奥数之方阵问题全面汇总试题.docx
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奥数之方阵问题全面汇总试题
四年级奥数之方阵问题
知识概要
方阵可以分为实心方阵和空心方阵。
计算组成实心方阵、空心方阵的物体的个数是主要的方阵问题。
方阵的基本特点是：
方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比个一层物体总个数少8个。
实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；
（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数
空心方阵中物体的个数=（最外层一边的个数—层数）×层数×4
1、有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边共放多少个稻草人？
2、有围棋子若干，恰好可以排成每边10个的正方形，棋子总数多少个？
3、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，一共栽了28棵树，那么每边栽多少棵？
4、同学们排成一个两层空心方阵，外层每边8人，这个方阵一共有多少人？
5、把若干个棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层每边12个棋子，求这个方阵共有多少个棋子？
6、同学们在军训时排成了一个由204人组成的三层空心方阵，求最外面一层每边有多少人？
7、某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演。
如果在这个正方形队列中减少一行一列，则要减少15人，问参加团体操表演的有多少同学？
8、小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？
9、同学们在军训时，进行队列表演，由于场地有限，在原来的正方形队列中，横竖各减少一排，一共去掉了21名同学原来参加队列表演的有多少人？
10、运动会上，在正方形操场的四周都插上彩旗，四个角上都插一个，每边插12个，那么一共插多少个？
11、四年级同学排成了一个每边10人的中空方阵，共2层，求这个方阵总人数？
12、在儿童公园的一次菊花展上，用120盆菊花摆成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少盆花？
13、一个中空方阵的队列，最外层每边18人，最内层每边10人。
这个队列共有多少人？
14、用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？
15、学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生。
女生有72人参加表演，男生有多少人？
作业：
1、在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？
2、运动会上，在正方形操场四周站着执旗的同学28人，如四个角上都站一名同学，求这个操场每边站台多少个学生？
3、64人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？
4、小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？
1.学校为庆祝“十一”，用盆花摆了一个中实方阵，最外一层有36盆花。
求这个方阵共有花多少盆？
2.解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？
一共有多少人？
3.有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？
4.有一中空方阵，小明计算总人数为146人，问小明算的对吗？
为什么？
5.有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？
6.最外层每边16人的中空方阵，共5层，求总人数及最内层的人数。
7.一张桌子四周可以坐4人，两张桌子并排起来可以坐6人，三张桌子可以坐8人，……，问20张桌子并起来可以坐多少人？
如果有78人要坐下，须多少张桌子并起来？
8.用若干棋子摆成中实方阵，再把这个中实方阵拆开，用这些棋子摆成一个只有一层的中空方阵，求棋子有多少个？
9.仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边12人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多4人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心。
求原乙方阵每边的人数（指最外层一边人数）。
10.原排成方阵的若干同学，改排成每边4行的中空方阵，改编后最外面一行的人数比原来方阵每边人数多16人，求学生人数。
11.运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？
12.学校为庆祝“十一”，用盆花摆了一个中实方阵，最外一层有36盆花。
求这个方阵共有花多少盆？
13.一个由圆片摆成的中实方阵，最外一层有12个圆片，把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵，那么最外层应该有多少个圆片？
14.有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？
15.解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？
一共有多少人？
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16.一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树.问：
共需树苗多少株？
小学奥数专题练习－－方阵问题
例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?
这个方阵共有多少人?
分析:
根据四周人数与每边人数的关系可知:
每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。
解:
（1）方阵最外层每边的人数:
20÷4+1=5+1=6（人）
（2）整个方阵共有学生人数:
6×6=36（人）
答:
方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。
例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?
摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
分析:
（1）方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。
（2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
解:
（1）最里层一周棋子的个数是:
（15-2-2-1）×4=40（个）
（2）这个空心方阵共用的棋子数是:
（15-3）×3×4=144（个）
答:
这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。
例3.玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵,问大三角形的一周有鸡冠花多少棵?
玲玲一共种鸡冠花多少棵?
分析:
（1）由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条小三角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花5棵,那么大三角形每边上种花的棵数就是5×2-1=9棵了,又由于大三角形三个顶点上的3棵花,都是大三角形的两条边所共用的,所以大三角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数的和减去三个顶点上重复计算的3棵花,即:
9×3-3=24,就是大三角形一周种花的棵数。
（2）三角形各条边上种鸡冠花棵数的总和,等于里边小三角形一周上种花的棵数,加上大三角形一周种花的棵数,再减去重复计算的3棵花（因为里边小三角形的三个顶点上的三棵花,也分别是外边大三角形每条边上的一棵花）。
解:
（1）大三角形一周上种花的棵数是:
（5×2-1）×3-3=24（棵）
（2）小三角形一周种鸡冠花的棵数是:
（5-1）×3=12（棵）
（3）玲玲一共种鸡冠花的棵数是:
24+12-3=33（棵）
答:
大三角形一周种鸡冠花24棵;玲玲一共种鸡冠花33棵。
例4.五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心五年级参加广播操比赛的一共有多少人?
