高二数学竞赛班一试讲义.docx
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高二数学竞赛班一试讲义
高二数学竞赛班一试讲义
第3讲函数与反函数
班级姓名
一、知识要点:
1函数与映射的定义
函数：
若A,B都是非空数集，依对应法则f，若对A中的任意一个数X,在B中都有唯一一个数y与之对应，则称f:
AtB为A到B上的一个函数。
A称为它的定义域，集合{f（x）|x€A}叫函数的值域。
（1）映射，对于任意两个集合A,B,依对应法则f,若对A中的任意一个元素X,在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:
AtB为一个映射。
（2）单射，若f:
AtB是一个映射且对任意x,y€A,x=y,都有f（xp=f（y）则称之为单射。
（3）满射，若f:
AtB是映射且对任意y€B，都有一个x€A使得f（x）=y,则称f:
AtB是A到B上的满射。
（4）一一映射，若f:
AtB既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f1：
Atb。
2、反函数
若函数f:
AtB（通常记作y=f（x））是一一映射，则它的逆映射f1：
Atb叫原函数的反函数，
通常写作y=f-1（x）.这里求反函数的过程是：
在解析式y=f（x）中反解x得x=f-1（y）,然后将x,y
互换得y=F（x），最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
若某一函数与其反函数表示同
函数时，那么此函数的图像就关于直线y=x对称。
定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
例题精析
例2.求函数f（x）=、-x2•10x-9•-x268x-256的最大值.
例3.方程卩|卅X—1|—2]川卜2011]=2011—共有个解.
例5.（2014华约）（I）求证：
y=f（g（x））的反函数为y=g」（f」（x））；
（n）F（x）二f（—x）,G（x）二f」（-x），若F（x）二G」（x），求证：
f（x）为奇函数.
例6.（2014华约）已知N,x^n,求证:
X、nx..2
n-n
（1）ex.
n
例7.设u是方程x3-3x70=0…①的根，f（x）是系数为有理数的二次多项式，且
12
（u2u-2）,f（：
）=u，求f（0）.（2010华约）
二、精选习题
1已知f（x）,g（x）,h（x）为一次函数，若对实数x满足
-1,^-1
|
f（x）_g（x）+h（x）=<3x+2,_1兰xcO，则h（x）的表达式为（）。
-2x2,x_0
A1c111
A.h（x）二xB.h（x）--xC.h（x）--xD.h（x）=x
2222
「aa>b
2.对a,b^R,记max{a,b}=丿'函数f（x）=max{|x+1|,|x-2|}（xeR）的最小值是
b,avb「a,（aAb）2
3.定义max（a,b）=2,f（x）=max（x-1，一x十6x—5），若f（x）=m有
lb,（acb）
四个不同的实数解，则实数m的取值范围是.
4.设a是正实数.若f（x）=x2-6ax10a2•:
x22ax5a2,xR的最小值为
10,则a=.
5.函数f（x）=x4-3x2-6x-13-、{x4-x21的最大值为
1111
6.（2013福建）函数f（x）图像的对称中心是
x+1x+2x+3x+2013
7.已知f（x）=x2—53x+196+x2—53x+196，求f
（1）+f
（2）+|"+f（50）的值。
&设a1,a2jH,a20n,b1,b2j|l,b2011为互不相等的实数，将它们按如下方法填入一张
2011x2011的方格表中，即在位于第i行与第j列的交叉处的方格中填入数a+bj；
已知表中任一行的各数的乘积皆是2011，证明：
表中任一列的各数的乘积也是2011.
b+1
9.设函数f（x）#lg（x1）|，实数a,b（a：
：
：
b）满足f（a）二f（_b'）,f（10a6b21^4lg2,
b+2
求a,b的值.
3
10.（2011安徽）设f（x）二axbxc（a,b,c是实数），当0乞x乞1时，0_f（x）_1.求b的最大可能值.
11.（04全国联赛）已知:
是方程4x2-4tx-1=0（rR）的两个不等实根,函数f（x）=字-的定义域为X,：
1。
x+1
（[）求g（t）=maxf（x）_minf（x）；
（n）证明：
对于u「（0,）（i=1,2,3），若sinqsinu2sinu3=1,
2
则1-11-36。
g（tanu1）g（taun）g（3uan）4
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第3讲函数与反函数
AAO
即当x=——,f（x）取得最大值3.35.
17
解二：
禾U用話..C3_,（ac）（bd）,
（因为abcd2.abed_abcd（adbc），即（.,abgCd）2乞（ac）（bd）,两边开方便得上式，其中取等号当且仅当ad=bc）；
因此f（x）h：
；（x=1）（9=x）,（64二x）（x二4）乞.（x匚厂64二x）（9二x—x二4）
=.635^335，其中取等号当且仅当（x-1）（x-4）=（9-x）（64-x），即x二143.
17
例3.•方程|x—1=1的所有解为x=0或士2;
方程卜—1—2=2的所有解为x=±1或士5;
例5.
结论：
（-24）
九（1〉求证；、=的反倒助」・
<2）F（x）=/（-x）1（X^-/_X*x）,若FCO=G“（R»求证；才⑴为商函如・®3：
⑴V=f（g（.x））f~l（y）=g（x）g_1（/_1（y>）=X^y=s~1（f~1^y
<2）由y=G（x）=r1（-x）r求Ulj=G（x）^>=/-1（-x）的反酬k
由F=G（x）知反函執为y=G"（r）;』
由，=广「艾）=>/（j）=-x，知反函数为y=-f（.x））*J
所以G~\X）=-/（.0,又F（x）=G~\x）f则F（x）=-/（x）5*
又=所以f（刈为奇的數…
例6.
