数学建模竞赛参赛队员的选拔与组队.docx
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数学建模竞赛参赛队员的选拔与组队
数学建模竞赛参赛队员的选拔与组队
摘要
如何选拔最优秀的队员并科学合理的组队，是一个非常具有实际意义的数学模型问题。
本篇文章根据实际数据，综合考虑各方面因素的影响，给出了可以判断队员组队情况好坏的一般规律，并联系实际，运用所得规律进行科学的预测。
为了给出可以判断队员组队情况好坏的一般规律，本文综合考虑队员的性别、所属学院类型、在校期间的成绩。
为了分析前两者的影响，本文对三类（获国家奖、获省奖、没获奖）队伍的性别分布及所属学院类型分布进行了对比。
发现：
规律1：
队员不同的性别组合对数学建模成绩没有显著影响。
规律2：
三个队员中至少有两个来自理工类学院时，组队效果好。
三个队员都来自文科类学院，组队效果不好。
在分析成绩的影响时，首先，联合使用计算机筛选（以课程开设学院为筛选依据，仅筛选出统计与数学学院、计算机与信息工程学院、人文学院、马克思学院开设的课程）与人工筛选，选出每个人学过的能反映数学建模能力的所有课程。
根据实际经验，数学建模是数学能力、计算机能力和写作能力的综合运用，利用筛选出的成绩可以对每个人的各项能力进行量化。
而后，为了得到衡量数学建模综合能力的指标，本文利用层次分析法求解出数学能力、计算机能力、写作能力对数学建模综合能力的权重分别为0.5396、0.2969、0.1634。
文中使用了两种方法确定了两个综合能力指标，其一为队伍能发挥的最大综合能力，该指标下每个队伍的单项能力为三个队员该项能力的最大值；其二为平均综合能力，该指标下每个队伍的单项能力为三个队员该项能力的平均值。
经过对比，得到如下规律：
规律3：
队伍能发挥的最大综合能力越高，组队效果越好。
队伍能发挥的最大综合能力低于80.6时，组队效果不好，高于90.69时，组队效果非常好。
规律4：
队伍能发挥的平均综合能力越高，组队效果越好。
队伍能发挥的平均综合能力低于75.32时，组队效果不好，高于88.48时，组队效果非常好。
根据以上规律对问题二的5支队伍进行预测，发现：
这5支队伍都有很大的几率获奖（国家奖或省奖），X1很有可能获得国家奖，X5最好成绩应该为省奖。
同时对我们自己小组的成绩进行预测，发现如果我们参加全国大学生数学建模竞赛，我们很有可能获得省奖，再进行一定的努力后，也有很大可能获国家奖。
最后本文结合得到的一般规律和实际情况，对学弟学妹们在参加数学建模竞赛组队时提出了合理化建议。
1.问题重述
全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。
我校每年都会有一定数量的学生参加此项赛事，并取得了优异的成绩。
在一年一度的竞赛活动中，任何一个参赛院校都会遇到如何选拔最优秀的队员和科学合理地组队问题，这本身就是一个最实际而且是首先需要解决的数学模型问题。
附件1是某校以往获全国大学生数学建模竞赛国家奖，获省级和没获奖的队伍，各随机抽取了15支队伍，队伍信息见data1.xls，为保护隐私，每支队伍的队员用代号表示，每位队员的信息包括性别和所属学院以及他们在学校期间的所有成绩，每个队员的成绩见以他们的代号命名的文件。
根据所给数据，请从某个或某几个侧面考虑以下问题：
1.怎么样的队员组队是好的，怎么样的队员组队是不好的，给出一般性的规律。
2.根据你的规律，对附件2所给的5支队伍如果参加全国大学生数学建模竞赛有可能取得的成绩进行预测。
3.对你们自己这个小组如果参加全国大学生数学建模竞赛的前景进行预测，并给未来学弟学妹在参加数学建模竞赛时组队给点建议。
2.模型假设与符号说明
2.1模型假设
1、附件中给出的所有数据均为可供分析的可靠数据，不存在错误数据。
2、每个队员在参赛之前接受的培训程度相同，所处的外部环境相同，不考虑其他随机因素对参赛成绩的影响。
3、竞赛中各参赛队员都能发挥自己的水平，且竞赛水平的发挥仅考虑已知数据带来的影响。
3、数学能力、计算机能力、写作能力对学生数学建模综合能力的影响占主要地位，且影响程度依次递减。
4、各个队伍在参赛中相互独立，不互相影响。
2.2符号说明
A————————准则层对目标层的成对比较矩阵
————————方案层对准则层中数学能力的成对比较矩阵
————————方案层对准则层中计算机能力的成对比较矩阵
————————方案层对准则层中写作能力的成对比较矩阵
————————i号队员量化后的综合能力
————————i号队员量化后的数学能力
————————i号队员量化后的计算机能力
————————i号队员两化后的写作能力
3.问题分析
3.1问题一的分析
问题一需要得到可以判断组队方式好坏的一般规律。
从已知数据中可以获得以下信息：
