高中数学竞赛教案讲义8平面向量.docx
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高中数学竞赛教案讲义8平面向量
2019-2020年高中数学竞赛教案讲义(8)平面向量
一、基础知识
定义1既有大小又有方向的量,称为向量。
画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。
向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。
书中用黑体表示向量,如a.|a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。
零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量。
定义2方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。
加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数0,使得a=f
定理3平面向量的基本定理,若平面内的向量a,b不共线,则对同一平面内任意向是c,存在唯一一对实数x,y,使得c=xa+yb,其中a,b称为一组基底。
定义3向量的坐标,在直角坐标系中,取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任取一个向量c,由定理3可知存在唯一一组实数x,y,使得c=xi+yi,则(x,y)叫做c坐标。
定义4向量的数量积,若非零向量a,b的夹角为,则a,b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos,也称内积,其中|b|cos叫做b在a上的投影(注:
投影可能为负值)。
定理4平面向量的坐标运算:
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),
1.a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
2λa=(λx1,λy1),a·(b+c)=a·b+a·c,
3.a·b=x1x2+y1y2,cos(a,b)=(a,b0),
4.a//bx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0.
定义5若点P是直线P1P2上异于p1,p2的一点,则存在唯一实数λ,使,λ叫P分所成的比,若O为平面内任意一点,则。
由此可得若P1,P,P2的坐标分别为(x1,y1),(x,y),(x2,y2),则
定义6设F是坐标平面内的一个图形,将F上所有的点按照向量a=(h,k)的方向,平移|a|=个单位得到图形,这一过程叫做平移。
设p(x,y)是F上任意一点,平移到上对应的点为,则称为平移公式。
定理5对于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),|a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|.
【证明】因|a|2·|b|2-|a·b|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0,又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0,
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注:
本定理的两个结论均可推广。
1)对n维向量,a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式:
(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0,
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注:
本定理的两个结论均可推广。
1)对n维向量,a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式:
(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2)对于任意n个向量,a1,a2,…,an,有|a1,a2,…,an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。
二、方向与例题
1.向量定义和运算法则的运用。
例1设O是正n边形A1A2…An的中心,求证:
例2给定△ABC,求证:
G是△ABC重心的充要条件是
例3在凸四边形ABCD中,P和Q分别为对角线BD和AC的中点,求证:
AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
2.证利用定理2证明共线。
例4△ABC外心为O,垂心为H,重心为G。
求证:
O,G,H为共线
,且OG:
GH=1:
2。
3.利用数量积证明垂直。
例5给定非零向量a,b.求证:
|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.
例6已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,D为AB中点,E为△ACD重心。
求证:
OECD。
4.向量的坐标运算。
例7已知四边形ABCD是正方形,BE//AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:
AF=AE。
三、基础训练题
1.以下命题中正确的是__________.①a=b的充要条件是|a|=|b|,且a//b;②(a·b)·c=(a·c)·b;③若a·b=a·c,则b=c;④若a,b不共线,则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m,y=n;⑤若,且a,b共线,则A,B,C,D共线;⑥a=(8,1)在b=(-3,4)上的投影为-4。
2.已知正六边形ABCDEF,在下列表达式中:
①;②;③;④与,相等的有__________.
3.已知a=y-x,b=2x-y,|a|=|b|=1,a·b=0,则|x|+|y|=__________.
4.设s,t为非零实数,a,b为单位向量,若|sa+tb|=|ta-sb|,则a和b的夹角为__________.
5.已知a,b不共线,=a+kb,=la+b,则“kl-1=0”是“M,N,P共线”的__________条件.
6.在△ABC中,M是AC中点,N是AB的三等分点,且,BM与CN交于D,若,则λ=__________.
7.已知不共线,点C分所成的比为2,,则__________.
8.已知=b,a·b=|a-b|=2,当△AOB面积最大时,a与b的夹角为__________.
9.把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象,c=(1,-1),若,c·b=4,则b的坐标为__________.
10.将向量a=(2,1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b,则b的坐标为__________.
11.在Rt△BAC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,试问与的夹角取何值时的值最大?
并求出这个最大值。
12.在四边形ABCD中,
,如果a·b=b·c=c·d=d·a,试判断四边形ABCD的形状。
四、高考水平训练题
1.点O是平面上一定点,A,B,C是此平面上不共线的三个点,动点P满足
则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。
2.在△ABC中,,且a·b<0,则△ABC的形状是__________.
