浙教版中考数学二轮专项复习一元一次不等式的应用.docx
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浙教版中考数学二轮专项复习一元一次不等式的应用
（浙教版）2020中考数学二轮专项复习——一元一次不等式的应用
【解题秘籍】
1．一元一次不等式（组）的应用
列不等式（组）解应用题的步骤：
（1）找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）；
（2）解不等式（组）；
（3）从不等式（组）的解集中求出符合题意的答案．
【智慧锦囊】
不等式（组）解应用题的步骤大体与列方程（组）解应用题相同，
应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“大于”
“小于”等关键词．注意分析题目中的不等量关系，能准确分析
题意，列出不等量关系式，然后根据不等式（组）的解法求解．
2．利用不等式（组）解决日常生活中的实际问题
通过不等式（组）对代数式进行比较，以确定最佳方案，获取最大收益，考查对数学的应用能力，考查的热点是与实际生活密切相关的不等式（组）应用题．
3．利用不等式（组）解决实际问题的方法技巧
这类问题，首先要认真分析题意，即读懂题目，然后建立数学模型，即用列不等式（组）的方法求解，解决这类问题的关键是正确地设未知数，找出不等关系，从不等式（组）的解集中寻求正确的符合题意的答案．
4．建立不等式（组）模型
适合一元一次不等式（组）的问题：
（1）存在明显不等关系字眼“至多”、“至少”、“不多于”等；
（2）问题中含有上下限，如不足3人，2～3之间等，是中考的热点考题．
【易错提醒】
1．一般情况下题目中的条件在列不等式时不能重复使用，要善于挖掘原题中的隐含条件；
2．不等式的解不是有限个，实际问题的答案往往取特殊解．
【题型解析】
1.利用一元一次不等式（组）解决商品销售等经济生活问题
【例题1】（2019湖南益阳10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．
（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；
（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？
2.方程组与不等式的综合应用题
【例题2】（2019•湖南衡阳•8分）某商店购进A.B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A.B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A.B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
3.不等式组的应用
【例题3】（2018•广州）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：
每台按售价的九折销售；方案二：
若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？
最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
【例题4】（2018•济宁）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄
清理养鱼网箱人数/人
清理捕鱼网箱人数/人
总支出/元
A
15
9
57000
B
10
16
68000
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
【同步检测】
一、选择题：
1.（2018·台湾·分）如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？
（ ）
A．112B．121C．134D．143
2.（2019•江苏无锡•3分）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（ ）
A．10B．9C．8D．7
3.（2019湖南常德3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：
“至少15元．”乙说：
“至多12元．”丙说：
“至多10元．”小明说：
“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A．10＜x＜12B．12＜x＜15C．10＜x＜15D．11＜x＜14
4.（2019•四川省绵阳市•3分）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（ ）
A.3种B.4种C.5种D.6种
5.（2019•黑龙江省绥化市•3分）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（ ）
A．5种B．4种C．3种D．2种
二、填空题：
6.（2018•山西•3分）2018年国内航空公司规定：
旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过115cm.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8:
11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为_____cm.
7.（2018•聊城）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]=1，[π]=3，[﹣2.82]=﹣3等．[x]+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1．①利用这个不等式①，求出满足[x]=2x﹣1的所有解，其所有解为 ．
8.（2018湖南湘西州）对于任意实数a、b，定义一种运算：
a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=ll．请根据上述的定义解决问题：
若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是 ．
三、解答题
9.（2019·贵州贵阳·10分）某文具店最近有A，B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：
第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元．
（1）求A，B两款毕业纪念册的销售单价；
（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册．
10.（2019•湖南岳阳•8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．
（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的
，求休闲小广场总面积最多为多少亩？
11.（2019•山东省滨州市•12分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
12.（2018•郴州）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．
（1）A、B两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？
【参考答案】
【考点整理：
1.平行,相等，相等，平分；2.相等，相等，互相平分，相等；3.相等.
