人教版数学第十八章平行四边形第18讲菱形与矩形.docx

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人教版数学第十八章平行四边形第18讲菱形与矩形

第21讲菱形与矩形

考点·方法·破译

1．理解并掌握菱形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明；

2．理解并掌握矩形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明；

3．理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”并会应用．

经典·考题·赏析

【例1】如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证：

PA＝PQ．

【解法指导】证明线段相等的方法有如下：

（1）在同一三角形中可利用等腰三角形的判定定理；

（2）在不同三角形中可利用全等三角形证明；

⑶利用三角形中位线定理与直角三角形谢边上中线等于斜边一半证明；

（4）利用特殊四边形的边与对角线的关系证明等．

证明：

∵四边形ABCD为矩形，△PBC、△QCD都是等边三角形

∴BA＝CD＝CQ，∠PBA＝30°，BP＝CP，∠DCP＝∠BCQ＝30°，∴∠PCQ＝30°

在△ABP和△QCP中BA＝CQ，∠ABP＝∠QCP，BP＝CP

∴△ABP≌△QCP，∴PA＝PQ

【变式题组】

01．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE与F，连接DE．求证：

DF＝DC．

02．如图，矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于点P，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E．

找出图中与PA相等的线段．并说明理由．

03．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．

【例2】已知：

如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE＞DE，BE＝BC，点O是线段CE的中点．

⑴试说明CE平分∠BED；

⑵若AB＝3，BC＝5，求BO的长；

⑶在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是菱形？

如果存在，试画出点F的位置，并作适当的说明；如果不存在，请说明理由．

【解】⑴∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BCE＝∠DEC．

又∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC．∴∠BEC＝∠DEC，∴CE平分∠BED．

⑵在Rt△中，AB＝3，BE＝BC＝5，∴AE＝4．

在Rt△CDE中，CD＝3，DE＝1，∴EC＝

．

在Rt△BOC中，BC＝5，CO＝

，∴BO＝

＝

．（注：

此处用面积法求BO也可）

⑶在直线AD上存在点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是菱形．

延长ED至F，使得EF＝BC，此时四边形BCFE是菱形．

∵AE＞DE，∴BE＞CE，

因此在EA的延长线上不存在点F，使得四边形BCEF为菱形．

【变式题组】

01．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y＝

的图像上，菱形的面积为_________．

错误！

未指定书签。

02．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

⑴如图1，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；

⑵如图2，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．

【例3】如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，则PE＋PF＝__________．

【解法指导】因为P是AD上任意一点，故想求出PE、PF长的具体数据是不可能的，从特殊位置考虑，当P与A重合时，PE＋PF就等于点A到BD的距离，

因而只需要求出A到BD的距离，事实上利用面积法可以证明下列命题“等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．”

解：

如图，过A作AG⊥BD于G，∵等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和等于腰上的高．

∴PE＋PF＝AG．Rt△ABD中，AD＝12，AB＝5，BD＝13．S△ABC＝

AB•AD＝

BD•AG，∴AG＝

，∴PE＋PF＝

．错误！

未指定书签。

【变式题组】

01．⑴观察与发现：

讲矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B＇处（如图1），折痕为EF．

小明发现△AEF为等腰三角形，你同意吗？

请说明理由．

⑵实验与应用：

以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B的坐标为（9，3），

请求出折痕EF的长及EF所在直线的函数关系式．

02．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠使点B落到B＇的位置，AB＇与CD交于点E．

⑴试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；

⑵若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG＋PH的值，并说明理由．

【例4】如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；

⑴延长MP交CN于点E（如图2）．①求证：

△BPM≌△CPE；②求证：

PM＝PN；

⑵若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN还成立吗？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

⑶若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．

请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN还成立吗？

不必说明理由．

【解法指导】

⑴证明：

①如图2，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，

∵P为BC的中点，∴BP＝CP，又∵∠BMP＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE，

②∵△BPM≌△CPE，∴PM＝PE，∴PM＝

ME，∴在Rt△MNE中，PN＝

ME，∴PM＝PN；

⑵成立，如图3，

证明：

延长MP与NC的延长线相较于点E，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CMN＝90°，∴∠BMN＋∠CNM＝180°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，

