第一章集合与常用逻辑用语15全称量词与存在量词.docx
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第一章集合与常用逻辑用语15全称量词与存在量词
1.5 全称量词与存在量词
课时作业8 全称量词与存在量词
知识点一全称量词和全称量词命题
1.下列命题中全称量词命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形的对角线互相垂直；
③三角形的内角和是180°.
A．0B．1
C．2D．3
答案 C
解析 ①中含有全称量词“任意一个”，故①为全称量词命题；②中含有存在量词“有的”，故②为存在量词命题；③可描述为“所有三角形的内角和为180°”，其中“所有”为全称量词，故③为全称量词命题．故选C.
2．试判断下列全称量词命题的真假：
（1）∀x∈R，x2＋2＞0；
（2）∀x∈N，x4≥1；
（3）∀x∈R，x2＋1≥2.
解
（1）由于∀x∈R，都有x2≥0.因而有x2＋2≥2＞0.即x2＋2＞0，所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题．
（2）由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．
（3）由于0∈R，当x＝0时，x2＋1≥2不成立，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题．
3．若∀x∈R，x2－x＋3（m－1）≠0，求实数m的取值范围．
解 因为∀x∈R，x2－x＋3（m－1）≠0，即关于x的一元二次方程x2－x＋3（m－1）＝0无解，所以Δ＝（－1）2－4×1×3（m－1）<0.解得m>
.故实数m的取值范围为m>
.
知识点二存在量词与存在量词命题
4.下列命题中存在量词命题的个数是（ ）
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sinx|≤1.
A．0B．1
C．2D．3
答案 B
解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题．故有一个存在量词命题．
5．判断下列存在量词命题的真假：
（1）∃x∈Z，x3＜1；
（2）存在一个四边形不是平行四边形；
（3）∃x∈Q，x2＝3；
（4）∃x，y为正实数，x2＋y2＝0.
解
（1）∵－1∈Z，且（－1）3＝－1＜1，
∴“∃x∈Z，x3＜1”是真命题．
（2）真命题，如梯形．
（3）由于使x2＝3成立的数只有±
，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，
所以命题“∃x∈Q，x2＝3”为假命题．
（4）因为x＞0，y＞0，所以x2＋y2＞0，所以“∃x，y为正实数，x2＋y2＝0”为假命题．
6．若∃x∈R，x2＋2x＋a＝0，求实数a的取值范围．
解 因为∃x∈R，x2＋2x＋a＝0，即关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有解，所以Δ＝22－4×1×a＝4－4a≥0.解得a≤1.
故实数a的取值范围为a≤1.
一、选择题
1．下列命题：
①今天有人请假；
②中国所有的江河都流入太平洋；
③中国公民都有受教育的权利；
④每一个中学生都要接受爱国主义教育；
⑤有人既能写小说，也能搞发明创造；
⑥任何一个数除0都等于0.
其中是全称量词命题的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．不少于4个
答案 D
解析 ②③④⑥都含有全称量词．
2.下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是（ ）
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．存在x∈R，使得x2＝x
D．二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点
答案 D
解析 A中含有全称量词“任意的”，故是全称量词命题．由于a2＋b2－2a－2b＋2＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，故A是假命题．B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等，所以B是假命题．C是存在量词命题．故选D.
3．既是存在量词命题，又是真命题的是（ ）
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个x∈R，使x2≤0
C．两个无理数的和是无理数
D．存在一个负数x，使
＞2
答案 B
解析 A，C为全称量词命题．B是存在量词命题，当x＝0时，x2＝0，此命题正确．D显然是假命题．故选B.
4．下列四个命题：
①没有一个无理数不是实数；
②空集是任何一个非空集合的真子集；
③1＋1<2；
④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．
其中是真命题的为（ ）
A．①②③④B．①②③
C．①②④D．②③④
答案 C
解析 ①中表述的为所有无理数都是实数，正确；②空集是任何一个非空集合的真子集，正确；③1＋1＝2，故1＋1＜2为假命题；④当x为整数时，x2－x＋1即为整数，正确．故选C.
5．下面四个命题：
①∀x∈R，x2－3x＋2>0；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.
