函数的概念和性质章节练习.docx
《函数的概念和性质章节练习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的概念和性质章节练习.docx（46页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
函数的概念和性质章节练习
专题讲座
高中数学“函数的概念与性质”教学研究
李梁北京市西城区教育研修学院
函数是中学数学中的重点内容，它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.
本专题内容由四部分构成：
关于函数内容的深层理解；函数概念与性质的教学建议；学生学习中常见的错误分析与解决策略；学生学习目标检测分析.
研究函数问题通常有两条主线：
一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面：
函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等.
一、关于函数内容的深层理解
（一）函数概念的发展史简述
数学史角度：
早期函数概念（Descartes，1596—1650引入坐标系创立解析几
何，已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系）[几何角度]；Newton，1642—1727，用数流来定义流量（fluxion）的变化率，用以表示变量间的关系；Leibniz，1646—1716引入常量、变量、参变量等概念；Euler引入函数符号
，并称变量的函数是一个解析表达式[代数角度]；Dirichlet，1805—1859提出
是
与
之间的一种对应的观点[对应关系角度]；Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度].
Dirichlet：
认为怎样去建立
与
之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：
“对于在某区间上的每一个确定的
值，
都有一个确定的值，那么
叫做
的函数.”这种函数的定义，避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确（经典函数定义）.
Veblen，1880－1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是其它对象.
（二）初高中函数概念的区别与联系
1．初中函数概念：
设在某个变化过程中有两个变量
，如果对于
在某个范围内的每一个值，
都有唯一的值与它对应，我们就说
是
的函数，
叫自变量，
叫
的函数.
2．高中函数概念：
（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射.记作
，其中
叫原象，
叫象.
（2）设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数.记作
.
其中x叫做自变量，自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的定义域.所有函数值构成的集合
叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全确定.
（3）函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象.
构成函数的三要素：
定义城，值域和对应法则，其中定义域和对应法则是核心.
（三）函数在整个数学知识体系中的地位及作用
函数是中学数学最重要的基本概念之一，其核心内涵为从非空数集到非空数集的映射；函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础；它不仅对前面学习的集合知识做了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具；函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切；函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用；函数概念及其反应的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础.
（四）函数的概念与性质结构框图
（五）函数的概念与性质教学重点和难点
教学重点：
1．函数的概念
2．函数的基本性质
3．基本初等函数的图象和性质
教学难点：
1．函数概念的理解
2．对函数的单调性、奇偶性、周期性实质的把握
3．运用基本初等函数的图象和性质解决简单问题
二、函数概念与性质的教学建议：
（一）如何深入把握函数的概念？
1．映射与函数的教学建议：
教学中，由于映射与函数的概念比较抽象，不易把握，故本部分内容宜采用教师引导，师生共同研讨的方式来学习.
在教学中，教师可以类似举如下的例子进行剖析：
例1：
设集合
和
都是自然数集合
.映射
把集合
中的元素
映射到集合
中的元素
则在映射
作用下,2的象是_______；20的原象是________.
分析：
由已知，在映射
作用下
的象为
.
所以，2的象是
；
设象20的原象为
，则
的象为20，即
.
由于
，
随着
的增大而增大，又
，所以20的原象是4.
这个例子要求学生理解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象.能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时，题目中兼顾对于函数
性质的探究，具有一定的综合程度.
二、函数概念与性质的教学建议：
（一）如何深入把握函数的概念？
1．映射与函数的教学建议：
教学中，由于映射与函数的概念比较抽象，不易把握，故本部分内容宜采用教师引导，师生共同研讨的方式来学习.
在教学中，教师可以类似举如下的例子进行剖析：
例1：
设集合
和
都是自然数集合
.映射
把集合
中的元素
映射到集合
中的元素
则在映射
作用下,2的象是_______；20的原象是________.
分析：
由已知，在映射
作用下
的象为
.
所以，2的象是
；
设象20的原象为
，则
的象为20，即
.
由于
，
随着
的增大而增大，又
，所以20的原象是4.
这个例子要求学生理解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象.能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时，题目中兼顾对于函数
性质的探究，具有一定的综合程度.
2．函数的定义域问题：
确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件，因此对于一个函数问题，首先要明确自变量的取值集合.教学中，教师可通过类似下述问题明确求函数定义域的几类常见问题：
例2：
求下列函数的定义域：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
解：
（1）由
，得
，所以
或
，所以
或
.
