高中数学竞赛教案讲义8平面向量.docx

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高中数学竞赛教案讲义8平面向量

2019-2020年高中数学竞赛教案讲义（8）平面向量

一、基础知识

定义1既有大小又有方向的量，称为向量。

画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量，如a.|a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f

定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a,b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x,y，使得c=xa+yb，其中a,b称为一组基底。

定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x,y，使得c=xi+yi，则（x,y）叫做c坐标。

定义4向量的数量积，若非零向量a,b的夹角为，则a,b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：

投影可能为负值）。

定理4平面向量的坐标运算：

若a=（x1,y1）,b=（x2,y2），

1．a+b=（x1+x2,y1+y2）,a-b=（x1-x2,y1-y2），

2λa=（λx1,λy1）,a·（b+c）=a·b+a·c，

3．a·b=x1x2+y1y2,cos（a,b）=（a,b0）,

4.a//bx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0.

定义5若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。

由此可得若P1，P，P2的坐标分别为（x1,y1）,（x,y）,（x2,y2），则

定义6设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=（h,k）的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。

设p（x,y）是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。

定理5对于任意向量a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,|a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.

【证明】因|a|2·|b|2-|a·b|2=-（x1x2+y1y2）2=（x1y2-x2y1）2≥0，又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：

本定理的两个结论均可推广。

1）对n维向量，a=（x1,x2,…,xn），b=（y1,y2,…,yn），同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：

（x1y1+x2y2+…+xnyn）2≥0，又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：

本定理的两个结论均可推广。

1）对n维向量，a=（x1,x2,…,xn）,b=（y1,y2,…,yn），同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：

（x1y1+x2y2+…+xnyn）2。

2）对于任意n个向量，a1,a2,…,an，有|a1,a2,…,an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。

二、方向与例题

1．向量定义和运算法则的运用。

例1设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：

例2给定△ABC，求证：

G是△ABC重心的充要条件是

例3在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：

AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。

2．证利用定理2证明共线。

例4△ABC外心为O，垂心为H，重心为G。

求证：

O，G，H为共线

，且OG：

GH=1：

2。

3．利用数量积证明垂直。

例5给定非零向量a,b.求证：

|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.

例6已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。

求证：

OECD。

4．向量的坐标运算。

例7已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：

AF=AE。

三、基础训练题

1．以下命题中正确的是__________.①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b；②（a·b）·c=（a·c）·b；③若a·b=a·c，则b=c；④若a,b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m,y=n；⑤若，且a,b共线，则A，B，C，D共线；⑥a=（8,1）在b=（-3,4）上的投影为-4。

2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：

①；②；③；④与，相等的有__________.

3．已知a=y-x,b=2x-y,|a|=|b|=1,a·b=0，则|x|+|y|=__________.

4．设s,t为非零实数，a,b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________.

5．已知a,b不共线，=a+kb,=la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________条件.

6．在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且，BM与CN交于D，若，则λ=__________.

7．已知不共线，点C分所成的比为2，，则__________.

8．已知=b,a·b=|a-b|=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________.

9．把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=（1,-1）,若，c·b=4，则b的坐标为__________.

10．将向量a=（2,1）绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为__________.

11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问与的夹角取何值时的值最大？

并求出这个最大值。

12．在四边形ABCD中，

，如果a·b=b·c=c·d=d·a，试判断四边形ABCD的形状。

四、高考水平训练题

1．点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足

则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。

2．在△ABC中，，且a·b<0，则△ABC的形状是__________.

3．非零向量，若点B关于所在直线对称的点为B1，则=__________.

4．若O为△ABC的内心，且

，则△ABC的形状为__________.

5．设O点在△ABC内部，且，则△AOB与△AOC的面积比为__________.

6．P是△ABC所在平面上一点，若

，则P是△ABC的__________心.

7．已知

，则||的取值范围是__________.

8．已知a=（2,1）,b=（λ,1），若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.

