小学六年级数学下册第五单元《鸽巢问题1》教案.docx
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小学六年级数学下册第五单元《鸽巢问题1》教案
小学六年级数学下册第五单元
《鸽巢问题
（1）》教案
教师：
caoxiren2019年2月28日星期四
教材分析：
本节课学习“抽屉原理”,使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,会用“抽屉原理”加以解决。
教学中注意利用教材中的情境教学,组织学生自主探索,手脑并用,了解数学知识的严谨性及可操作性,培养学生在实践中探求知识的能力。
教学内容：
最简单的“鸽巢问题”、课本第68页的例1,第69页的例2及相关练习。
教学目标：
1、了解“鸽巢问题”的特点,理解“鸽巢原理”的含义。
2、使学生学会用此原理解决简单的实际问题。
3、激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。
教学重点与难点：
【重点】：
引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
【难点】：
找出“鸽巢问题”解决的窍门并进行推理。
教学准备：
【教师准备】：
PPT课件。
教学过程：
一、复习准备
1.给甲、乙2个人发4本相同的书有几种可能出现的情况?
学生完成后,教师接着问,如果要做到公平,用什么方法分?
怎样分?
请你表示出来。
预设生1:
4÷2=2（本）
生2:
把4本书平均分给两人,每人分得两本书。
【参考答案】 甲分4本,乙分0本;甲分3本,乙分1本;甲分2本,乙分2本;甲分1本,乙分3本;甲分0本,乙分4本。
二、导入新课
PPT课件出示教材第68页数学游戏。
师:
同学们,你们玩过扑克牌吗?
预设生:
玩过。
师:
下面我们用扑克牌来玩个游戏。
大家知道一副扑克牌有54张,如果去掉两张王牌,就是52张,对吗?
预设生:
对。
师:
如果从这52张牌中任意抽出5张,我敢肯定地说:
这5张扑克牌中至少有2张是同一种花色的,你们信吗?
预设生1:
相信。
生2:
不相信。
师:
其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学道理,想不想研究啊?
预设生:
想。
揭示课题:
这节课我们就来解决这个数学问题。
（板书课题）
[设计意图] 由生活实际导入新课,学生易于接受,亲切自然。
引导学生主动发现知识,提高学生的注意力。
激发学生主动探求知识的意愿,使学生积极主动地进入本节课的学习。
三、教学新课
（一）、教学例1,学会简单的“鸽巢原理”的分析方法。
1.操作并发现规律。
（PPT课件出示下图）
把4支铅笔放进3个笔筒里,总有一个笔筒里至少放2支铅笔,为什么?
师:
把4支铅笔放到3个笔筒里,有哪些方法?
请同桌二人为一组动手试一试。
谁来说一说结果?
预设生1:
一个放4支,另两个不放。
生2:
两个放2支,另一个不放。
生3:
一个放3支,一个放1支,一个不放。
生4:
一个放2支,两个放一支。
（教师根据学生回答在黑板上画图表示几种结果）
师:
“不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔”,这句话说得对吗?
预设生:
对。
2.理解关键词的含义。
师:
这句话里“总有”是什么意思?
预设生:
一定有。
师:
这句话里“至少有2支”是什么意思?
预设生1:
最少有2支,不少于2支。
生2:
可能比2支多,也可能与2支相等。
3.探究证明。
师:
把4支铅笔放到3个笔筒试一试。
（1）枚举法。
师:
谁来说一说结果?
预设生:
通过摆放铅笔,发现四支铅笔分配到3个笔筒共有四种情况。
预设生1:
（4,0,0）。
生2:
（3,1,0）。
生3:
（2,2,0）。
生4:
（2,1,1）。
师:
谁还想到其他方法了?
预设生:
没有了。
师:
一共有4种情况,在每种情况中,都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。
（2）数的分解法。
预设生:
把4分解成3个数,使这3个数的和等于4。
师:
从分解的四种情况中,你发现了什么?
预设生:
四种情况,每种情况的三个数中,至少有一个数是大于或等于2的。
（3）假设法。
师:
前面我们是通过动手操作得出这一结论的,想一想,能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢?
小组讨论一下。
预设生1:
如果每个盒子里放1支铅笔,最多放3支,剩下的1支不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2支铅笔。
生2:
首先通过平均分,余下1支,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。
这就是平均分的方法。
师:
通过以上几种方法,都可以发现:
把4支铅笔放进3个笔筒中,无论怎么放,总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。
4.认识鸽巢问题
（一）。
师:
把5支铅笔放到4个铅笔盒里呢?
把6支铅笔放到5个铅笔盒里呢?
把7支铅笔放到6个铅笔盒里呢……你发现了什么?