所以，所求函数的定义域为
.
（2）由
得，
或
.
所以，所求函数的定义域为
.
（3）由
得
，且
，
，
所以，所求函数的定义域为
（4）由
得
即
所以
.
所以，所求函数定义域为
.
例3：
如图，用长为
的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为
，求此框架围成的面积
与
的函数关系式，并指出定义域.
解:
根据题意,
.
弧长为
，所以
.
所以，
.
根据问题的实际意义.
.
解
得
.
所以，所求函数定义域为
.
上述求函数定义域问题涵盖了确定函数定义域的两种类型问题.
（1）给出函数解析式求定义域（如例2），这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的.
中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：
①分式中分母不为零；
②偶次方根下被开方数非负；
③零次幂的底数要求不为零；
④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；
⑤
，则
.
（2）在实际问题中求函数的定义域（如例3）.在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制,还应考虑实际问题对自变量的限制.
另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的.比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域.
3．函数的对应法则问题：
确定函数的对应法则（即求函数的解析式）是有关函数概念中的重要问题，教学中教师可以设置如下相关题组，和学生共同解决.
例4：
（1）已知
，求
的解析式；
（2）已知
，求
的值；
（3）如果
为二次函数，
，并且当
时，
取得最小值
，求
的解析式；
（4）已知函数
与函数
的图象关于直线
对称，求
的解析式.
分析：
（1）求函数
的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决
（1）这样的问题.
方法一：
.通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则
是“原象对应于原象除以原象的平方减1”.所以，
.
方法二：
设
则
.则
，所以
.
这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么.
（2）用“凑型”的方法，
.所以
，
.
（3）因为
为二次函数，并且当
时，
取得最小值
，
所以，可设
，
又
，所以
，所以
.
.
（4）这个问题相当于已知
的图象满足一定的条件，进而求函数
的解析式.所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求
的解析式.
设
的图象上任意一点坐标为
，则
关于
对称点的坐标为
，由已知，点
在函数
的图象上，
所以，点
的坐标
满足
的解析式，即
，
所以，
.
由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有像
（1）
（2）所用到的“凑形”及“换元”的方法；有像（3）所用到的待定系数法；也有像（4）所用到的解析法.
值得注意的是（4）中所用的解析法.在求函数解析式或求曲线的轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法.同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的取系.
（二）教学中如何突出函数性质的本质？
函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等，侧重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用.这部分内容常用到数形结合的思想方法.
1．关于基本概念的理解：
（1）设函数
的定义域为
，如果对于
内的任意一个
，都有
，且
，则这个函数叫做奇函数.
设函数
的定义域为
，如果对于
内任意一个
，都有
，且
，则这个函数叫做偶函数.
由奇函数定义可知，对于奇函数
，点
与点
都在其图象上.又点
与点
关于原点对称，我们可以得到：
奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以
轴为对称轴的轴对称图形.
（2）一般地，设函数
的定义域为
，区间
.如果取区间
中的任意两个值
，
，改变量
，则
当
时，就称函数
在区间
上是增函数；
当
时，就称函数
在区间
上是减函数.
如果一个函数在某个区间
上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间
上具有单调性，区间
称为单调区间.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
（3）一般地，对于函数
，如果存在一个不为零的常数
，使得当
取定义域中的每一个值时，
都成立，那么就把函数
叫做周期函数，不为零的常数
叫做这个函数的周期.
（4）一般地，对于函数
，如果存在一个不为零的常数
，使得当
取定义域中的每一个值时，
都成立，则函数
的图象关于直线
对称.
这四个概念都比较抽象，建议讲述相关概念时采用数形结合的手段，不断揭示概念的几何背景，进而完善学生对概念的认识.
2．关于函数的奇偶性问题：
对于函数的奇偶性，要求学生会判断及简单应用.教学中可给出如下题组：
例1：
判断下列函数的奇偶性.
（1）
；
（2）
；（3）
；
（4）
；（5）
.
解：
（1）解
，得到函数的定义域为
或
，关于原点不对称，
所以此函数为非奇非偶函数.
（2）函数的定义域为
，但是，由于
，
，
即
，且
，
所以此函数为非奇非偶函数.