3.非零向量,若点B关于所在直线对称的点为B1,则=__________.
4.若O为△ABC的内心,且
,则△ABC的形状为__________.
5.设O点在△ABC内部,且,则△AOB与△AOC的面积比为__________.
6.P是△ABC所在平面上一点,若
,则P是△ABC的__________心.
7.已知
,则||的取值范围是__________.
8.已知a=(2,1),b=(λ,1),若a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是__________.
9.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则的最小值为__________.
10.已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},集合N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},mjMN=__________.
11.设G为△ABO的重心,过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q,已知,△OAB与△OPQ的面积分别为S和T,
(1)求y=f(x)的解析式及定义域;
(2)求的取值范围。
12.已知两点M(-1,0),N(1,0),有一点P使得
成公差小于零的等差数列。
(1)试问点P的轨迹是什么?
(2)若点P坐标为(x0,y0),为与的夹角,求tan.
五、联赛一试水平训练题
1.在直角坐标系内,O为原点,点A,B坐标分别为(1,0),(0,2),当实数p,q满足时,若点C,D分别在x轴,y轴上,且,则直线CD恒过一个定点,这个定点的坐标为___________.
2.p为△ABC内心,角A,B,C所对边长分别为a,b,c.O为平面内任意一点,则=___________(用a,b,c,x,y,z表示).
3.已知平面上三个向量a,b,c均为单位向量,且两两的夹角均为1200,若|ka+b+c|>1(k∈R),则k的取值范围是___________.
4.平面内四点A,B,C,D满足
,则的取值有___________个.
5.已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形,P为⊙O上任意一点,则
取值的集合是___________.
6.O为△ABC所在平面内一点,A,B,C为△ABC的角,若sinA·+sinB·+sinC·,则点O为△ABC的___________心.
7.对于非零向量a,b,“|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的___________条件.
8.在△ABC中,,又(c·b):
(b·a):
(a·c)=1:
2:
3,则△ABC三边长之比|a|:
|b|:
|c|=____________.
9.已知P为△ABC内一点,且,CP交AB于D,求证:
10.已知△ABC的垂心为H,△HBC,△HCA,△HAB的外心分别为O1,O2,O3,令
,求证:
(1)2p=b+c-a;
(2)H为△O1O2O3的外心。
11.设坐标平面上全部向量的集合为V,a=(a1,a2)为V中的一个单位向量,已知从V到的变换T,由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定,
(1)对于V的任意两个向量x,y,求证:
T(x)·T(y)=x·y;
(2)对于V的任意向量x,计算T[T(x)]-x;
(3)设u=(1,0);,若,求a.
六、联赛二试水平训练题
1.已知A,B为两条定直线AX,BY上的定点,P和R为射线AX上两点,Q和S为射线BY上的两点,为定比,M,N,T分别为线段AB,PQ,RS上的点,为另一定比,试问M,N,T三点的位置关系如何?
证明你的结论。
2.已知AC,CE是正六边形ABCDEF的两条对角线,点M,N分别内分AC,CE,使得AM:
AC=CN:
CE=r,如果B,M,N三点共线,求r.
3.在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A,B的点M,点P,Q,R,S是M分别在直线AD,AB,BC,CD上的射影,求证:
直线PQ与RS互相垂直。
4.在△ABC内,设D及E是BC的三等分点,D在B和F之间,F是AC的中点,G是AB的中点,又设H是线段EG和DF的交点,求比值EH:
HG。
5.是否存在四个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?
6.已知点O在凸多边形A1A2…An内,考虑所有的AiOAj,这里的i,j为1至n中不同的自然数,求证:
其中至少有n-1个不是锐角。
7.如图,在△ABC中,O为外心,三条高AD,BE,CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N,求证:
(1)OBDF,OCDE,
(2)OHMN。
8.平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2,字母排列顺序一致,过平面上一点O作
,求证△ABC为正三角形。
9.在平面上给出和为的向量a,b,c,d,任何两个不共线,求证:
|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.