预设生:
只要铅笔数比铅笔盒数多1,总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔。
师:
上面各个问题,我们都采用了什么方法?
预设生:
尽可能平均分物体的方法。
师:
像上面的问题就是“鸽巢问题”,也叫“抽屉问题”。
（1）在这里,4支铅笔是要分放的物体,就相当于4只“鸽子”,“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”,把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子,总有1个笼子里至少有2只鸽子。
（2）这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思;在所有方法中,放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的只数即为“至少”数。
小结:
只要放的铅笔数比笔筒的数量多,就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。
归纳总结:
抽屉（鸽巢）原理
（一）:
如果把m个物体任意放进n个抽屉（鸽巢）里（m>n,且m和n是非零自然数）,那么一定有一个抽屉（鸽巢）里至少放进了2个物体。
师:
现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果,你能来说一说这个魔术的道理吗?
预设生1:
如果4人选中了4种不同的花色,剩下的1人不管选哪种花色,总会和其他4人里的一人相同。
生2:
总有一种花色至少有2人选。
[设计意图] 一步一步引导学生合作交流、自主探索,让学生亲身经历问题解决的全过程,增强学习的积极性和主动性。
回到本节课开头提出的问题,揭示悬念,满足学生的好奇心,让学生认识到数学的应用价值.
（二）、探究学习例2,建立“抽屉问题”模型。
1.探究方法。
（PPT课件出示例2）
师:
把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书。
为什么?
（先小组讨论,再汇报）
（1）数的分解法。
预设生1:
把7分解成3个数的和。
把7本书放进3个抽屉里,共有8种情况。
生2:
每种情况分得的3个数中,至少有1个数不小于3,也就是每种分法中最大的那个数最小是3,即总有1个抽屉至少放进3本书。
（2）假设法。
生3:
把7本书平均分成3份,
7÷3=2……1,（板书）
若每个抽屉放2本,则还剩1本。
如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中,那么这个抽屉里就有3本书。
师:
通过以上两种方法都可以发现:
7本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。
2.拓展迁移。
师:
如果把8本书放进3个抽屉,会出现怎样的结论呢?
10本呢?
11本呢?
16本呢?
预设生1:
8÷3=2……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本。
（板书）
生2:
10÷3=3……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。
（板书）
生3:
11÷3=3……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。
（板书）
生4:
16÷3=5……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。
（板书）
师:
观察上述算式和结论,你发现了什么?
预设生1:
物体数÷抽屉数=商……余数。
生2:
至少数=商+1。
（板书）
3.建立“鸽巢问题”模型。
归纳总结:
抽屉（鸽巢）原理
（二）:
把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（鸽巢）（k是正整数,n是非0的自然数）,那么一定有一个抽屉（鸽巢）中至少放进了（k+1）个物体。
[设计意图] 引导学生合作交流、自主探索,建立“鸽巢问题”模型,增强学生学习的积极性和主动性。
四、课堂练习
1.教材第68页“做一做”第1题。
2.你理解前面扑克牌魔术的道理了吗?
3.教材第69页“做一做”第1题。
4.教材第69页“做一做”第2题。
【参考答案】 1.（教材做一做）1.每个鸽笼各飞进一只鸽子,剩下的两只无论飞进哪个鸽笼,都使那个鸽笼中至少有两只鸽子。
2.理解了。
3.（教材做一做）1.若每个鸽笼各飞进2只鸽子,则余下3只鸽子,无论它们飞进哪个鸽笼,都使该鸽笼中至少有3只鸽子。
4.（教材做一做）2.每把椅子先坐一个人,剩下的一个人无论坐在哪把椅子上,都会使该椅子上至少坐两人。
五、课堂小结：
师:
通过这节课的学习,你有什么收获?
预设生1:
我学会了简单的鸽巢问题。
生2:
生活中处处都有数学。
生3:
我知道怎样解决鸽巢问题。
生4:
转化时要弄清“鸽巢”和所分放的物体及它们的个数。
师:
这节课我们了解了什么是鸽巢问题,建立了鸽巢问题模型,学会了怎样解决鸽巢问题。
在实际生活中随处可见,处处都有数学问题在等待着我们去发现。
布置作业
作业1
教材第71页练习十三第1题。
作业2
【基础巩固】
1.（基础题）填空题。
（1）有15只鸽子飞进2个鸽舍,总有一个鸽舍至少有（ ）只鸽子。
（2）随意找14个学生,他们中至少有（ ）人属相相同。
【提升培优】
2.（易错题）判断题。
（1）把21张卡片分给4名同学,至少有一名同学分到6张。
（ ）
（2）3个连续自然数分别被2除后,3个余数相同。
（ ）
【思维创新】
3.（难点题）把25个玻璃球最多放进（ ）个盒子里,才能保证总有一个盒子里至少有5个玻璃球。
A.8 B.7 C.6
【参考答案】
作业1:
1.13÷12=1……1,1+1=2,所以至少有2个人的属相相同。
作业2:
1.
