完整word版matlab插值计算.docx
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完整word版matlab插值计算
插值方法
晚上做一个曲线拟合,结果才开始用最小二乘法拟合时,拟合出来的东西太难看了!
于是尝试用其他方法。
经过一番按图索骥,终于发现做曲线拟合的话,采用插值法是比较理想的方法。
尤其是样条插值,插完后线条十分光滑。
方法付后,最关键的问题是求解时要积分,放这里想要的时候就可以直接过来拿,不用死去搜索啦。
呵呵
插值方法的Matlab实现
一维数据插值
MATLAB中用函数interp1来拟合一维数据,语法是YI=INTERP1(X,Y,XI,方法)
其中(X,Y)是已给的数据点,XI是插值点,
其中方法主要有
'linear' -线性插值,默认
'pchip' -逐段三次Hermite插值
'spline' -逐段三次样条函数插值
其中最后一种插值的曲线比较平滑
例:
x=0:
.12:
1;x1=0:
.02:
1;%(其中x=0:
.12:
1表示显示的插值点,x1=0:
.02:
1表示插值的步长)
y=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);
plot(x,y,'o');holdon;
y1=interp1(x,y,x1,'spline');
plot(x1,y1,':
')
如果要根据样本点求函数的定积分,而函数又是比较光滑的,则可以用样条函数进行插值后再积分,在MATLAB中可以编写如下程序:
functiony=quadspln(x0,y0,a,b)
f=inline('interp1(x0,y0,x,''spline'')','x','x0','y0');
y=quadl(f,a,b,1e-8,[],x0,y0);
现求sin(x)在区间[0,pi]上的定积分,只取5点
x0=[0,0.4,1,2,pi];
y0=sin(x0);
I=quadspln(x0,y0,0,pi)
结果得到的值为2.01905,精确值为2
求一段matlab插值程序
悬赏分:
20-解决时间:
2009-12-2619:
57
已知5个数据点:
x=[0.250.50.751]y=[00.31040.61770.78861],求一段matlab插值程序,求过这5个数据点的插值多项式,并在x-y坐标中画出y=f(x)图形,并且求出f(x)与x轴围成图形的面积(积分),不胜感激!
使用Lagrange插值多项式的方法:
首先把下面的代码复制到M文件中,保存成lagran
function[C,L]=lagran(X,Y)
%input-Xisavectorthatcontainsalistofabscissas
%-Yisavectorthatcontainsalistofordinates
%output-Cisamatrixthatcontainsthecoefficientsofthelagrangeinterpolatorypolynomial
%-Lisamatrixthatcontainsthelagrangecoefficientspolynomial
w=length(X);
n=w-1;
L=zeros(w,w);
fork=1:
n+1
V=1;
forj=1:
n+1
ifk~=j
V=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j));
end
end
L(k,:
)=V;
end
C=Y*L;
然后在命令窗口中输入以下内容:
x=[00.250.50.751];
y=[00.31040.61770.78861];
lagran(x,y)
ans=
3.3088-6.38513.31640.75990
得到的数据就是多项式各项的系数,注意最后一个是常数项,即x^0,
所以表达式为:
f=3.3088*x.^4-6.3851*x.^3+3.3164*x.^2+0.7599*x
求面积就是积分求解
>>f=@(x)3.3088*x.^4-6.3851*x.^3+3.3164*x.^2+0.7599*x;
>>quad(f,0,1)
ans=
0.5509
这些点肯定是通过这个多项式的!