2019-2020年高中数学竞赛教案讲义(9)不等式
一、基础知识
不等式的基本性质:
(1)a>ba-b>0;
(2)a>b,b>ca>c;
(3)a>ba+c>b+c;(4)a>b,c>0ac>bc;
(5)a>b,c<0acb>0,c>d>0ac>bd;
(7)a>b>0,n∈N+an>bn;(8)a>b>0,n∈N+;
(9)a>0,|x|ax>a或x<-a;
(10)a,b∈R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;
(11)a,b∈R,则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;
(12)x,y,z∈R+,则x+y≥2,x+y+z
前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。
(6)因为a>b>0,c>d>0,所以ac>bc,bc>bd,所以ac>bd;重复利用性质(6),可得性质(7);再证性质(8),用反证法,若,由性质(7)得,即a≤b,与a>b矛盾,所以假设不成立,所以;由绝对值的意义知(9)成立;-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,所以|a+b|≤|a|+|b|;下面再证(10)的左边,因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立;(11)显然成立;下证(12),因为x+y-2≥0,所以x+y≥,当且仅当x=y时,等号成立,再证另一不等式,令,因为x3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0,所以a3+b3+c3≥3abc,即x+y+z≥,等号当且仅当x=y=z时成立。
二、方法与例题
1.不等式证明的基本方法。
(1)比较法,在证明A>B或A0)与1比较大小,最后得出结论。
例1设a,b,c∈R+,试证:
对任意实数x,y,z,有x2+y2+z2
例2若a|loga(1-x)|与|loga(1+x)|.
(2)分析法,即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条件,直到已知为止,叙述方式为:
要证……,只需证……。
例3已知a,b,c∈R+,求证:
a+b+c-3≥a+b
(3)数学归纳法。
例5对任意正整数n(≥3),求证:
nn+1>(n+1)n.
(4)反证法。
例6设实数a0,a1,…,an满足a0=an=0,且a0-2a1+a2≥0,a1-2a2+a3≥0,…,an-2-2an-1+an≥0,求证ak≤0(k=1,2,…,n-1).
(5)分类讨论法。
例7已知x,y,z∈R+,求证:
(6)放缩法,即要证A>B,可证A>C1,C1≥C2,…,Cn-1≥Cn,Cn>B(n∈N+).
例8求证:
例9已知a,b,c是△ABC的三条边长,m>0,求证:
(7)引入参变量法。
例10已知x,y∈R+,l,a,b为待定正数,求f(x,y)=的最小值。
例11设x1≥x2≥x3≥x4≥2,x2+x3+x4≥x1,求证:
(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.
(8)局部不等式。
例12已知x,y,z∈R+,且x2+y2+z2=1,求证:
例13已知0≤a,b,c≤1,求证:
≤2。
(9)利用函数的思想。
例14已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ca=1,求f(a,b,c)=的最小值。
2.几个常用的不等式。
(1)柯西不等式:
若ai∈R,bi∈R,i=1,2,…,n,则
等号当且仅当存在λ∈R,使得对任意i=1,2,,n,ai=λbi,
变式1:
若ai∈R,bi∈R,i=1,2,…,n,则
等号成立条件为ai=λbi,(i=1,2,…,n)。
变式2:
设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n),则
等号成立当且仅当b1=b2=…=bn.
(2)平均值不等式:
设a1,a2,…,an∈R+,记Hn=
Gn=,An=
,则Hn≤Gn≤An≤Qn.即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。
其中等号成立的条件均为a1=a2=…=an.
【证明】由柯西不等式得An≤Qn,再由Gn≤An可得Hn≤Gn,以下仅证Gn≤An.
1)当n=2时,显然成立;
2)设n=k时有Gk≤Ak,当n=k+1时,记=Gk+1.
因为a1+a2+…+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥
≥
2kGk+1,
所以a1+a2+…+ak+1≥(k+1)Gk+1,即Ak+1≥Gk+1.
所以由数学归纳法,结论成立。
(3)排序不等式:
若两组实数a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn,则对于b1,b2,…,bn的任意排列,有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤≤a1b1+a2b2+…+anbn.
【证明】引理:
记A0=0,Ak=,则=(阿贝尔求和法)。
证法一:
因为b1≤b2≤…≤bn,所以≥b1+b2+…+bk.
记sk=-(b1+b2+…+bk),则sk≥0(k=1,2,…,n)。
所以-(a1b1+a2b2+…+anbn)=+snan≤0.
最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1,2,…,n-1,sn=0),
所以右侧不等式成立,同理可证左侧不等式。
证法二:
(调整法)考察,若,则存在。
若(j≤n-1),则将与互换。
因为
≥0,
所调整后,和是不减的,接下来若,则继续同样的调整。
至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和,而且每次调整后和是不减的,这说明右边不等式成立,同理可得左边不等式。
例15已知a1,a2,…,an∈R+,求证;
a1+a2+…+an.