（3）函数的定义域为
，又
，
所以此函数为偶函数.
（4）解
，得
，
又
，
所以此函数为奇函数.
（5）函数的定义域为
，又
，
所以此函数为奇函数.
通过本例及函数奇偶性的定义，进一步可以得到下面几个结论：
①一个函数是奇（或偶）函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；
②
是奇函数，并且
在
时有定义，则必有
；
③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为
，等.
判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：
①判断函数的定义域是否关于原点对称；
②考察
与
的关系.
由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶
函数四类.
例2：
已知
为奇函数，当
时，
，
（1）求
的值；
（2）当
时，求
的解析式.
解：
（1）因为
为奇函数，所以
.
（2）方法一:
当
时,
.
所以，
.
方法二:
设
是
在
时图象上一点,则
一定在
在
时的图象上.
所以，
，
.
上述三个例子分别从具体函数、抽象函数、以及奇偶性的应用上加深对概念的理解.
3．关于函数的单调性问题：
例3：
用函数单调性定义证明，函数
在区间
上为增函数.
证明：
设
，
因为
，所以
，又因为
，
所以
，
，
所以
，
函数
在区间
上为增函数.
例4：
设
是定义域为
的奇函数，且它在区间
上是减函数.
（1）试比较
与
的大小；
（2）若
，且
，求证：
.
解：
（1）因为
是奇函数，所以
，
又
在区间
上是减函数，所以
，即
.
（2）因为
，所以
异号，不妨设
，
因为
，所以
，
因为
，
，
在区间
上是减函数，
所以
，
因为
是奇函数，所以
，
所以
，即
.
总之，函数的单调性是我们研究的极为重要的函数性质，其与其它问题的联系、自身的应用都很广泛，在教学中要予以充分注意.
（三）怎样有效提升学生对基本初等函数的图象与性质的把握？
基本初等函数包括:
二次函数、指数函数、对数函数和幂函数.
函数的图象上直观地反映着函数的性质,学习函数的“捷径”是熟知函数的图象.熟知函数图象包括三个方面：
作图，读图，用图.
掌握初等函数一般包括以下一些内容：
首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质.函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑.
函数的定义（通常情况下是解析式）决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质.
1．关于二次函数的处理：
对于二次函数，初中已有研究，但高中阶段处理二次函数的视角又和初中有所不同.
例如：
设
是实数，证明关于
的方程
有两个不相等的实数解.（初中、高中的不同处理方法）
教学中可以参考如下的题目：
例1：
（1）如果二次函数
在区间
上是增函数，则
的取值范围是________.
（2）二次函数
的最大值恒为负，则
的取值范围是_______.
（3）函数
对于任意
均有
，则
，
的大小关系是_____________.
解：
（1）由于此抛物线开口向上，且在
上是增函数，
画简图可知此抛物线对称轴
或与直线
重合，或位于直线
的左侧，
于是有
，解之得
.
（2）分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数
，且判别式
”，
即
解得
.
（3）因为对于任意
均有
，所以抛物线对称轴为
.
又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得
.
例2、已知二次函数
的对称轴为
，且图象在
轴上的截距为
，被
轴截得的线段长为
，求
的解析式.
解：
解法一：
设
，
由
的对称轴为
，可得
；
由图象在
轴上的截距为
，可得
；
由图象被
轴截得的线段长为
，可得
均为方程
的根.
所以
，即
，所以
.
.
解法二：
因为图象被
轴截得的线段长为
，可得
均为方程
的根.
所以，设
，
又
图象在
轴上的截距为
，即函数图象过
点.
即
.所以
.
二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重.
二次函数的解析式有三种形式：
一般式
；顶点式
，其中
为顶点坐标；
双根式
，其中
为函数图象与
轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根.
例1、2两个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用.这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用.
2．关于指数函数、对数函数和幂函数的处理：
这三种基本初等函数是在研究一般函数基础上的重要模型，教学中建议采用如下问题突出相关函数性质的应用.
例3、比较下列各小题中各数的大小：
（1）
与
；
（2）
；（3）
与
；
（4）
与
；（5）
与
；（6）
.
分析：
（1）
是减函数,
.
（2）函数
在区间（0,+
）上是增函数，所以
，
函数
在区间（0,+
）上是减函数，所以
，
所以
.