/\*
7.己知x
n-n\In丿w
证明：
令t=-?
则0"兰1,不等式化为1—（1T严严兰mJ
n
易知凸'>1+/总“A（1+r）"〜
不等式化为nt2-l>nr+（l-r）K-lv
令1_“=y=>0）4-yri-\=y（>'）p
胆）=心7]“,则f（y）在[OJL]±递减；松
/（y）>/（I）=0,从而得证。
p
例7.解：
因为一1,_2,_5,_10皆不是方程的根，故方程①没有有理根，因此u是无理数；
23
设f（x）二axbxc，其中a,b,c为有理数，a=0，据条件，u=3u-10，
11
则：
2（u2u「2）2u42u3「3u2「4u4
44
1一2n
=—u（3u—10）+2（3u—10）—3u—4u+4=—2u—4，又由条件，
4」」
2b2
u=f（：
）二a：
c二a（-2u-4）（uu-2）c；
即bu2（b-4a-2）u-（8a2b-2c）=0…②，
改记（b-4a-2）=s,-（8a-2b-2c）=r,s,r为有理数，②成为bu2su^0…③,
因此，0二（bu-s）（bu2sur）二b2u3（br-s2）u-sr
=b2（3u-10）（br-s2）u-sr=（3b2br-s2）u-（10b2sr）
即（3b2br-s2）u=（10b2sr）…④，因为u是无理数，则
22
3bbr-s=0卄丄3232
2，右b=0，由s=bsr3bs二-10b3bs
10bsr=0
3
即s一3s
bb
:
:
40=0，这与方程①无有理根矛盾!
因此b=0，由③，su^0，得
s=0,r=0，导致（_4a_2）=0,-（8a_2c）=0,
a=一丄,c=一2，于
2
f（x）二
-2，因此f（0）2.
1•答案
h（x）二
—2x2（一1）一X1。
2
3
2.-
2
..10.f（x）=（x2-2）2（x-3）2
3.
（3,4）4.2.
5.
（x2—1）2（x—0）2，记点P（x,x2）,A（3,2）,
.32一（2匚1）2「.10,f（x）max=10.
11。
x1005x1006
B（0,1）,则f（x）表示动点P到点A和B距离的差。
因为|PA|-|FA|当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x的交点时等号成立。
所以
11
6.（-1007,0）设g（x）二f（x-1007）=
x-1006x-1005
11
11
则g（-x）=
-x-1006-xT005-x1005-x1006〜
•••g（x）为奇函数，g（x）的图像关于原点（0,0）对称。
•••f（x）的图像关于点（-1007,0）对称。
7.f1f2IIIf50二f1f22f32f4=660
&证：
第i行的各数乘积为：
佝5）佝+b2）川（a+P011）=2011,i=1,2,111,2011,
故知a,a2,IH,a2011是多项式f（x）=（xb）（xP）川（x略）-2011
的2011个相异根，因此该多项式又可表为：
取x
=-g（x）。
a
f（x）=（x7）（X72）111（x-a20n）…2）
—bk，k=1,2川1,2011，则由©f（-bj=—2011,由（Df（-bk）（bk耳）何a?
）仪飞?
。
」，因此，
（bkaj（bka2）IH（da?
。
"=2011，左边恰是表中第k列各数之积，k=1,2,IH,2011.
21
9.a,b=
53
X/（10a+6i+21）=41g2,fifrWlg[6（&+2）-h-^-]=41g2,
酗'得&=一亍或止nT（舍去）.
解r⑷r■定）「川如如g是5啊占）冃妬2八
Afl+l=&+2iS（a-kl）（i+2）=lr
X***a从而/（I加十殆+21）=仗20十2）十—ll-l&r6（fr+2W^L].
又山『3}=|Ig（占+1）|右总义知0€m+1,从而02b=3、3f（点）-f
（1）-（3、、3—1）f（0）乞3「3
f（x）=穿（x-X3）满足题设，b的最大可能值为与3.
11.解：
（I）设：
_捲X2_：
则4xf-4tX1-1_0,4x；-4tX2-1_0,
221
4（x-ix2）-4"捲x2）-2耳0,•2xix2-t（x-ix2）0
2
1
又t（x1'x2）-2x1x22t（x1x2）-2x^2亠>0f（x2）-f（x1）0
2
故f（x）在区间L：
…詁1上是增函数。
•……5分
g（t）=max
minf（x）
t21t22_8.厂（2t25）
16t225
10分
证:
g（tanuj
8（23cos2Ui）
COSUi
2/16~24
16、、6
2
169cosui
_169cos2Ui二169cos2Ui（^1,2,3）
2
*（tanu厂16貳（169COSU）
i4
3口二
‘'、sinui=1,且Ui（0,—）,i=1,2,3i12
与柯西不等式中，等号不能同时成立，
—1=（16393-9尸sin2uJ….15分
166
.3二sin2Uj
i4
-0sinuj2=1，而均值不等式
i4
1（75-9）=
g（tanujg（tanu）g（tan^）16、63
3J6
4
20分
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