分析:
若只排列一个乙方阵,则多余的人数为（即甲方阵的人数）8×8=64（人）,排列一个实心的丙方阵,不足的人数是:
8×8=64（人）假设丙方阵为实心方阵,则乙多的人数是:
8×8+8×8=128（人）,又根据方阵扩展一层,每边增加2人,丙方阵比乙方阵的外边多4人,丙方阵多于乙方阵的层数是4÷2=2（层）,方阵扩展2层,需要增加128人,则方阵最外层的人数是（128+2×4）÷2=68（人）,丙方阵的总人数18×18-8×8=260（人）
解:
（1）假设丙方阵为实心方阵,则方阵最外层的人数是:
（8×8+8×8+2×4）÷2=68（人）
（2）丙方阵最外层每边的人数是:
68÷4+1=18（人）
（3）空心丙方阵的总人数:
18×18-8×8=324-64=260（人）
答:
五年级参加广播操比赛的一共有260人。
例5.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?
方阵中共有杨树,柳树各多少棵?
分析:
根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示柳树观察图
（1）
（2）不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。
因而杨树和柳树的棵数相等,即最外层杨,柳树分别为（7-1）×4÷2=12（棵）。
当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差1棵。
解:
（1）最外层杨柳树的棵数分别为:
（7-1）×4÷2=12（棵）
（2）当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵:
杨树:
（7×7+1）÷2=25（棵）
柳树:
7×7-25=24（棵）
（3）当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多1树
柳树（7×7+1）÷2=25（棵）
杨树7×7-25=24（棵）
答:
在图
（1）
（2）两种方法中,方阵最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树24棵,或者有杨树24棵,柳树25棵。
练一练
1.某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有20个学生,问这个空心方阵最里边一周有多少个学生?
这个四层空心方阵共有多少个学生?
2.六一儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵求最外面一层每边有鲜花多少盆?
3.三年级
（1）班的学生参加体操表演,排成队形正好是由每7个人为一边的6个三角形组成的一个正六边形,求正六边形一周共有多少名学生?
三
（1）班参加体操表演的共有多少人?
4.现有松树和柏树以隔株相间的种法,种成9行9列的方阵,问这个方阵最外层有松树和柏树各多少棵?
方阵中共有松树柏树各多少棵?
练一练答案
（1）（20-2×3-1）×4=42（个） （20-40×4×4=256（个）
（2）最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数
204÷4÷3+3=20（盆）
（3）7×6-6=36（人） 7×12-6×2-5=67（人）
（4）最外层松柏各是:
（9-1）×4÷2=16（棵）
共有松柏树是:
（9×9+1）÷2=41（棵） 81-41=40（棵）
答:
柏树41棵,松树40棵,或松树41棵,柏树40棵。
奥数专题之方阵问题1
1.某班抽出一些学生参加节日活动表演，想排成一个正方形方阵，结果多出7人；如果每行每列增加一个再排，却少了4人，问共抽出学生多少人？
2.将棋子排成正方形，甲、乙两人自其外周起，轮流取一周，结果甲比乙多得24粒，问棋子总数有多少粒？
3.某班抽出一些学生参加节日活动表演，想排成一个正方形方阵，结果多出7人；如果每行每列增加一个再排，却少了4人，问共抽出学生多少人？
4.棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？
棋子最外层有多少粒？
5.有学生若干人，排成5层的中空方阵，最外层每边人数是12人，问有多少学生？
6.设计一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，问最外层每边应安排多少人？
7.在第五届运动会上，红星小学组成了一个大型方块队，方块队最外层每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，问这个方块队共有多少同学组成？
8.有一队学生，排成中空方阵，最外层的人数共56人，最内层的人数共32人，这一队学生共有多少人？
9.团体操表演，少先队员排成4层的中空方阵，最外层每边人数是10人，问参加团体操表演的少先队员共有多少人？
10.用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒11将棋子排成正方形，甲、乙两人自其外周起，轮流取一周，结果甲比乙多得24粒，问棋子总数有多少粒？
巧解方阵问题
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日常生活中，往往需要把人或物摆成正方形的形式，如正方形的体操队列，正方形花坛周围摆花盆，插旗子，还有正方形棋盘上摆棋子等问题。
在数学上，人们通常称这类问题为方阵问题。
解方阵问题时，应注意观察方阵中行列的排列规律，找出巧妙的解法。
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如果一个方阵是“实心”的叫中实方阵，如果一个方阵是“空心”的，叫做中空方阵。
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［学习过程］
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一.典型例题：
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例1.军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？
还剩下多少人？
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分析与解：
如下图：
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方法一：
去掉的一行一列的人数为：
（人）
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剩下的人数为：
（人）
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方法二：
去掉后剩下的是6行6列的正方形队列，即
（人）
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去掉的人数为：
（人）
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例2.光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演？
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分析与解：
此题刚好是例1的逆向题，根据正方形队列的特点可知：
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原每行人数=（去掉一行一列的人数+1）÷2
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即：
原来每行人数是
（人）
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原来准备参加表演的人数：
（人）
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答：
四年级原准备196人参加表演。
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例3.正方形舞厅四周均匀地装彩灯，如果四个角都装一盏，且每边12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？
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分析与解：
如下图：
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方法一：
从图
（1）可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为：
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（盏）
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方法二：
按图
（2）把彩灯分成相等的四部分，因此彩灯总数为：
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（盏）
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答：
这个舞厅四周共装彩灯44盏。
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例4.游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵。
最外层每边12人，问彩车周围的少先队员共有多少人？
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分析与解：
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方法一：
这是一个只有3层的中空方阵，最外层每边有12人，最外层一共有
（人），第二层每边少2人，即第二层每边10人，第二层共有
（人），比第一层总数少8人，同理，第三层总数是
（人）
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三层共有队员的总数：
（人）
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方法二：
如下图，可把队员分成人数相等的四部分，每一部分的人数：