（3）由于
所以
.
（4）利用幂函数和指数函数单调性.
.
（5）因为
.根据不等式的性质有
.
（6）因为
，所以
，即
；
比较
与
，只需比较
与
，
因为
是增函数，所以只需比较
与
的大小，
因为
，所以
，所以
，
综上，
.
例4：
已知
，比较
的大小.
分析：
方法一（作商比较法）
，又
，所以
，
所以
，所以
.
方法二（作差比较法）
，
因为
，所以
，
所以
，即
.
方法三（构造函数）
令
，将
看作是关于
的一次函数，
因为
，所以此函数为减函数，又
，
，
所以
，即
.
两个数比较大小的基本思路：
如果直接比较，可以考虑用比较法（包括“作差比较”与“作商比较”，如例4的方法一与方法二），或者利用函数的单调性来比较（如例3
（1）
（2）（3），例4的方法三）.
如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较（如例3（4）（5）（6））.
三、学生学习中常见的错误分析与解决策略
例1：
下列四组函数中，表示同一个函数的是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
易错点：
①定义域；②对应法则；③函数的概念.
错因分析：
①忽视函数的定义域；②不清楚函数概念的实质，如（B）中表示自变量的字母不同，就误认为不会是同一个函数.
解题策略：
判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与对应法则是否完全相同.
一般有两个步骤：
（1）在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致.
（2）对解析式进行合理变形的情况下，看对应法则是否一致.
分析：
（A）（C）（D）中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数.（B）中两个函数的定义域相同，化简后为
及
，对应法则也相同，所以选（B）.
这个例子可以有效检测学生对函数概念的把握，同时突出映射与函数概念的联系.
例2：
已知函数
的定义域为
，求函数
及
的定义域.
易错点：
①对应法则定义域；②定义域的概念.
错因分析：
①对对应法则的符号不理解；②不清楚定义域的含义.
解题策略：
此题的题设条件中未给出函数
的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：
①定义域是指
的取值范围；②受对应法则
制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的.那么由
的定义域是
可知法则
制约的量的取值范围是
，而在函数
中，受
直接制约的是
，而定义域是指
的范围，因此通过解不等式
得
，即
的定义域是
.同理可得
的定义域为
.
例3：
设函数
在
上有定义，
的值不恒为零，对于任意的
，恒有
成立，则函数
的奇偶性为_________.
易错点：
①抽象函数；②对“恒成立”的理解.
错因分析：
①抽象函数的有关性质；②对“恒成立”的理解不清晰，不能将其转化为所需求的结构.
解题策略：
关于对抽象函数“
”的使用一般有以下两个思路：
令
为某些特殊的值，如本题解法中，令
得到了
.当然，如果令
则可以得到
，等等.
令
具有某种特殊的关系，如本题解法中，令
.得到
，在某些情况下也可令
，等等.
总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理.在不是很熟悉的时候，要有试一试看的勇气.
解：
令
，则
，所以
，
再令
，则
，所以
，又
的值不恒为零，故
是奇函数而非偶函数.
例4：
已知函数
是定义域为
的单调增函数.
（1）比较
与
的大小；
（2）若
，求实数
的取值范围.
易错点：
①函数概念；②增函数.
错因分析：
①对函数概念中的对应法则的理解不清楚；②没有理解增函数概念的实质，不会将其应用于解决问题.
解题策略：
回顾单调增函数的定义，在
，
为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：
的符号；
的符号；函数
在区间上是增还是减.
由定义可知：
对于任取的
，若
，且
，则函数
在区间上是增函数；
不仅如此，若
，且函数
在区间上是增函数，则
；
若
，且函数
在区间上是增函数，则
；
于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着自然的联系，请结合例4加以体会.
解：
（1）因为
，所以
，
由已知，
是单调增函数，所以
.
（2）因为
是单调增函数，且
，所以
，
解得
或
.
四、学生学习目标检测分析
（一）课程标准中的相关要求
1．函数
①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如，图像法、列表法、解析法）表示函数。
③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。
⑤学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
2．指数函数
①通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。
②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
3．对数函数
①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。
②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
③知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数。
（a>0,a≠1）4．幂函数
通过实例，了解幂函数的概
升级会员 