftReplace（ptr）;dir=1;//在ptr的左子树中搜寻中序下最后一个结点顶替x}else{temp=rightReplace（ptr）;dir=0;//在ptr的右子树中搜寻中序下第一个结点顶替x}Remove（ptr->data,temp,dir）;//在temp为根的子树中删除该结点}else{//ptr指示关键码为x的结点，它只有一个或零个子女temp=ptr;if（ptr->leftChild==NULL）ptr=ptr->rightChild;//只有右子女elseif（ptr->rightChild==NULL）ptr=ptr->leftChild;//只有左子女deletetemp;}}（3）用左子树T上具有最大关键码的结点或者用右子树T上具有最小关键码的结点顶替，再递归LR地删除适当的结点。
可随机选择其中一个方案。
#includetemplatevoidBST:
:
Remove（Type&x,BstNode*&ptr）{//私有函数：
在以ptr为根的二叉搜索树中删除含x的结点。
若删除成功则新根通过ptr返回。
在程序中用到一个//随机数发生器rand（）,产生032767之间的随机数,将它除以16384,得到02之间的浮点数。
若其大于1,用左//子树上具有最大关键码的结点顶替被删关键码;若其小于或等于1,用右子树上具有最小关键码的结点顶替被删//关键码结点,在调用它的程序中设定它的初始值为0。
BstNode*temp;if（ptr!
=NULL）if（xdata）Remove（x,ptr->leftChild）;//在左子树中执行删除//在右子树中执行删除elseif（x>ptr->data）Remove（x,ptr->rightChild）;elseif（ptr->leftChild!
=NULL&&ptr->rightChild!
=NULL）{//ptr指示关键码为x的结点，它有两个子女if（（float）（rand（）/16384）>1）{temp=leftReplace（ptr）;dir=1;//在ptr的左子树中搜寻中序下最后一个结点顶替x}else{temp=rightReplace（ptr）;dir=0;//在ptr的右子树中搜寻中序下第一个结点顶替x}Remove（ptr->data,temp）;//在temp为根的子树中删除该结点}else{//ptr指示关键码为x的结点，它只有一个或零个子女temp=ptr;if（ptr->leftChild==NULL）ptr=ptr->rightChild;//只有右子女84
第8章搜索elseif（ptr->rightChild==NULL）ptr=ptr->leftChild;//只有左子女deletetemp;}}8-8将关键码DEC,FEB,NOV,OCT,JUL,SEP,AUG,APR,MAR,MAY,JUN,JAN依次插入到一棵初始为空的AVL树中，画出每插入一个关键码后的AVL树，并标明平衡旋转的类型。
【解答】加NOV加OCT加JUL加DEC加FEB+2DECDECDECFEBFEBFEB左单旋FEBFEBDECNOVDECNOVDECNOVOCTJULOCTNOV+2FEBNOVNOV加AUG左单旋OCTOCTDECNOVFEBFEBDECJULSEPDECJULSEPJULOCTAUGSEP加SEPNOVNOVNOV加APR加MAROCT右单旋OCTFEBOCTFEBFEB-2SEPJULSEPAUGSEPJULDECJULAUGAPRAUGDECAPRMARDECAPRNOVNOV加MAYOCTOCTFEBFEB左单旋+2MARSEPSEPJULAUGAUGJULAPRAPRMAYMARDECDECMAY-2NOVMAR加JUNOCTFEBFEBNOV左右双旋AUGMARAUGSEPJULMAYOCTAPRJULMAYAPRDECDECJUNSEPJUNMAR加JANNOVFEBAUGJULOCTMAYAPRDECJANJUNSEP85
第8章搜索k8-9将关键码1,2,3,„,2-1依次插入到一棵初始为空的AVL树中。
试证明结果树是完全平衡的。
【解答】所谓“完全平衡”是指所有叶结点处于树的同一层次上，并在该层是满的。
此题可用数学归纳法证明。
1当k=1时，2-1=1，AVL树只有一个结点，它既是根又是叶并处在第0层，根据二叉树性质，应0具有2=1个结点。
因此，满足完全平衡的要求。
ni设k=n时，插入关键码1,2,3,„,2-1到AVL树中，恰好每一层（层次号码i=0,1,„,n-1）有2个结点，根据二叉树性质，每一层达到最多结点个数，满足完全平衡要求。
则当k=n+1时，插入关键nnn+1nn+1n+1nn码为1,2,3,„,2-1,2,„,2-1，总共增加了从2到2-1的2-1-2+1=2个关键码，使得AVLn树在新增的第n层具有2个结点，达到该层最多结点个数，因此，满足完全平衡要求。
8-10设散列表为HT[13],散列函数为H（key）=key%13。
用闭散列法解决冲突,对下列关键码序列12,23,45,57,20,03,78,31,15,36造表。
采用线性探查法寻找下一个空位,画出相应的散列表,并计算等概率下搜索成功的平均搜索长度和搜索不成功的平均搜索长度。
（2）采用双散列法寻找下一个空位,再散列函数为RH（key）=（7*key）%10+1,寻找下一个空位的公式为H=（H+RH（key））%13,H=H（key）。
画出相应的散列表,并计算等概率下搜索成功的平均搜ii-11索长度。
【解答】使用散列函数H（key）=keymod13，有H（12）=12,H（23）=10,H（45）=6,H（57）=5,H（20）=7,H（03）=3,H（78）=0,H（31）=5,H（15）=2,H（36）=10.
（1）利用线性探查法造表：
012345678910111278150357452031233612
（1）
（1）
（1）
（1）
（1）
（1）（4）
（1）
（2）
（1）搜索成功的平均搜索长度为114ASL=（1+1+1+1+1+1+4+1+2+1）=succ1010搜索不成功的平均搜索长度为361ASL=（2+1+3+2+1+5+4+3+2+1+5+4+3）=unsucc1313
（2）利用双散列法造表：
H=（H+RH（key））%13,H=H（key）ii11-012345678910111278150357452031362312
（1）
（1）
（1）
（1）
（1）
（1）（3）（5）
（1）
（1）搜索成功的平均搜索长度为116ASL=（1+1+1+1+1+1+3+5+1+1）=succ101086
第8章搜索87
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