每个人的性别、所属学院、在校期间所有成绩。
我们即从这三方面来讨论组队方式好坏的一般规律。
首先，以性别和所属学院为衡量标准对三类（获国家奖、获省奖、未获奖）队伍进行对比，以此来确定队员的性别和所属学院是否对建模成绩有显著影响。
然后，分析成绩对建模成绩的影响。
我们需要从每个队员在校期间的所有成绩中筛选出对数学建模有影响的有效成绩。
根据实际经验可知，数学建模需要综合运用数学能力、计算机能力、写作能力。
通过适当的分类与运算，可以量化每个队员的三项能力。
先以开课学院为筛选条件，筛选出统计与数学学院、计算机与信息工程学院、人文学院、马克思学院开设的课程，再进行相应的人工操作，留下能显著反映三项能力的课程。
按一定的量化准则对每个人的各项能力进行计算。
将每支队伍三个队员的单项能力按一定标准进行计算可以得到该队伍此项能力的量化值。
最后，设立综合能力指标。
综合能力指标为三项能力的加权平均，利用层次分析法可以科学的确定各项能力的加权系数。
层次分析法还能得到在综合评价三类队伍各自所占的权重，起到一定的检验作用。
综合分析性别、所属学院、在校期间成绩对建模成绩的影响，即可得到组队方式好坏的一般规律。
3.2问题二的分析
首先，与问题一采用同样的方法筛选出与建模能力联系密切的所有课程的成绩，然后，对问题二中的五支队伍进行三项能力的量化。
综合比较他们可发挥的最大综合能力能力、平均综合能力、队员所属学院。
并结合问题一给出的一般组队规律，即可对五支队伍参加全国大学生数学建模竞赛取得的成绩进行预测。
3.3问题三的分析
本题需要对三个队员到目前为止所学的所有课程进行筛选，选出能反映建模能力的相关课程，并通过它们量化每个队员的数学能力、计算机能力、写作能力。
从而算出我们小组可发挥的最大综合能力和平均综合能力。
结合问题一给出的一般组队规律，预测我们小组参加全国大学生数学建模竞赛的成绩。
将理论与实际结合，向学弟学妹提出合理建议。
4.问题一的解答
4.1性别对建模成绩的影响
首先，根据data1中的队伍信息，分别对获国家奖、获省奖、没获奖各15支队伍中组员的性别分布情况进行统计，发现其分布如下：
类型
队伍号
三男
A1、A5、
二男一女
A2、A9、A14、A15
一男二女
A4、A7、A8、A10、A11、A12、A13
三女
A3、A6、
表一：
获国家奖各队伍的性别类型分布表
类型
队伍号
三男
B1、B3、B15
二男一女
B5、B7、B9、
一男二女
B2、B6、B8、B10、B12、B13、B14
三女
B4、B11、
表二：
获省奖各队伍的性别类型分布表
类型
队伍号
三男
C5、C12、
二男一女
C2、C7、C10、C13、C15
一男二女
C1、C3、C6、C8、C9、C11、
三女
C4、C14
表三：
没获奖各队伍的性别类型分布表
图一：
三类队伍的性别类型分布图
根据图一可以看出，获国家奖、获省奖、没获奖三种类型的队伍无明显的性别分布差异。
结论1：
队员不同的性别组合对数学建模成绩没有显著影响。
4.2所属学院对建模成绩的影响
我们定义经济学院、金融学院、工商管理学院、章乃器学院、财务与会计学院为文科类学院，定义统计与数学学院、信息与电子工程学院、计算机与信息工程学院为理工类学院。
对获国家奖、获省奖、没获奖三种类型下各队伍队员的所属学院类型进行统计分析，得到的结果如图二：
图二：
三类队伍的所属学院类型分布图
根据图二可知：
当队伍中有两个队员来自理工类学院、一个队员来自文科类学院时，该队伍获奖（国家奖或省奖）几率最高，组队效果好。
如果三个队员都来自文科类学院，则该队获奖几率非常小，组队效果不好。
若三个队员都来自理工类学院时，更容易获得国家奖。
结论2：
三个队员中至少有两个来自理工类学院时，组队效果好。
三个队员都来自文科类学院，组队效果不好。
4.3在校期间成绩对建模成绩的影响
附件一中的数据是每个学生在学校期间取得的所有成绩，但根据实际情况，并不是所有的学科都能对建模能力有显著的反映。
因此，我们需要对已知数据进行筛选与简化。
根据经验，数学建模需要综合运用数学能力、计算机能力、写作能力。
因此，我们仅需选出能反映上述三项能力的学科成绩，对他们进行分析。
为了减少工作量，先以开课学院为筛选单位，只选择统计与数学学院、计算机与信息工程学院、人文学院、马克思主义学院开设的课程，再人工剔除与建模能力联系不密切的学科，最终分别得到能够衡量该队员数学能力、计算机能力、写作能力的各项学科的信息。
然后，以学分为权重对我们选出的能显著反映三项能力的各科成绩进行加权平均，量化每个队员的数学能力、计算机能力、写作能力。
量化原则如下：
（1）
以数学能力为例，一个队伍能够发挥的最大数学能力用三个队员数学能力的最大值表示。
计算机能力和写作能力的表示方法与之相同。
我们可以得到各队伍能够发挥的最大能力的量化值，见附录1.