9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值为__________.

10．已知集合M={a|a=（1,2）+λ（3,4）,λ∈R}，集合N={a|a=（-2,-2）+λ（4,5）,λ∈R},mjMN=__________.

11．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T，

（1）求y=f（x）的解析式及定义域；

（2）求的取值范围。

12．已知两点M（-1，0），N（1，0），有一点P使得

成公差小于零的等差数列。

（1）试问点P的轨迹是什么？

（2）若点P坐标为（x0,y0）,为与的夹角，求tan.

五、联赛一试水平训练题

1．在直角坐标系内，O为原点，点A，B坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p,q满足时，若点C，D分别在x轴，y轴上，且，则直线CD恒过一个定点，这个定点的坐标为___________.

2．p为△ABC内心，角A，B，C所对边长分别为a,b,c.O为平面内任意一点，则=___________（用a,b,c,x,y,z表示）.

3．已知平面上三个向量a,b,c均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|ka+b+c|>1（k∈R），则k的取值范围是___________.

4．平面内四点A，B，C，D满足

，则的取值有___________个.

5．已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙O上任意一点，则

取值的集合是___________.

6．O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC的角，若sinA·+sinB·+sinC·，则点O为△ABC的___________心.

7．对于非零向量a,b,“|a|=|b|”是“（a+b）（a-b）”的___________条件.

8．在△ABC中，，又（c·b）：

（b·a）：

（a·c）=1：

2：

3，则△ABC三边长之比|a|：

|b|：

|c|=____________.

9．已知P为△ABC内一点，且，CP交AB于D，求证：

10．已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O1，O2，O3，令

，求证：

（1）2p=b+c-a；

（2）H为△O1O2O3的外心。

11．设坐标平面上全部向量的集合为V，a=（a1,a2）为V中的一个单位向量，已知从V到的变换T，由T（x）=-x+2（x·a）a（x∈V）确定，

（1）对于V的任意两个向量x,y,求证：

T（x）·T（y）=x·y；

（2）对于V的任意向量x，计算T[T（x）]-x；

（3）设u=（1,0）；，若，求a.

六、联赛二试水平训练题

1．已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两点，为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点，为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何？

证明你的结论。

2．已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：

AC=CN：

CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.

3．在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：

直线PQ与RS互相垂直。

4．在△ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：

HG。

5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？

6．已知点O在凸多边形A1A2…An内，考虑所有的AiOAj，这里的i,j为1至n中不同的自然数，求证：

其中至少有n-1个不是锐角。

7．如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：

（1）OBDF，OCDE，

（2）OHMN。

8．平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O作

，求证△ABC为正三角形。

9．在平面上给出和为的向量a,b,c,d，任何两个不共线，求证：

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.

2019-2020年高中数学竞赛教案讲义（9）不等式

一、基础知识

不等式的基本性质：

（1）a>ba-b>0；

（2）a>b,b>ca>c；

（3）a>ba+c>b+c；（4）a>b,c>0ac>bc；

（5）a>b,c<0acb>0,c>d>0ac>bd;

（7）a>b>0,n∈N+an>bn;（8）a>b>0,n∈N+;

（9）a>0,|x|ax>a或x<-a;

（10）a,b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;

（11）a,b∈R，则（a-b）2≥0a2+b2≥2ab;

（12）x,y,z∈R+，则x+y≥2,x+y+z

前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。

（6）因为a>b>0,c>d>0，所以ac>bc,bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-（|a|+|b|）≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2≥0，所以x+y≥，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc=（a+b）3+c3-3a2b-3ab2-3abc=（a+b）3+c3-3ab（a+b+c）=（a+b+c）[（a+b）2-（a+b）c+c2]-3ab（a+b+c）=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥，等号当且仅当x=y=z时成立。

二、方法与例题

1．不等式证明的基本方法。

（1）比较法，在证明A>B或A0）与1比较大小，最后得出结论。

例1设a,b,c∈R+，试证：

对任意实数x,y,z,有x2+y2+z2

例2若a

|loga（1-x）|与|loga（1+x）|.

