17、在同一直角坐标系中，点A、B分别是函数y＝x－1与y＝－3x＋5的图像上的点，且点A、B关于原点对称，则点A的坐标为______．
18、如图，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的关系式是_______．
评卷人
得分
三、解答题（题型注释）
19、已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x>0，下表是y与x的几组对应值.
x
···
1
2
3
5
7
9
···
y
···
1.98
3.95
2.63
1.58
1.13
0.88
···
小腾根据学习一次函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究.
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在平面直角坐标系
中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象;
（2）根据画出的函数图象，写出：
①x=4对应的函数值y约为________；
②该函数的一条性质：
__________________．
20、如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：
BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：
△AEF≌△BCF．
21、
（1）求出式子中x的值：
9x2＝16
（2）计算：
．
22、阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：
直线l和l外一点P．
求作：
直线l的垂线，使它经过点P．
小芸的作法如下：
（1）在直线上任取两点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧线相交于点Q；
（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请将小芸的作图补充完整（保留作图痕迹），小芸的作法是否正确？
请说明理由．
23、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
24、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图2，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连结CF，AB＝a，BC＝b，AC＝c.
（1）请你结合图1用文字和符号语言分别叙述勾股定理；
（2）请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：
.
25、某水电站兴建了一个最大蓄水容量为12万米3的蓄水池，并配有2个流量相同的进水口和1个出水口．某天从0时至12时，进行机组试运行.其中，0时至2时打开2个进水口进水；2时，关闭1个进水口减缓进水速度，至蓄水池中水量达到最大蓄水容量后，随即关闭另一个进水口，并打开出水口，直至12时蓄水池中的水放完为止.
若这3个水口的水流都是匀速的，且2个进水口的水流速度一样，水池中的蓄水量y（万米3）与时间t（时）之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题：
（1）蓄水池中原有蓄水 万米3，蓄水池达最大蓄水量12万米3的时间a的值为 ；
（2）求线段BC、CD所表示的y与t之间的函数关系式；
（3）蓄水池中蓄水量维持在m万米3以上（含m万米3）的时间有3小时，求m的值．
26、如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（友情提醒：
正方形的四条边都相等，即AB＝BC＝CD＝DA；四个内角都是90°，即∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°）
（1）求证：
∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？
并证明你的结论；
（3）设AP为x，求出BE的长．（用含x的代数式表式）
参考答案
1、D
2、C
3、C
4、C
5、B
6、C
7、B
8、B
9、36
10、1
11、4．
12、如：
等
13、120cm2
14、6
15、±4
16、①②④
17、（–1，–2）
18、y=2x+1
19、
（1）作图见解析；
（2）①2（2.1到1.8之间都正确）；②该函数有最大值（其他正确性质都可以）．
20、
（1）证明见试题解析；
（2）证明见试题解析．
21、
（1）
；
（2）-3
22、答案见解析
23、0.8m
24、
（1）答案见解析；
（2）证明见解析
25、
（1）4，6；
（2）yBC=x+6，（2≤x≤6）；
.（6≤x≤12）;（3）10
26、
（1）证明见解析；
（2））△PHD的周长不变为定值8，证明见解析；（3）
【解析】
1、试题分析：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得距离为1.2km.
故选：
D
考点：
直角三角形斜边的中线的性质
2、试题分析：
如图，AC⊥BC时，
∵∠ABC=30°，AB=4，
∴AC=
AB=
×4=2，
∵垂线段最短，
∴AC≥2，
∴在1、2、3、4、5中可取的值有2、3、4、5，
当AC=2时可以作1个三角形，当AC=3时可以作2个三角形，当AC=4时可以作1个三角形，当AC=5时可以作1个三角形，共1+2+1+1=5，
所以，三角形的个数是5个．
故选C．
考点：
全等三角形的判定．
3、试题分析：
根据轴对称图形的定义可知：
第1个行标是轴对称图形；第2个行标不是轴对称图形；第3个行标是轴对称图形；第4个行标是轴对称图形；所以共3个轴对称图形，故选：
C.
考点：
轴对称图形
4、试题分析：
根据一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质可知：
当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限．由题意知k＞0，b＜0，因此可得
的图像过一二四象限，不经过三象限．
故选C
考点：
一次函数的图像与性质
5、试题分析：
根据关于x轴对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）得出即可．
解：
∵点P坐标为（2,-3）
∴点P关于x轴的对称点的坐标为：
（2,3）.
