统计学常用分布及分位数.docx

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统计学常用分布及分位数

§1、4常用得分布及其分位数

　１、卡平方分布

　　卡平方分布、t分布及F分布都就是由正态分布所导出得分布,它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。

　　当Ｘ１、X２、…、Ｘn相互独立且都服从N（0，1）时，Z＝　得分布称为自由度等于n得分布，记作Ｚ～（n），它得分布密度　　ｐ（ｚ）=

式中得=，称为Gamma函数,且=1，=。

分布就是非对称分布，具有可加性,即当Y与Ｚ相互独立,且Y～（n），Z~（ｍ），则Y+Z～（n+m）。

证明：

先令Ｘ１、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xｎ+m相互独立且都服从N（０,1）,再根据分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令

　Y＝X＋X+…+Ｘ，Z=X＋X+…+X，

　Y+Ｚ=Ｘ+Ｘ+…+X＋Ｘ+X+…+X，

即可得到Y+Ｚ~（ｎ+m）。

２、t分布　若X与Y相互独立，且

　　X~N（０，1），Y~（n），则Z＝得分布称为自由度等于n得t分布，记作Z~t（n），它得分布密度

　P（z）=。

请注意：

t分布得分布密度也就是偶函数，且当n＞30时，ｔ分布与标准正态分布Ｎ（0，1）得密度曲线几乎重叠为一。

这时，t分布得分布函数值查Ｎ（0,1）得分布函数值表便可以得到。

3、F分布若X与Y相互独立,且Ｘ～（ｎ）,Y~（m），

　则Z=得分布称为第一自由度等于ｎ、第二自由度等于m得Ｆ分布，记作Z~F（n,ｍ）,它得分布密度　　　　　

p（z）=

请注意:

F分布也就是非对称分布,它得分布密度与自由度得次序有关,当Ｚ~F（ｎ，　m）时,～F（m，n）。

4、t分布与Ｆ分布得关系

若Ｘ～t（n）,则Y=X～F（1，ｎ）.

证：

X~t（n），X得分布密度p（x）=。

　Y=X得分布函数F（y）＝Ｐ｛Y

当y0时,F（y）=0,p（y）＝0;

当y＞0时，F（y）　＝P{—

＝=２，

Ｙ=X得分布密度p（y）＝，

与第一自由度等于1、第二自由度等于n得Ｆ分布得分布密度相同,因此Y＝Ｘ～Ｆ（１，n）。

　为应用方便起见，以上三个分布得分布函数值都可以从各自得函数值表中查出.但就是,解应用问题时,通常就是查分位数表。

有关分位数得概念如下:

4、常用分布得分位数

1）分位数得定义

　　分位数或临界值与随机变量得分布函数有关,根据应用得需要，有三种不同得称呼,即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们得定义如下：

当随机变量X得分布函数为　F（x）,实数α满足0＜α〈1

时，α分位数就是使P｛Ｘ〈xα｝=F（xα）=α得数xα，

上侧α分位数就是使P{X>λ｝=１－F（λ）=α得数λ,

双侧α分位数就是使P{X＜λ1｝＝Ｆ（λ1）=０、5α得数λ１、使

P{X>λ2}=1－F（λ２）=0、5α得数λ2。

因为1-F（λ）=α，F（λ）=１—α，所以上侧α分位数λ就就是１-α分位数x1－α；

　F（λ1）=0、５α,1－Ｆ（λ2）=0、5α，所以双侧α分位数λ1就就是０、5α分位数x0、5α，双侧α分位数λ2就就是1—0、5α分位数x1-０、5α。

2）标准正态分布得α分位数记作uα,0、5α分位数记作u　0、5α，1－0、5α分位数记作u1—0、5α。

当X～Ｎ（0,1）时，P{X〈uα}＝F0，1（uα）=α,

P{Ｘ

P{X

根据标准正态分布密度曲线得对称性，

当α=０、5时,uα=0；

当α〈０、５时,uα〈0。

ｕα=—ｕ１－α.

如果在标准正态分布得分布函数值表中没有负得分位数,则先查出u　1-α，然后得到ｕα＝—u1—α。

论述如下：

当X～N（0，1）时，P｛X

Ｐ｛X〈ｕ　1-α｝=　Ｆ0,1（u　1－α）=1—α，

P｛Ｘ>　ｕ　　１-α}=１—　F0，1（u1-α）＝α，

故根据标准正态分布密度曲线得对称性，uα=—u1－α.