（2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：

要证……，只需证……。

例3已知a,b,c∈R+，求证：

a+b+c-3≥a+b

（3）数学归纳法。

例5对任意正整数n（≥3），求证：

nn+1>（n+1）n.

（4）反证法。

例6设实数a0,a1,…,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0,a1-2a2+a3≥0,…,an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0（k=1,2,…,n-1）.

（5）分类讨论法。

例7已知x,y,z∈R+，求证：

（6）放缩法，即要证A>B，可证A>C1,C1≥C2,…,Cn-1≥Cn,Cn>B（n∈N+）.

例8求证：

例9已知a,b,c是△ABC的三条边长，m>0，求证：

（7）引入参变量法。

例10已知x,y∈R+,l,a,b为待定正数，求f（x,y）=的最小值。

例11设x1≥x2≥x3≥x4≥2,x2+x3+x4≥x1，求证：

（x1+x2+x3+x4）2≤4x1x2x3x4.

（8）局部不等式。

例12已知x,y,z∈R+，且x2+y2+z2=1，求证：

例13已知0≤a,b,c≤1，求证：

≤2。

（9）利用函数的思想。

例14已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ca=1，求f（a,b,c）=的最小值。

2．几个常用的不等式。

（1）柯西不等式：

若ai∈R,bi∈R,i=1,2,…,n，则

等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1,2,,n,ai=λbi,

变式1：

若ai∈R,bi∈R,i=1,2,…,n，则

等号成立条件为ai=λbi,（i=1,2,…,n）。

变式2：

设ai,bi同号且不为0（i=1,2,…,n），则

等号成立当且仅当b1=b2=…=bn.

（2）平均值不等式：

设a1,a2,…,an∈R+，记Hn=

Gn=,An=

，则Hn≤Gn≤An≤Qn.即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。

其中等号成立的条件均为a1=a2=…=an.

【证明】由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下仅证Gn≤An.

1）当n=2时，显然成立；

2）设n=k时有Gk≤Ak，当n=k+1时，记=Gk+1.

因为a1+a2+…+ak+ak+1+（k-1）Gk+1≥

≥

2kGk+1,

所以a1+a2+…+ak+1≥（k+1）Gk+1，即Ak+1≥Gk+1.

所以由数学归纳法，结论成立。

（3）排序不等式：

若两组实数a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn，则对于b1,b2,…,bn的任意排列，有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤≤a1b1+a2b2+…+anbn.

【证明】引理：

记A0=0，Ak=，则=（阿贝尔求和法）。

证法一：

因为b1≤b2≤…≤bn，所以≥b1+b2+…+bk.

记sk=-（b1+b2+…+bk），则sk≥0（k=1,2,…,n）。

所以-（a1b1+a2b2+…+anbn）=+snan≤0.

最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0（j=1,2,…,n-1,sn=0）,

所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。

证法二：

（调整法）考察，若，则存在。

若（j≤n-1），则将与互换。

因为

≥0，

所调整后，和是不减的，接下来若，则继续同样的调整。

至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。

例15已知a1,a2,…,an∈R+，求证；

a1+a2+…+an.

注：

本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。

三、基础训练题

1．已知0

2．已知x∈R+，则的最小值是____________.

3．已知a,b,c∈R，且a2+b2+c2=1,ab+bc+ca的最大值为M，最小值为N，则MN=___________.

4．若不等式对所有实数x成立，则a的取值范围是____________.

5．若不等式x+a的解是x>m，则m的最小值是____________.

6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-2

7．若a,b∈R+，则a+b=1，以下结论成立是__________.①a4+b4≥；②≤a3+b3<1；③；④；⑤；⑥

8．已知0<<，若，则=____________.