故选：
B.
6、试题分析：
先过点A作AC⊥OB，根据△AOB是等边三角形，求出OA=OB＝AB，OC=BC，∠AOB=60°，根据OB的长，求出OC的长，再根据勾股定理求出AC的值，从而得出点A的坐标．
解：
过点A作AC⊥OB,
∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，OC=BC，∠AOB=60°，
∴OC=1，
∴AC=
，
∴点A的坐标是（1,
）.
故选C.
7、试题分析：
首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E点表示的数．
解：
∵AD长为2，AB长为1，
∴AC=
，
∵A点表示−1，
∴E点表示的数为：
−1，
故选：
B.
8、试题分析：
根据作图过程，O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据．
解：
根据作图过程可知O′C′=OC,O′D′=OD,C′D′=CD，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）.
∴∠A′O′B′=∠AOB.
故选B.
点睛：
本题主要考查全等三角形的判定.解题的关键在于要通过尺规作图找出全等的条件.
9、试题分析：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）÷2=72°，
又∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=36°，
故答案为：
36
考点：
等腰三角形的性质；三角形的内角和
10、试题分析：
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：
AB=5，
∵△ABC≌△EDB，
∴BE=AC=4，
∴AE=5﹣4=1.
考点：
全等三角形的性质；勾股定理
11、试题分析：
如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∠BAD=∠CAD，∴DE=CD，∵CD=BC﹣BD=11﹣7=4cm，∴DE=4cm，即点D到AB的距离为4cm．故答案为：
4．
考点：
角平分线的性质．
12、试题分析：
由一次函数y=kx+b当k＜0时，函数值
随着
的增大而减小，可以写个k＜0的一次函数；由反比例函数
，当k＜0时，在每个象限内，函数值
随着
的增大而减小，可以写个k＜0的反比例函数；由二次函数y=
，当a＜0时，函数值
随着
的增大而减小，可以写个a＜0的二次函数y=
，因此这三种情况均可以.
考点：
函数图像的增减性
13、试题分析：
可设三角形三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x=60，求得x=2，所以三角形三边长分别为10，24，26.因为102+242=262，所以三角形为直角三角形，从而求出三角形的面积为
×10×24=120（cm2）.
考点：
方程思想；勾股定理的逆定理；直角三角形的面积公式.
14、试题分析：
折叠后，F与B重合，EF⊥AC,AB=AF=DC,在Rt△EFC中，FC=
=
=4,在Rt△ADC中，（AF+4）2=DC2+AD2,（AB2+4）=AB2+82,所以AB=6.
考点：
轴对称变换、勾股定理
点评：
轴对称变换的基本性质：
（1）对应线段相等，对应角相等；
（2）对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
15、试题分析：
根据平方根的定义进行求解即可.
解：
16的平方根是
.
故答案为：
±4.
16、试题分析：
先利用勾股定理求出a=3
，再根据无理数的定义判断①；根据实数与数轴的关系判断②；利用估算无理数大小的方法判断③；利用算术平方根的定义判断④．
解：
∵边长为3的正方形的对角线长为a，
∴a=
.
①a=3
是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
③∵16<18<25,4<
<5，即4④a是18的算术平方根，说法正确。
故答案为：
①②④.
17、试题分析：
设点A的坐标为（a，a-1），根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数表示出点B的坐标，然后代入y=-3x+5计算即可得解．
解：
∵点A在y=x−1的图象上，
∴设点A的坐标为（a,a−1），
∵点A.B关于原点对称，
∴点B（−a,1−a），
∵点B在y＝－3x＋5的图象上，
∴−3×（−a）+5=1−a，
解得a=−1，
∴点A的坐标为（–1，–2）.
故答案为：
（–1，–2）.
18、试题分析：
由原直线上的两点坐标得到平移后的点的坐标，再用待定系数法即可求出平移后的解析式．
解：
由图象可知，点（0,0）、（2,4）在直线OA上，
∴向上平移1个单位得到的点是（0,1）（2,5），
那么这两个点在将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象y=kx+b上，
则b=1，2k+b=5
解得：
k=2.
∴y=2x+1.
故答案为：
y=2x+1.
点睛：
本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式.解题的关键在于根据图象确定出平移后的点的坐标.