注:
本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用,希望读者在解题中再加以总结。
三、基础训练题
1.已知02.已知x∈R+,则的最小值是____________.
3.已知a,b,c∈R,且a2+b2+c2=1,ab+bc+ca的最大值为M,最小值为N,则MN=___________.
4.若不等式对所有实数x成立,则a的取值范围是____________.
5.若不等式x+a的解是x>m,则m的最小值是____________.
6.“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-27.若a,b∈R+,则a+b=1,以下结论成立是__________.①a4+b4≥;②≤a3+b3<1;③;④;⑤;⑥
8.已知0<<,若,则=____________.
9.已知,p=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2,q=(x1-a)2+(x2-a)2+…+(xn-a)2,若,则比较大小:
p___________q.
10.已知a>0,b>0且ab,m=aabb,n=abba,则比较大小:
m_________n.
11.已知n∈N+,求证:
12.已知0loga(ax+ay)≤loga2+.
13.已知x∈R,,求证:
四、高考水平训练题
1.已知A=asin2x+bcos2x,B=acos2x+bsin2x(a,b,x∈R),设m=AB,n=ab,P=A2+B2,q=a2+b2,则下列结论成立的有]__________.
(1)m≥n,p≥q;
(2)m≤n,p≤q;(3)m+p≥n+q;(4)m+q≥n+p.
2.已知a,b,c,d∈R,M=4(a-b)(c-d),N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d),则比较大小:
M________N.
3.若R+,且,,将从小到大排列为________.
4.已知△ABC的三边长a,b,c满足b+c≤2a,a+c≤2b,则的取值范围是________.
5.若实数x,y满足|x|+|y|≤1,则z=x2-xy+y2的最大值与最小值的和为________.
6.设函数f(x)=(x∈[-4,2]),则f(x)的值域是________.
7.对x1>x2>0,1>a>0,记
,比较大小:
x1x2________y1y2.
8.已知函数的值域是,则实数a的值为________.
9.设a≤b10.实系数方程x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1,另一个根大于1且小于2,则的取值范围是________.
11.已知a,b,c∈R+且满足a+b+c≥abc,求证:
下列三个式子中至少有两个成立:
12.已知a,b∈R+且,求证:
对一切n∈N+,(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1.
13.已知a,b,c∈R+,求证:
14.设x,y,z是3个不全为零的实数,求的最大值。
五、联赛一试水平训练题
1.已知a1,a2,b1,b2,c1,c∈R,a1c1-=a2c2>0,P=(a1-a2)(c1-c2),Q=(b1-b2)2,比较大小:
P_______Q.
2已知x2+y2-xy=1,则|x+y-3|+|x+y+2|=__________.
3.二次函数f(x)=x2+ax+b,记M=max{|f
(1)|,|f
(2)|,|f(3)|},则M的最小值为__________.
4.设实数a,b,c,d满足a≤b≤c≤d或者a≥b≥c≥d,比较大小:
4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).
5.已知xi∈R+,i=1,2,…,n且,则x1x2…xn的最小值为__________(这里n>1).
6.已知x,y∈R,f(x,y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值为__________.
7.已知0≤ak≤1(k=1,2,…,2n),记a2n+1=a1,a2n+2=a2,则的最大值为__________.
8.已知0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1,则的最大值为__________.
9.已知≤x≤5,求证:
10.对于不全相等的正整数a,b,c,求证:
11.已知ai>0(i=1,2,…,n),且=1。
又0<λ1≤λ2≤…≤λn,求证:
≤
六、联赛二试水平训练题
1.设正实数x,y,z满足x+y+z=1,求证:
2.设整数x1,x2,…,xn与y1,y2,…,yn满足1y1+y2+…+ym,求证:
x1x2xn>y1y2…ym.
3.设f(x)=x2+a,记f(x),fn(x)=f(fn-1(x))(n=2,3,…),M={a∈R|对所有正整数n,|fn(0)|≤2},求证:
。
4.给定正数λ和正整数n(n≥2),求最小的正数M(λ),使得对于所有非负数x1,x2,…,xn,有M(λ)
5.已知x,y,z∈R+,求证:
(xy+yz+zx)
6.已知非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:
2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c),并求出等号成