【题型解析】
1.利用一元一次不等式（组）解决商品销售等经济生活问题
【例题1】（2019湖南益阳10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．
（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；
（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？
【分析】
（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组即可；
（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可．
【解答】解：
（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，
由题意得：
，
解得：
；
答：
去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元；
（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，
由题意得：
20×100×30+20×2.5z﹣20×600≥80000，
解得：
z≥640；
答：
稻谷的亩产量至少会达到640千克．
2.方程组与不等式的综合应用题
【例题2】（2019•湖南衡阳•8分）某商店购进A.B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A.B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A.B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【分析】
（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A.B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．
【解答】解：
（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，
依题意，得：
＝
，
解得：
x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：
购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，
依题意，得：
，
解得：
15≤m≤16．
∵m为整数，
∴m＝15或16．
∴商店有2种购买方案，方案①：
购进A商品65个、B商品15个；方案②：
购进A商品64个、B商品16个．
3.不等式组的应用
【例题3】（2018•广州）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：
每台按售价的九折销售；方案二：
若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？
最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
【分析】
（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论；
（2）根据购买x台时，该公司采用方案二购买更合算，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】：
设购买A型号笔记本电脑x台时的费用为w元，
（1）当x=8时，
方案一：
w=90%a×8=7.2a，
方案二：
w=5a+（8﹣5）a×80%=7.4a，
∴当x=8时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7.2a元；
（2）∵若该公司采用方案二购买更合算，
∴x＞5，
方案一：
w=90%ax=0.9ax，
方案二：
当x＞5时，w=5a+（x﹣5）a×80%=5a+0.8ax﹣4a=a+0.8ax，
则0.9ax＞a+0.8ax，
x＞10，
∴x的取值范围是x＞10．
【例题4】（2018•济宁）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄
清理养鱼网箱人数/人
清理捕鱼网箱人数/人
总支出/元
A
15
9
57000
B
10
16
68000
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
【分析】
（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，根据A、B两村庄总支出列出关于x、y的方程组，解之可得；
（2）设m人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱，根据“总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数”列不等式组求解可得．
解析：
（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，
根据题意，得：
，
解得：
，
答：
清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元；
（2）设m人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱，
根据题意，得：
，
解得：
18≤m＜20，
∵m为整数，
∴m=18或m=19，
则分配清理人员方案有两种：
方案一：
18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；
方案二：
19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱．
【同步检测】
一、选择题：
1.（2018·台湾·分）如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？
（ ）
A．112B．121C．134D．143
【分析】设妮娜需印x张卡片，根据利润=收入﹣成本结合利润超过成本的2成，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其内最小的整数即可得出结论．
【解答】解：
设妮娜需印x张卡片，
根据题意得：
15x﹣1000﹣5x＞0.2（1000+5x），
解得：
x＞133
，
∵x为整数，
∴x≥134．
答：
妮娜至少需印134张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成．
故选：
C．
2.（2019•江苏无锡•3分）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【分析】根据15名工人的前期工作量+12名工人的后期工作量＜2160列出不等式并解答．
【解答】解：
设原计划n天完成，开工x天后3人外出培训，
则15an＝2160，
得到an＝144．
所以15ax+12（a+2）（n﹣x）＜2160．
整理，得4x+4an+8n﹣8x＜720．
∵an＝144．
∴将其代入化简，得ax+8n﹣8x＜144，即ax+8n﹣8x＜an，
整理，得8（n﹣x）＜a（n﹣x）．
∵n＞x，
∴n﹣x＞0，
∴a＞8．
∴a至少为9．
故选：
B．
3.（2019湖南常德3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：
“至少15元．”乙说：
“至多12元．”丙说：
“至多10元．”小明说：
“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A．10＜x＜12B．12＜x＜15C．10＜x＜15D．11＜x＜14
【分析】根据题意得出不等式组解答即可．
【解答】解：
根据题意可得：
，
可得：
12≤x≤15，
∴12＜x＜15
故选：
B．
4.（2019•四川省绵阳市•3分）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（ ）
A.3种B.4种C.5种D.6种
【答案】C
【分析】设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，根据“购进甲乙商品不超过4200元的资金、两种商品均售完所获利润大于750元”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值即可得出答案．【解析】解：
设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，
根据题意，得：
，
解得：
20≤x＜25，
∵x为整数，
∴x=20、21、22、23、24，
∴该店进货方案有5种，故选：
C．
5.（2019•黑龙江省绥化市•3分）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（ ）
A．5种B．4种C．3种D．2种
答案：
C
考点：
二元一次方程，不等式。
解析：
设A种玩具的数量为x，B种玩具的数量为y，
则
，
即
，
满足条件：
x≥1，y≥1，x＞y，
当x＝2时，y＝4，不符合；
当x＝4时，y＝3，符合；
当x＝6时，y＝2，符合；
当x＝8时，y＝1，符合；
共3种购买方案。
二、填空题：
6.（2018•山西•3分）2018年国内航空公司规定：
旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过115cm.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8:
11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为_____cm.
【答案】55
【考点】一元一次不等式的实际应用
【解析】解：
设行李箱的长为8xcm，宽为11xcm
20+8x+11x≤115
解得x≤5
∴高的最大值为11⨯5=55cm
7.（2018•聊城）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]=1，[π]=3，[﹣2.82]=﹣3等．[x]+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1．①利用这个不等式①，求出满足[x]=2x﹣1的所有解，其所有解为 ．
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：
∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]=2x﹣1，
∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，
解得，0＜x≤1，
∵2x﹣1是整数，
∴x=0.5或x=1，
故答案为：
x=0.5或x=1．
8.（2018湖南湘西州）对于任意实数a、b，定义一种运算：
a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=ll．请根据上述的定义解决问题：
若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是 ．
【分析】根据新定义可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论．
【解答】解：
∵3※x=3x﹣3+x﹣2＜2，
∴x＜
，
∵x为正整数，
∴x=1．
故答案为：
1．
三、解答题
9.（2019·贵州贵阳·10分）某文具店最近有A，B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：
第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元．
（1）求A，B两款毕业纪念册的销售单价；
（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册．
【分析】
（1）直接利用第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元，分别得出方程求出答案；
（2）利用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，得出不等式求出答案．
【解答】解：
（1）设A款毕业纪念册的销售为x元，B款毕业纪念册的销售为y元，根据题意可得：
，
解得：
，
答：
A款毕业纪念册的销售为10元，B款毕业纪念册的销售为8元；
（2）设能够买a本A款毕业纪念册，则购买B款毕业纪念册（60﹣a）本，根据题意可得：
10a+8（60﹣a）≤529，
解得：
a≤24.5，
则最多能够买24本A款毕业纪念册．
10.（2019•湖南岳阳•8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．
（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的
，求休闲小广场总面积最多为多少亩？
【分析】
（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩．根据“复耕土地面积+改造土地面积＝1200亩”列出方程并解答；
（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的
”列出不等式并解答．
【解答】解：
（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩，
由题意，得x+（600+x）＝1200
解得x＝300．
则600+x＝900．
答：
改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；
（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，
由题意，得y≤
（3
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