其中真命题的个数为（ ）
A．3B．2
C．1D．0
答案 D
解析 当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；因为x＝±
时，x2＝2，而±
为无理数，故②为假命题；因为x2＋1＞0（x∈R）恒成立，故③为假命题；原不等式可化为x2－2x＋1＞0，即（x－1）2＞0，当x＝1时，（x－1）2＝0，故④为假命题．故选D.
6．已知命题p：
∃x∈R，x2＋x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>
B．a≤
C．a<
D．a≥
答案 A
解析 假设命题p为真，则∃x∈R，x2＋x＋a＝0，即关于x的一元二次方程x2＋x＋a＝0有解，所以Δ＝12－4a≥0.解得a≤
.因为命题p是假命题，所以a>
.故选A.
二、填空题
7．命题“有些负数满足不等式（1＋x）（1－9x2）>0”用“∃”写成存在量词命题为________．
答案 ∃x＜0，（1＋x）（1－9x2）＞0
解析 命题可分两部分，条件“有些负数”写为“∃x<0”，结论“不等式（1＋x）（1－9x2）>0”写为“（1＋x）（1－9x2）>0”．
8．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.
既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________（填上所有满足要求的序号）．
答案 ①② ③④
解析 ①是全称量词命题，是真命题；②是全称量词命题，是真命题；③含存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；④是存在量词命题，是真命题；⑤是存在量词命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.
9．已知命题“∀x∈R，函数y＝2x2＋x＋a的函数值恒大于0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 a>
解析 由题意可得Δ＝12－4×2×a<0，解得a>
.
三、解答题
10．若x∈R，函数y＝ax2＋x＋1的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
解 若a＝0，则函数为一次函数y＝x＋1，其图象为一条直线，对于x∈R，函数y＝x＋1的图象和x轴恒有公共点．若a≠0，则函数为二次函数y＝ax2＋x＋1，其图象和x轴恒有公共点，只需Δ≥0，即Δ＝1－4a≥0，解得a≤
.综上所述，实数a的取值范围为a≤
.
课时作业9 全称量词命题和存在量词命题的否定
知识点一全称量词命题的否定
1.写出下列全称量词命题的否定：
（1）每一个四边形的四个顶点共圆；
（2）所有自然数的平方都是正数；
（3）任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
（4）对任意实数x，x2＋1≥0.
解
（1）綈p：
存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
（2）綈p：
有些自然数的平方不是正数．
（3）綈p：
存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
（4）綈p：
存在实数x，使得x2＋1＜0.
2．写出下列全称量词命题p的否定，并判断p的否定的真假．
（1）p：
∀x＞0，x＋
≥2；
（2）p：
所有矩形的对角线相等；
（3）p：
不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根．
解
（1）綈p：
∃x＞0，x＋
＜2.假命题．
（2）綈p：
有的矩形的对角线不相等．假命题．
（3）綈p：
存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实数根．真命题.
知识点二存在量词命题的否定
3.写出下列存在量词命题p的否定，并判断其否定的真假．
（1）p：
∃x>1，x2－2x－3＝0；
（2）p：
有些自然数是奇数；
（3）p：
有些平行四边形不是矩形．
解
（1）綈p：
∀x＞1，x2－2x－3≠0.（假）．
（2）綈p：
所有的自然数都不是奇数．（假）．
（3）綈p：
所有的平行四边形都是矩形．（假）．
4．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
（1）有些实数的绝对值是正数；
（2）某些平行四边形是菱形；
（3）∃x，y∈Z，
x＋y＝3.
解
（1）命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
（2）命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
（3）命题的否定是“∀x，y∈Z，
x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，
x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
5．
（1）已知对任意的1≤x≤3，都有m≥x，求实数m的取值范围；
（2）已知存在实数1≤x≤3，使m≥x，求实数m的取值范围．
解
（1）由于对任意的1≤x≤3，都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.
（2）由于存在实数1≤x≤3，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.
6．已知函数y＝x2－2x＋5.