例如，u０、１0=-ｕ0、90=—1、282,

u０、05＝-ｕ０、９5=－１、645,

u0、０1=-u０、99=—2、３２6，

u0、025=—u0、975=－１、960，

u　０、005=-u0、９９5＝—2、576.

又因为P｛｜Ｘ｜〈ｕ1—0、5α}=1-α,所以标准正态分布得双侧α分位数分别就是u１—0、5α与-u1—０、5α。

　标准正态分布常用得上侧α分位数有:

α=0、10,ｕ　0、90=1、282；

α=0、０5,u0、95=１、645；

α＝0、01，u０、９9=2、３２6;

α=０、02５，ｕ０、９75＝１、96０;

α=０、005，u　０、9９5＝2、576。

　3）卡平方分布得α分位数记作α（n）。

α（ｎ）＞0，当X~（n）时,P{Ｘ〈α（ｎ）｝=α。

例如，0、005（4）=0、21，0、02５　（４）=0、４8，

0、０５　（４）=０、71,０、95（4）＝9、４９，

０、9７5（4）=11、１，０、99５（4）=14、９。

４）t分布得α分位数记作tα（n）.

当X～t　（n）时,P{X＜t　α（ｎ）｝＝α,且与标准正态分布相类似,根据ｔ分布密度曲线得对称性，也有

tα（ｎ）＝—t　1—α（n）,论述同uα＝－ｕ　1－α。

例如，t0、９5（４）=2、１32，ｔ０、975（4）＝2、77６,

t0、9９5（4）＝４、6０４，t　０、00５（４）=-4、６04,

t0、0２5（4）＝-２、776，t０、05（４）＝－2、13２.　　

另外,当ｎ〉3０时，在比较简略得表中查不到tα（n），可用uα作为ｔα（n）得近似值。

5）F分布得α分位数记作Fα（n,m）。

Fα（n　,m）>0，当X～F（n，ｍ）时，Ｐ｛X＜Fα（n，m）｝=α。

另外，当α较小时，在表中查不出Fα（n,m），须先查

F１-α（m,n）,再求Fα（n，ｍ）=。

论述如下:

当X～Ｆ（m，　ｎ）时,Ｐ{X〈F１—α（m,　n）｝=1-α，

P{>｝＝1—α，P｛<}=α，

又根据F分布得定义，~F（ｎ,m）,Ｐ｛

因此　Fα（n，m）＝。

例如，Ｆ　0、９５（3，4）=6、5９，F0、975（3，4）=9、98，

F　０、9９（3，4）=1６、7，Ｆ　０、９5　（4,3）=９、12,

F0、９7５　（4，３）＝１５、1，F0、99（4，3）=2８、7，

F0、01（3,4）=，Ｆ0、025（3,４）=，F　０、05　（3,4）=。

【课内练习】

　１、求分位数①0、０5（8）,②0、９5（１2）。

２、求分位数①t0、05（8），②t　0、9５（12）。

３、求分位数①F0、05（7，5）,②F0、9５（10，1２）。

　4、　由u　0、９75＝1、960写出有关得上侧分位数与双侧分位数。

　　５、由t0、9５（4）=2、132写出有关得上侧分位数与双侧分位数。

　6、若X～（4）,Ｐ｛X＜0、71１｝=0、05,P{X<9、49｝=0、95，试写出有关得分位数。

　　7、若X~F（５，3），P｛X<9、01}=0、95，Ｙ~F（３，5）,｛Y<5、41}=

0、95，试写出有关得分位数.　　　　

8、设X、X、…、X相互独立且都服从N（0,0、09）分布,

试求P{＞1、44}.

习题答案：

1、①2、73，②２１、0。

2、①-1、860，②１、７82。

３、①,②3、3７.４、１、96０为上侧0、０２5分位数，－1、960与1、96０为双侧0、0５分位数.5、2、13２为上侧0、0５分位数，－2、１32与2、１３２为双侧0、1分位数.6、0、7１1为上侧０、９5分位数，9、４9为上侧０、05分位数,0、71１与19、49为双侧0、1分位数.７。

9。

０1为上侧0、05分位数，5、41为上侧0、0５分位数,与5、4１为双侧0、１分位数,与9、01为双侧0、1分位数。

8、０、1。