数学建模是数学能力、计算机能力、写作能力的综合运用，衡量一个队伍的综合能力则需要确定三项能力对数学建模的影响程度。
层次分析法将经验认识与理性认识相结合，科学的解决了确定加权系数的问题。
我们将决策问题分解为三个层次，最上层为目标层，即比较各类队伍的综合能力。
最下层为方案层，有获国家奖、省奖、未获奖三类队伍。
中间为准则层，有数学能力、计算机能力、写作能力三个准则。
目标层
准则层
方案层
图三：
比较各类队伍综合能力的层次结构
上图中的层次结构反映了因素之间的关系，首先，我们要比较准则层中的三种能力对目标层中综合能力的影响情况，即三种能力的重要程度。
全部比较结果可用成对比较矩阵表示：
（2）
成对比较矩阵元素的数值反映了各元素的相对重要程度，采用1-10及其倒数来进行标度。
重要性
同等
重要
过渡值
稍微
重要
过渡值
明显
重要
过渡值
强烈重要
过渡值
极端
重要
过渡值
赋值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
表四：
评价尺度赋值表
本题认为，数学能力与计算机能力对团队综合能力的重要性之比为2：
1，数学能力与写作能力对团队综合能力的重要性之比为3：
1，计算机能力和写作能力对团队综合能力的重要性之比为2：
1。
由此，得到的成对比较阵为：
（3）
采用算术近似法——和法，以归一化的算术平均列向量来替代特征向量，来求成对比较矩阵的最大特征值和特征向量，步骤如下：
a.将成对比较矩阵A的每一列向量归一化得
b.对按行求和得
c.将归一化，即为近似特征向量
d.计算，作为最大特征根的近似值
本题得到矩阵A的最大特征值为
特征向量为
此时，一致性指标
阶数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
RI
0.00
0.00
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
表五：
多阶判断矩阵的RI值
根据表五，当时，。
所以，。
认为层次分析法的结果有满意的一致性，即权重的分配是合理的。
得到的准则层各因素对应的权重如下：
准则层
数学能力
计算机能力
写作能力
权重
0.5396
0.2969
0.1634
表六：
准则层各因素对应的权重
所以，一个队伍数学建模综合能力的表达式为：
（4）
当使用队员中单项能力最大值来表示团队该项能力时，各队伍能发挥的最大综合能力的计算结果见附录2，其相关统计结果见表七
A类平均
90.04
B类平均
86.97
C类平均
86.44
A类最小
86.1
B类最小
80.6
C类最小
74.45
A类最大
92.98
B类最大
90.69
C类最大
92.64
表七：
最大综合能力统计结果
从表七可以看出，获国家奖队伍能发挥的最大综合能力的平均值明显高于获省奖和没获奖的队伍。
结论3：
队伍能发挥的最大综合能力越高，组队效果越好。
队伍能发挥的最大综合能力低于80.6时，组队效果不好，高于90.69时，组队效果非常好。
但从附录2可以看出，用队伍能够发挥的最大综合能作为衡量标准时，许多获省奖和没获奖队伍能够发挥的最大综合能力都很高，甚至超过了获国家奖队伍的平均值。
因此，单考虑队伍能发挥的最大综合能力并不全面，还需要考虑队伍中队员的平均能力。
用三个队员单项能力的平均值来表示团队的平均能力，见附录3.然后，利用公式（4）计算得到各队伍平均综合能力的信息，见附录4，其统计结果如下表：
A类平均
84.13
B类平均
81.32
C类平均
81.04
A类最小
75.75
B类最小
75.32
C类最小
63.81
A类最大
88.89
B类最大
88.48
C类最大
88.61
表八：
平均综合能力统计结果
从表八可以看出，获国家奖队伍的平均综合能力明显高于获省奖和没获奖的队伍。
结论4：
队伍能发挥的平均综合能力越高，组队效果越好。
队伍能发挥的平均综合能力低于75.32时，组队效果不好，高于88.48时，组队效果非常好。
运用层次分析方法，我们已经得到了第2层（准则层）对第1层（目标层）的权向量，记作（即由（3）式的A算出的w）。