（1）8
（2）2 2.
（1）√
（2）✕ 3.C
板书设计
鸽巢问题
7÷3=2……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本;
8÷3=2……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本;
10÷3=3……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本;
11÷3=3……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本;
16÷3=5……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。
小结:
物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商+1
教学反思
一、成功之处：
1.只有学生主动参与到学习活动中,才是有效的教学。
在教学过程中,充分利用学具操作,如把4支笔放入3个笔筒中等,都是让学生自己操作,这为学生提供了主动参与的机会,让学生想一想、圈一圈,把抽象的数学知识同具体的实物结合起来,化难为易,化抽象为具体,让学生体验和感悟数学。
通过直观例子,借助实际操作,引导学生探究“鸽巢问题”,初步经历“数学证明”的过程,并有意识地培养学生的“模型思想”。
为学生营造宽松自由的学习氛围和学习空间,能让学生自己动脑解决一些实际问题,从而更好地理解鸽巢问题。
在教学过程中能够及时地去发现并认可学生思维中的闪光点。
2.及时引入本节课的重点“总有……至少……”。
这样设计使学生在生动、活泼的数学活动中主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造,使学生的数学知识、数学能力、数学思想、数学情感得到充分的发展,从而达到动智与动情的完美结合,全面提高学生的整体素质。
二、不足之处
不足之处在于教学过程中所设置的问题应具有针对性,应更多地关注学生的思维活动,及时给予认可和指导,使教学能够面向全体学生。
三、再教设计
再教这个内容时,教师有必要设计有针对性的问题,要多给学生思维的空间,放手把课堂交给学生,要在适当时机进行阶段性总结,有助于学生的知识系统的形成。
【做一做·68页】
1.每个鸽笼各飞进1只鸽子,剩下的2只鸽子无论飞进哪个鸽笼,都使那个鸽笼中至少有2只鸽子。
【做一做·69页】
1.若每个鸽笼各飞进2只鸽子,则余下3只鸽子,无论它们飞进哪个鸽笼,都使该鸽笼中至少有3只鸽子。
2.每把椅子先坐1个人,剩下的1个人无论坐到哪把椅子上,都会使该椅子上至少坐2人。
数学家路易·波沙的故事
“已知（n+1）个正整数,它们全都小于或等于2n,证明当中一定有两个数是互质的。
”
这道问题由匈牙利大数学家厄杜斯向当年年仅11岁的波沙提出,而小波沙思考了不足半分钟便能给出正确的答案,而他的解答又是那么巧妙和精彩,令厄杜斯赞叹不已。
在列出波沙的解答前,可先自己想一想解决方法,之后便能更深刻体会小波沙的解答的奥妙之处。
波沙的解法是这样的:
假设有n个盒子,在第1个盒子中放1和2、在第2个盒子中放3和4、在第3个盒子中放5和6、…、在第n个盒子中放2n-1和2n。
若从这n个盒子中随意抽出（n+1）个数,其中最少有一个盒子中的两个数均会被抽出。
由此,可知这（n+1）个数中必定有一对连续数,明显地,连续数是互质的。
这道问题便这样轻易解决了!
用比较浅显的说法来阐明上述的问题,可以这样说:
对于一个高6层,而每层有4个间隔的鸽巢,它共有6×4=24个鸽巢。
现把25只鸽子放进鸽巢,必定可以看到其中一个鸽巢会有2只鸽子挤在一起!
文海探知
抽屉原理虽然简单,但在数学中有广泛而深刻的运用。
十九世纪德国数学家狄里克雷（1805~1859）首先利用抽屉原理建立有理数理论,以后逐渐应用到数论、集合论、组合论等数学分支中,所以现在抽屉原理也称狄里克雷原理。
在我国古代文献中,有不少成功地运用抽屉原理来分析问题的例子。
例如宋代费衮的《梁溪漫志》,就曾运用抽屉原理来批驳“算命”一类迷信活动的谬论。
清代阮葵生的《茶余客话》、陈其元的《庸闲斋笔记》中都有类似的文字。
然而,令人不无遗憾的是,我国古代学者虽然很早就会利用抽屉原理来分析具体问题,但是古代文献中并未发现关于抽屉原理概括性的文字,没人将它抽象为一条普遍性原理。
最后还不得不将这一原理冠以数百年后西方学者狄里克雷的名字。
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