∵P为BC的中点，∴BP＝CP，∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE，

∵PM＝PE，∴PM＝

ME，则在Rt△MNE中，PN＝

ME，∴PM＝PN．

⑶四边形MBCN是矩形，PM＝PN成立．

【变式题组】

01．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB＝a．将△ABO沿BO对折于△A’BO，M为BC上一动点，则A’M的最小值为________．

02．如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC＝PA，PD＝PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，

点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．

⑴猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；、

⑵当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，⑴中的结论还成立吗？

说明理由．

⑶如果⑵中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判定四边形EFGH的形状，并说明理由．

03．如图所示，一根长为2a的木棍（AB），斜靠在与地（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．

若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

⑴请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；

⑵在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？

简述理由，并求出面积的最大值．

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01．矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝

，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）

A．

B．2C．3D．

02．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝

，则点B的坐标为（）

A．（

，1）B．（1，

）C．（

＋1，1）D．（1，

＋1）

03．如图，在△ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A’，若四边形ADA’E是菱形，则下列说法正确的是（）

A．DE是△ABC的中位线B．AA’是BC边上的中线

C．AA’是BC边上的高D．AA’是△ABC的角平分线

04．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）

A．

B．

C．

D．3

05．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形．甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），

乙同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是（）

A．甲B．乙C．甲乙相等D．无法判断

06．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝

，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，

下列结论中：

①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED，正确的结论为_________________．

07．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则CE的长为__________．

08．如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF＝____________．

09．红丝带是关注艾滋病防止问题的国际性标志．将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_______cm．

10．如图，一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B’的位置，

若B’为长方形纸片ABCD的对称中心，则

的值是__________．

11．一种千斤顶利用了四边形的不稳定性．如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，

转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）．

若AB＝40cm，当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？

（

＝1．414，

＝1．732，结果保留整数）

12．如图所示，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，

若△ECD的周长为2，△EBA的周长为6．

⑴矩形OABC的周长为_______；

⑵若点A坐标为（

，0），求线段AD所在直线的解析式．

13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，ME⊥AC，MF⊥BC，D是AB的中点．求证：

△DEF是等腰直角三角形．

14．如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，O为AC的中点，延长AB到E，使BE＝AB，连接EO并延长交BC于F，交AD于M．求证：

四边形AFC

M是菱形．

15．如图，矩形ABCD，E是CB延长线上一点，且CE＝CA，F是AE的中点．求证：

DF⊥BF．

16．如图1，在△ABC中，AB＝BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC＝∠AEP＝α（0°＜α＜90°）．

⑴求证：

∠EAP＝∠EPA；

⑵□APCD是否为矩形？

请说明理由；

⑶如图2，F为BC的中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）．

猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．

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01．在一次函数y＝－x＋3的图象上取一点P，作PA⊥x轴，垂足为A，作PB⊥y轴，垂足为B，且矩形OAPB的面积为

，则这样的点P共有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

02．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E、F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠EPC＝（）

A．35°B．45°C．50°D．55°

03.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则微型机器人停在_____点．

04．如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y＝

x＋b恰好将长方形OABC的面积两等分，那么b＝_________．

05．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．

06.Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AB于F，M为EF中点，则AM的最小值为_________．

07．已知如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，BC＝

且∠ADB＝30°，则△ECD的面积为_________．

08．动手操作：

在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．

若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为_________．

09．已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是_________．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别时O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．

若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是__________________．

11．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．

⑴求证：

△BDE≌△BCF；

⑵判定△BEF的形状，并说明理由；

⑶设△BEF的面积为S，求S的取值范围．

12．如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC＝MD，分别过C、D的垂线，设两条垂线的交点为P．求证：

∠PAD＝∠PBC．

13．如图已知五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠EAD，F是CD的中点，求证：

BF＝EF．

14．如图在△ABC中，D是BC边上的中点，E、F分别是AC、AB边上的点，且∠ABE＝∠ACF，OQ⊥AB，OP⊥AC．求证：

DP＝DQ．

15．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．

⑴若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（温馨提示：

如图，可以作点D关于x轴的对称点D’，连接CD’与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的．这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了．）

⑵若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．

16．如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－

x＋b交折线OAB于点E．

⑴记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

⑵当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，

试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

17．⑴操作发现：

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．

小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？

说明理由．

⑵问题解决：

保持⑴中的条件不变，若DC＝2DF，求

的值；

⑶类比探求：

保持⑴中的条件不变，若DC＝nDF，求

的值；