用同样的方法可以构造第3层（方案层）对第2层每一个准则的成对比较阵，从而得到在比较各类队伍综合能力时，获国家奖、获省奖、没获奖队伍各自所占的权重。
对我们的结论进行相应检验。
不妨设成对比较矩阵分别为：
，，
这里矩阵（k=1,2,3）中的元素是获国家奖、获省奖、没获奖对于准则（数学能力、计算机能力、写作能力）的优越性比较尺度。
由第3层的成对比较阵计算出的权向量，最大特征值和一致性指标。
结果列入表九：
1
2
3
0.595
0.6667
0.6250
0.277
0.2222
0.2385
0.129
0.1111
0.1365
3.005
3
3.0183
0.003
0
0.0091
表九：
综合能力比较问题第3层的计算结果
综合能力比较问题中，所有的都能通过一致性检验。
于是我们可以算出组合权向量。
这表示在比较各类队伍的综合能力时，获国家奖、获省奖、没获奖的组合权重分别为0.6211、0.2544、0.1249.
可以看出，获国家奖队伍的综合能力远高于获省奖和没获奖队伍的综合能力。
发现与我们的结论相符，
5.问题二的解答
首先，将课程开设学院作为筛选条件选出能反映建模能力的所有学科，并对所选学科进行分类，按照公式
（1）：
量化每位同学的数学能力、计算机能力、写作能力。
并按公式（4）：
分别计算出5支队伍各自的可发挥的最大综合能力和平均综合能力，同时考虑每支队伍三个队员所属学院性质，综合结果如下：
最大综合能力
平均综合能力
所属学院性质
X1
92.03
80.77
三个理工类
X2
90.04
86.80
二理工类一个文科类
X3
90.00
84.74
二理工类一个文科类
X4
90.15
85.60
一理工类二个文科类
X5
86.65
85.01
一理工类二个文科类
表十：
5支队伍的特征
根据上表可知，队伍X1能够发挥的最大综合能力量化值最大，超过了90.69.且三个队员均来自理工类学院。
所以，X1有很大的可能获国家奖。
队伍X2、X3、X4、X5能发挥的最大综合能力都超过了80.6，平均综合能力都超过了75.32，每个队伍中都有来自理工类学院的队员，所以他们都有获奖的希望。
根据各队伍能够发挥的最大综合能力进行排序，发现X2、X3、X4能够发挥的最大综合能力都远超过86.1，同时参考队员所属学院的性质和平均综合能力，我们预测X2、X3、X4都有获国家奖的可能，且X2可能性偏大。
而X5能够发挥的最大综合能力接近86.1，且队员中有两个来自文科类学院，一个来自理工类学院，获国家奖的希望很小。
综上所述，我们预测这五支队伍都有获奖（国家奖或省奖）的希望，X1有很大的可能获得国家奖，X5最好成绩应该为省奖。
6.问题三的解答
我们先使用问题一中的筛选方法对组员的成绩进行筛选，选出所有有效成绩。
按照公式
（1）对每个人的数学能力、计算机能力、写作能力进行量化。
得到的结果如下：
数学能力
计算机能力
写作能力
组员一
91.5
86.36
83.2
组员二
87.74
88
86.17
组员三
63.88
80.19
77.5
表十一：
小组成员的各项能力量化值
利用公式（4），算出我们小组能够发挥的最大综合能力为89.58，平均综合能力为82.37。
均在获奖标准之上。
所以，我们小组如果参加全国大学生数学建模竞赛，有很大的几率获奖，但获国奖的几率并不高，需要我们进一步的努力。
给学弟学妹的建议：
1.在组队时，三个组员至少需要有一个来自理工类学院。
2.三个组员需要达到能力的最优化，使整个队伍的综合能力得以提升。
3.最好跨专业组队，这样所学知识的重叠性不会很大。
4.三个组员中可以有一个侧重数学建模，一个侧重编程，一个侧重论文写作。
7.模型的评价
7.1模型的优点
1．对大量数据进行了有效合理的筛选。
利用课程开设学院为筛选条件选出能密切反映数学建模能力的课程，具有实际意义，且使结果更具有代表性与真实性。
2．同时计算两个综合指标：
能发挥的最大综合能力、平均综合能力，使得到的规律更完整可信。
3．运用层次分析法，对各团队的综合考核具有一定的公平性。
在考虑组队的思想上还是加入了各个能力对应的权重，合理的说明了各队的优劣状况。
层次结构模型的建立方法简便，实际操作易于实现，适用范围广，应用价值高。
4．该模型可以直接推广到任何一种竞赛的选拔队员问题上。
7.2模型的缺点