（1）是否存在实数m，使不等式m＋y>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
（2）若存在一个实数x，使不等式m－x2＋2x－5＞0成立，求实数m的取值范围．
解
（1）不等式m＋y>0可化为m>－y，
即m>－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.
要使m>－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋y>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
（2）不等式m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5，若存在一个实数x，使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>ymin.
又y＝（x－1）2＋4，
∴ymin＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是m>4.
一、选择题
1．已知命题p：
∀x>0，（x＋1）ex>1，则綈p为（ ）
A．∃x≤0，（x＋1）ex≤1B．∃x＞0，（x＋1）ex≤1
C．∀x＞0，（x＋1）ex≤1D．∀x≤0，（x＋1）ex≤1
答案 B
解析 全称量词命题的否定是存在量词命题．因此綈p为∃x＞0，（x＋1）ex≤1.故选B.
2．命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是（ ）
A．∃x∉∁RQ，x3∈QB．∃x∈∁RQ，x3∉Q
C．∀x∉∁RQ，x3∈QD．∀x∈∁RQ，x3∉Q
答案 D
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题．因此选D.
3．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n∈N*，n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，n＜x2
答案 D
解析 根据含有量词的命题的否定，可知选D.
4．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：
∀x∈A,2x∈B，则（ ）
A．綈p：
∀x∈A,2x∉BB．綈p：
∀x∉A,2x∉B
C．綈p：
∃x∉A,2x∈BD．綈p：
∃x∈A,2x∉B
答案 D
解析 “任意”的否定是“存在”，则命题p：
∀x∈A,2x∈B的否定是綈p：
∃x∈A,2x∉B.
5．下列四个命题中的真命题为（ ）
A．∃x∈Z,1＜4x＜3B．∃x∈Z,5x＋1＝0
C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋2＞0
答案 D
解析 1＜4x＜3，
＜x＜
，这样的整数x不存在，故A为假命题；5x＋1＝0，x＝－
∉Z，故B为假命题；x2－1＝0，x＝±1，故C为假命题；对任意实数x，都有x2＋x＋2＝
2＋
＞0，故选D.
6．对下列命题的否定说法错误的是（ ）
A．p：
能被2整除的数是偶数；綈p：
存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：
有些矩形是正方形；綈p：
所有的矩形都不是正方形
C．p：
有的三角形为正三角形；綈p：
所有的三角形不都是正三角形
D．p：
∃n∈N,2n≤100；綈p：
∀n∈N,2n>100.
答案 C
解析 C中綈p：
所有的三角形都不是正三角形，故C错误．
二、填空题
7．命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________．
答案 存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3
解析 “任意x∈R”的否定为“存在x∈R”，“|x－2|＋|x－4|>3”的否定为“|x－2|＋|x－4|≤3”．
8．已知p（x）：
x2＋2x－m＞0，如果p
（1）是假命题，p
（2）是真命题，则实数m的取值范围是________．
答案 3≤m<8
解析 ∵p
（1）是假命题，p
（2）是真命题．
∴
解得3≤m＜8.
9．若命题“∃x∈R，x2＋4x＋c≤0”为假命题，则实数c的取值范围是________．
答案 c>4
解析 因为命题“∃x∈R，x2＋4x＋c≤0”为假命题，所以该命题的否定“∀x∈R，x2＋4x＋c>0”为真命题，故Δ＝42－4×1×c<0.解得c>4.
三、解答题
10．写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）p：
∀x∈R，x2－x＋
≥0；
（2）q：
所有的正方形都是矩形；
（3）r：
∃x∈R，x2＋2x＋2≤0.
解
（1）綈p：
∃x∈R，x2－x＋
<0，假命题．
∵∀x∈R，x2－x＋
＝
2≥0，
∴綈p是假命题．
（2）綈q：
有的正方形不是矩形，假命题．
（3）綈r：
∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
∵∀x∈R，x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1≥1>0，
∴綈r是真命题．
11．已知函数y＝x2－2x＋3,0≤x≤3，若m－y>0有解，求实数m的取值范围．
解 ∵y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2,0≤x≤3.
∴当x＝1时，ymin＝2；
当x＝3时，ymax＝6，
又m＞y有解，只需m＞ymin，
即m＞2.
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