MATLAB插值与拟合
§1曲线拟合
实例:
温度曲线问题
气象部门观测到一天某些时刻的温度变化数据为:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T
13
15
17
14
16
19
26
24
26
27
29
试描绘出温度变化曲线。
曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系,由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。
曲线拟合有多种方式,下面是一元函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线拟合,最后给出拟合的多项式系数。
1.线性拟合函数:
regress()
调用格式:
b=regress(y,X)
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,alpha)
说明:
b=regress(y,X)返回X与y的最小二乘拟合值,及线性模型的参数值β、ε。
该函数求解线性模型:
y=Xβ+ε
β是p´1的参数向量;ε是服从标准正态分布的随机干扰的n´1的向量;y为n´1的向量;X为n´p矩阵。
bint返回β的95%的置信区间。
r中为形状残差,rint中返回每一个残差的95%置信区间。
Stats向量包含R2统计量、回归的F值和p值。
例1:
设y的值为给定的x的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。
即y=10+x+ε;求线性拟合方程系数。
程序:
x=[ones(10,1)(1:
10)'];
y=x*[10;1]+normrnd(0,0.1,10,1);
[b,bint]=regress(y,x,0.05)
结果:
x=
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
1 10
y=
10.9567
11.8334
13.0125
14.0288
14.8854
16.1191
17.1189
17.9962
19.0327
20.0175
b=
9.9213
1.0143
bint=
9.7889 10.0537
0.9930 1.0357
即回归方程为:
y=9.9213+1.0143x
2.多项式曲线拟合函数:
polyfit()
调用格式:
p=polyfit(x,y,n)
[p,s]=polyfit(x,y,n)
说明:
x,y为数据点,n为多项式阶数,返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
矩阵s用于生成预测值的误差估计。
(见下一函数polyval)
例2:
由离散数据
x
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
y
.3
.5
1
1.4
1.6
1.9
.6
.4
.8
1.5
2
拟合出多项式。
程序:
x=0:
.1:
1;
y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52];
n=3;
p=polyfit(x,y,n)
xi=linspace(0,1,100);%linspace用于创建向量,如:
x=linspace(a1,a2,a3);
a1为第一个元素,a2为最末一个元素,a3表示x共有a3个元素,每个元素间距相等。
z=polyval(p,xi);%多项式求值
plot(x,y,'o',xi,z,'k:
',x,y,'b')
legend('原始数据','3阶曲线')
结果:
p=
16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035
多项式为:
16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035
曲线拟合图形:
如果是n=6,则如下图:
也可由函数给出数据。
例3:
x=1:
20,y=x+3*sin(x)
程序:
x=1:
20;
y=x+3*sin(x);
p=polyfit(x,y,6)
xi=linspace(1,20,100);
z=polyval(p,xi); %多项式求值函数
plot(x,y,'o',xi,z,'k:
',x,y,'b')
legend('原始数据','6阶曲线')
结果:
p=
0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304
再用10阶多项式拟合
程序:
x=1:
20;
y=x+3*sin(x);
p=polyfit(x,y,10)
xi=linspace(1,20,100);
z=polyval(p,xi);
plot(x,y,'o',xi,z,'k:
',x,y,'b')
legend('原始数据','10阶多项式')
结果:
p=
Columns1through7
0.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 11.2360
Columns8through11
-42.0861 88.5907 -92.8155 40.2671
可用不同阶的多项式来拟合数据,但也不是阶数越高拟合的越好。
3. 多项式曲线求值函数:
polyval()
调用格式:
y=polyval(p,x)
[y,DELTA]=polyval(p,x,s)
说明:
y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval(p,x,s)使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计YDELTA。
它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的,并且方差为常数。
则YDELTA将至少包含50%的预测值。
(未完)
4. 多项式曲线拟合的评价和置信区间函数:
polyconf()
调用格式:
[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)
[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha)
说明:
[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)使用polyfit函数的选项输出s给出Y的95%置信区间YDELTA。
它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的,并且方差为常数。
1-alpha为置信度。
例4:
给出上面例1的预测值及置信度为90%的置信区间。
程序:
x=0:
.1:
1;
y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52]
n=3;
[p,s]=polyfit(x,y,n)
alpha=0.05;
[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha)
结果:
p=
16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035
s=
R:
[4x4double]
df:
7
normr:
1.1406
Y=