1．求解时方法在一定程度上不够精确，存在一定系统性偏差。
其中层次分析法自身的比较矩阵的确定主观因素很强，在对数据的量化上，人为因素对之影响较大，不一定能够很好地反映各项能力之间的关系与它们对一支队伍的影响，并且具有较大的局限性。
因为没有考虑到更多实际因素或突发性事件的影响。
2．许多对建模成绩有显著影响的因素都无法进行量化，比如智力因素、团队合作能力、学习能力等，因此并不能单以该模型对建模结果进行准确预测。
7.3模型的改进
在层次分析法的基础上，用模糊数学模型加以验证，抑或是多尝试几组数据构造比较矩阵，使得实际结果更加精确，贴近实际。
再进行深度的数据挖掘，增加考虑的因素，建立更加准确的模型，获得更为精准的规律与预测结果。
8.参考文献
[1]姜启源、谢金星、叶俊，《数学模型》（第四版），北京，高等教育出版社，2011.1，
[2]韩中庚.最佳组队方案及模型.数学的实践与认识,第27卷第2期,133-140,1997.
[3]伍代勇,刘兵兵.模糊层次分析法在队员选拔中的应用.安庆师范学院学报（自然科学版）,第16卷第1期:
11-13,2010.
[4]任玉辉,肖羽堂.层次分析法在校园火灾危险性分析中的应用.安全与环境工程,第15卷第1期:
85-88,2008.
[5]朱忠厚.层次分析法在煤矿安全投资方向决策中的应用.煤炭经济研究,第8卷第1期:
20-21,2006.
[6]黄俊,付湘,柯志波.层次分析法在城市防洪工程方案选择中的应用.水利与建筑工程学报,第5卷第1期:
52-55,2007.
9.附录
附录1：
各队伍能够发挥的最大能力的量化值
获国家奖的队伍：
数学能力
编程能力
写作能力
A1
94.3
93
88.65
A2
91.41
86.86
83.64
A3
92.38
83.64
83.38
A4
92.23
90.29
86.25
A5
91.7
87.73
85.63
A6
96
88.8
84.75
A7
91.75
90.65
89.09
A8
92.06
90
91.86
A9
90.38
89.63
91
A10
88.9
83.6
87.79
A11
95.89
88
86.64
A12
91.8
87.75
89.5
A13
87
85.32
84.57
A14
89.9
87
81.73
A15
95.7
90.4
86
获省奖的队伍：
数学能力
编程能力
写作能力
B1
89.56
86.56
84.72
B2
87.8
78.8
86.25
B3
88.17
66.8
80.73
B4
88.63
88
81
B5
92.4
84
84.5
B6
89.79
87.57
86.29
B7
93.56
88
84.53
B8
91.17
86.38
87.89
B9
82.78
82.2
81.29
B10
93.1
65.82
82.12
B11
89.56
75.38
84.43
B12
90.69
91.57
89.12
B13
93
88.47
85.4
B14
92
76
82.12
B15
90.94
92.2
85.64
没获奖的队伍：
数学能力
编程能力
写作能力
C1
92.19
82.56
83.75
C2
74.51
73.38
76.25
C3
93.52
85.6
89
C4
85.69
88
83
C5
93.53
77.17
86.5
C6
91.1
87
87.4
C7
84
88
86
C8
90.4
77.5
82
C9
88.28
75.7
86
C10
80.56
81.42
89.5
C11
93.89
87.5
88.94
C12
94.65
90.57
89.8
C13
88.15
83.14
87.6
C14
90.63
88.4
90
C15
81.71
89.2
80.25
附录2：
各队伍最大综合能力计算结果
组号
最大综合能力
组号
最大综合能力
组号
最大综合能力
A1
92.98
B1
87.87
C1
87.94
A2
88.78
B2
84.87
C2
74.45
A3
88.31
B3
80.60
C3
90.42
A4
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