9．已知，p=（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2,q=（x1-a）2+（x2-a）2+…+（xn-a）2,若，则比较大小：

p___________q.

10．已知a>0,b>0且ab,m=aabb,n=abba,则比较大小：

m_________n.

11．已知n∈N+，求证：

12．已知0

loga（ax+ay）≤loga2+.

13．已知x∈R，，求证：

四、高考水平训练题

1．已知A=asin2x+bcos2x,B=acos2x+bsin2x（a,b,x∈R），设m=AB,n=ab,P=A2+B2,q=a2+b2，则下列结论成立的有]__________.

（1）m≥n,p≥q;

（2）m≤n,p≤q；（3）m+p≥n+q；（4）m+q≥n+p.

2．已知a,b,c,d∈R，M=4（a-b）（c-d）,N=（a-b）（c-b）+（d-a）（d-c）+（c-d）（c-b）+（a-b）（a-d），则比较大小：

M________N.

3．若R+，且，，将从小到大排列为________.

4．已知△ABC的三边长a,b,c满足b+c≤2a,a+c≤2b，则的取值范围是________.

5．若实数x,y满足|x|+|y|≤1，则z=x2-xy+y2的最大值与最小值的和为________.

6．设函数f（x）=（x∈[-4,2]），则f（x）的值域是________.

7．对x1>x2>0,1>a>0，记

，比较大小：

x1x2________y1y2.

8．已知函数的值域是，则实数a的值为________.

9．设a≤b

10．实系数方程x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则的取值范围是________.

11．已知a,b,c∈R+且满足a+b+c≥abc，求证：

下列三个式子中至少有两个成立：

12．已知a,b∈R+且，求证：

对一切n∈N+，（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1.

13．已知a,b,c∈R+，求证：

14．设x,y,z是3个不全为零的实数，求的最大值。

五、联赛一试水平训练题

1．已知a1,a2,b1,b2,c1,c∈R，a1c1-=a2c2>0,P=（a1-a2）（c1-c2）,Q=（b1-b2）2，比较大小：

P_______Q.

2已知x2+y2-xy=1，则|x+y-3|+|x+y+2|=__________.

3．二次函数f（x）=x2+ax+b，记M=max{|f

（1）|,|f

（2）|,|f（3）|}，则M的最小值为__________.

4．设实数a,b,c,d满足a≤b≤c≤d或者a≥b≥c≥d，比较大小：

4（a+c+d）（a+b+d）__________（2a+3d+c）（2a+2b+c+d）.

5．已知xi∈R+,i=1,2,…,n且，则x1x2…xn的最小值为__________（这里n>1）.

6．已知x,y∈R,f（x,y）=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值为__________.

7．已知0≤ak≤1（k=1,2,…,2n），记a2n+1=a1,a2n+2=a2，则的最大值为__________.

8．已知0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1，则的最大值为__________.

9．已知≤x≤5，求证：

10．对于不全相等的正整数a,b,c，求证：

11．已知ai>0（i=1,2,…,n），且=1。

又0<λ1≤λ2≤…≤λn，求证：

≤

六、联赛二试水平训练题

1．设正实数x,y,z满足x+y+z=1，求证：

2．设整数x1,x2,…,xn与y1,y2,…,yn满足1y1+y2+…+ym，求证：

x1x2xn>y1y2…ym.

3．设f（x）=x2+a，记f（x）,fn（x）=f（fn-1（x））（n=2,3,…），M={a∈R|对所有正整数n,|fn（0）|≤2}，求证：

。

4．给定正数λ和正整数n（n≥2），求最小的正数M（λ），使得对于所有非负数x1,x2,…,xn，有M（λ）

5．已知x,y,z∈R+，求证：

（xy+yz+zx）

6．已知非负实数a,b,c满足a+b+c=1，求证：

2≤（1-a2）2+（1-b2）2+（1-c2）2≤（1+a）（1+b）（1+c），并求出等号成