Columns1through9
-0.0035 0.8538 1.2970 1.4266 1.3434 1.1480 0.9413 0.8238 0.8963
Columns10through11
1.2594 2.0140
5. 稳健回归函数:
robust()
稳健回归是指此回归方法相对于其他回归方法而言,受异常值的影响较小。
调用格式:
b=robustfit(x,y)
[b,stats]=robustfit(x,y)
[b,stats]=robustfit(x,y,’wfun’,tune,’const’)
说明:
b返回系数估计向量;stats返回各种参数估计;’wfun’指定一个加权函数;tune为调协常数;’const’的值为’on’(默认值)时添加一个常数项;为’off’时忽略常数项。
例5:
演示一个异常数据点如何影响最小二乘拟合值与稳健拟合。
首先利用函数y=10-2x加上一些随机干扰的项生成数据集,然后改变一个y的值形成异常值。
调用不同的拟合函数,通过图形观查影响程度。
程序:
x=(1:
10)’;
y=10-2*x+randn(10,1);
y(10)=0;
bls=regress(y,[ones(10,1)x])%线性拟合
brob=robustfit(x,y)%稳健拟合
scatter(x,y)
holdon
plot(x,bls
(1)+bls
(2)*x,’:
’)
plot(x,brob
(1)+brob
(2)*x,’r’)
结果:
bls=
8.4452
-1.4784
brob=
10.2934
-2.0006
分析:
稳健拟合(实线)对数据的拟合程度好些,忽略了异常值。
最小二乘拟合(点线)则受到异常值的影响,向异常值偏移。
6. 向自定义函数拟合
对于给定的数据,根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。
所用函数:
nlinfit()
调用格式:
[beta,r,J]=nlinfit(X,y,’fun’,beta0)
说明:
beta返回函数’fun’中的待定常数;r表示残差;J表示雅可比矩阵。
X,y为数据;‘fun’自定义函数;beta0待定常数初值。
例6:
在化工生产中获得的氯气的级分y随生产时间x下降,假定在x≥8时,y与x之间有如下形式的非线性模型:
现收集了44组数据,利用该数据通过拟合确定非线性模型中的待定常数。
x y x y x y
8 0.49 16 0.43 28 0.41
8 0.49 18 0.46 28 0.40
10 0.48 18 0.45 30 0.40
10 0.47 20 0.42 30 0.40
10 0.48 20 0.42 30 0.38
10 0.47 20 0.43 32 0.41
12 0.46 20 0.41 32 0.40
12 0.46 22 0.41 34 0.40
12 0.45 22 0.40 36 0.41
12 0.43 24 0.42 36 0.36
14 0.45 24 0.40 38 0.40
14 0.43 24 0.40 38 0.40
14 0.43 26 0.41 40 0.36
16 0.44 26 0.40 42 0.39
16 0.43 26 0.41
首先定义非线性函数的m文件:
fff6.m
functionyy=model(beta0,x)
a=beta0
(1);
b=beta0
(2);
yy=a+(0.49-a)*exp(-b*(x-8));
程序:
x=[8.008.0010.0010.0010.0010.0012.0012.0012.0014.0014.0014.00...
16.0016.0016.0018.0018.0020.0020.0020.0020.0022.0022.0024.00...
24.0024.0026.0026.0026.0028.0028.0030.0030.0030.0032.0032.00...
34.0036.0036.0038.0038.0040.0042.00]';
y=[0.490.490.480.470.480.470.460.460.450.430.450.430.430.440.43...
0.430.460.420.420.430.410.410.400.420.400.400.410.400.410.41...
0.400.400.400.380.410.400.400.410.380.400.400.390.39]';
beta0=[0.300.02];
betafit=nlinfit(x,y,@model,beta0)
结果:
betafit=
0.3896
0.1011
即:
a=0.3896,b=0.1011拟合函数为:
yy=0.3896+0.1004*exp(-0.1011*(x-8))
excell数据调入matlab中的方法:
importdata→data→x=data(:
所调出数据的列数)
如果想调出某列数据中间隔相等的数据则:
x=data(1:
2:
10,colume2)则调用原始数据的第二列中前十个数据中1、3、5、7、9行数据。
§2插值问题
在应用领域中,由有限个已知数据点,构造一个解析表达式,由此计算数据点之间的函数值,称之为插值。
实例:
海底探测问题
某公司用声纳对海底进行测试,在5×5海里的坐标点上测得海底深度的值,希望通过这些有限的数据了解更多处的海底情况。
并绘出较细致的海底曲面图。
一、一元插值
一元插值是对一元数据点(xi,yi)进行插值。
1. 线性插值:
由已知数据点连成一条折线,认为相临两个数据点之间的函数值就在这两点之间的连线上。
一般来说,数据点数越多,线性插值就越精确。
调用格式:
yi=interp1(x,y,xi,’linear’) %线性插值
zi=interp1(x,y,xi,’spline’) %三次样条插值
wi=interp1(x,y,xi,’cubic’) %三次多项式插值
说明:
yi、zi、wi为对应xi的不同类型的插值。
x、y为已知数据点。
例1:
已知数据:
x
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
y
.3
.5
1
1.4
1.6
1.9
.6
.4
.8
1.5
2
求当xi=0.25时的yi的值。
程序:
x=0:
.1:
1;
y=[.3.511.41.61.6.4.81.52];
yi0=interp1(x,y,0.025,'linear')
xi=0:
.02:
1;
yi=interp1(x,y,xi,'linear');
zi=interp1(x,y,xi,'spline');
wi=interp1(x,y,xi,'cubic');
plot(x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-')
legend('原始点','线性点','三次样条','三次多项式')
结果:
yi0= 0.3500
要得到给定的几个点的对应函数值,可用:
xi=[0.2500 0.3500 0.4500]
yi=interp1(x,y,xi,'spline')
结果:
yi=1.2088 1.5802 1.3454
(二)二元插值
二元插值与一元插值的基本思想一致,对原始数据点(x,y,z)构造见世面函数求出插值点数据(xi,yi,zi)。
一、单调节点插值函数,即x,y向量是单调的。
调用格式1:
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’linear’)
‘lin