19、试题分析：
（1）描点即可作出函数的图象；
（2）①观察图象可得出结论；
②观察图象可得出结论．
试题解析：
（1）如下图：
（2）①2（2.1到1.8之间都正确）
②该函数有最大值（其他正确性质都可以）．
考点：
函数图象，开放式数学问题．
20、试题分析：
（1）由已知和等腰三角形的性质可得AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，即可得到△ABE≌△ACE，应用全等三角形的性质可得BE＝CE；
（2）由已知证得AF＝BF，由
（1）得∠EAF＝∠CBF，再有∠AFE＝∠BFC＝90°，即可证得△AEF≌△BCF．
试题解析：
证明：
（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．
在△ABE和△ACE中，∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE．∴BE＝CE．（运用垂直平分线的性质说明也可）
（2）∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF．由
（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF．
在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，
∴△AEF≌△BCF．
考点：
等腰三角形的性质；全等三角形的判定和性质．
21、试题分析：
（1）方程系数化为1后，直接开平方即可求出解；
（2）原式利用平方根、立方根及零次幂的定义化简，即可得到结果．
解：
（1）x2=
x＝±
（2）原式="–2–2+1="–3
22、试题分析：
由圆的知识可以得到AP=AQ，BP=BQ，由此可以得到l是在线段PQ的垂直平分线，即可得出结论，
解：
补图：
理由如下：
∵AP=AQ，BP=BQ，
∴点A、B在PQ的垂直平分线上
∴AB垂直平分PQ，即PQ是所求垂线．
23、试题分析：
利用勾股定理即可求解.
解：
在Rt△ABC中，AB=2.5m，BC=0.7m，
∵AC2+BC2=AB2，
∴AC=2.4m.
∵AE=0.4m，
∴CE=2m.
在Rt△CDE中，DE=2.5m，CE=2m，
∵CD2+CE2=DE2，
∴DC=1.5m.
∴DB=0.8m.
24、试题分析：
（1）直接说出勾股定理的内容即可；
（2）利用相等关系：
，即可进行证明
解：
（1）勾股定理：
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，
即：
.
（1）
≌
，
又
.
整理，得
25、试题分析：
（1）根据函数图象可以得到蓄水池中原有蓄水的体积，由2个流量相同的进水口和图象可以求得a的值；
（2）根据函数图象可以分别求得线段BC、CD所表示的y与t之间的函数关系式；
（3）由题意可知，BC上的函数值和CD上的函数值相等，且分别对应的时间差值为3，从而可以求得m的值．
解：
（1）由图象可知,蓄水池中原有蓄水4万米3,
蓄水池达最大蓄水量12万米3的时间a的值为：
2+（12−8）÷（8−42×12）=6，
故答案为：
4，6；
（2）∵B（2,8）,C（6,12）,设直线BC的函数关系式为y=k1x+b1，
由题意,得
，
解得：
.
即直线BC所对应的函数关系式为y=x+6（2⩽x⩽6），
∵C（6,12）,D（12,0）,设直线CD的函数关系式为y=k2x+b2，
由题意,得
，
解得：
.
即直线CD所对应的函数关系式为y=−2x+24（6⩽x⩽12）；
（3）设在BC上蓄水量达到m万米3的时间为t,则在CD上蓄水量达到m万米3的时间为（t+3）h，
由题意,得t+6=−2（t+3）+24，
解得：
t=4，
∴当t=4时，y=4+6=10
即m的值是10.
26、试题分析：
（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在Rt△APE中，（4−BE）2+x2=BE2即可求出用含x的代数式表示的BE的长．
解：
（1）如图1，
∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH−∠EPB=∠EBC−∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．
（2）△PHD的周长不变为定值8．
证明：
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q.
由
（1）知∠APB=∠BPH，
∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP．
∴AP=QP，AB=BQ．
∵AB=BC，
∴BC=BQ．
∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH．
∴CH=QH．
∴△PHD的周长为：
PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．
∵EF为折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，
∴∠EFM=∠ABP．
又∵∠A=∠EMF=90°，
∴△EFM≌△BPA．
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，
（4−BE）2+x2=BE2．
解得：
．
点睛：
本题涉及的知识有正方形的性质、全等三角形的性质及判定、轴对称的性质.灵活应用正方形的性质、轴对称的性质来证明两三角形全等是解题的关键.
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