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（人）
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三层共有队员数：
（人）
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方法三：
从12行12列的中实方阵中减去中间的空心方阵，就是队员人数：
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（人）
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例5.小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵，共用了200个棋子，问最外边一层每边有多少个棋子？
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分析与解：
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方法一：
利用相邻两层之间，每层的总数相差8的特点。
可知最外层共有棋子数：
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（个）
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最外层每边的棋子数：
（个）
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方法二：
如下图，把棋子分成相等的四部分，每一部分的棋子数为：
（个），每一部分每排的棋子数为：
（个）
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最外层每边的棋子数为：
（个）
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列综合算式：
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（个）
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答：
最外层每边有棋子15个。
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二.模拟试题：
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1.运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？
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2.学校为庆祝“十一”，用盆花摆了一个中实方阵，最外一层有36盆花。
求这个方阵共有花多少盆？
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3.一个由圆片摆成的中实方阵，最外一层有12个圆片，把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵，那么最外层应该有多少个圆片？
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4.有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？
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5.解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？
一共有多少人？
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【试题答案】
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1.运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？
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（人）
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（人）
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（人）
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答：
要减少32名运动员。
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2.学校为庆祝“十一”，用盆花摆了一个中实方阵，最外一层有36盆花。
求这个方阵共有花多少盆？
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（盆）
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（盆）
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答：
这个方阵共有花100盆。
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3.一个由圆片摆成的中实方阵，最外一层有12个圆片，把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵，那么最外层应该有多少个圆片？
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（个）
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答：
最外层应该有28个圆片。
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4.有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？
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（个）
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（个）
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（个）
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答：
应再增加16个圆片。
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5.解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？
一共有多少人？
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（层）
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（人）
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答：
这个方阵有5层，一共有160人。
公务员考试行测辅导数学运算“方阵”问题
学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：
1.方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）
2.方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）+1
3.方阵外一层总人数比内一层总人数多2
4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
例1学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?
A.256人B.250人C.225人D.196人（2002年A类真题）
解析：
方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：
60÷4+1=16（人）
整个方阵共有学生人数：
16×16=256（人）。
所以，正确答案为A。
例2参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人?
分析如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。
从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等;最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：
去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
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·····
·····
·····
解析：
方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数=（33+1）÷2=17
方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17=289（人）
下面几道习题供大家练习：
1.小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。
如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是：
A.1元B.2元C.3元D.4元（2005年中央真题）
2.某仪仗队排成方阵，第一次排列若干人，结果多余100人;第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。
仪仗队总人数为多少?
答案：
1.C2.500人
行测方阵问题解题有规律?
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方阵问题总结！
（1）方阵总人（物）数＝最外层每边人（物）数的平方；
（2）方阵最外一层总人（物）数比内一层总人（物）数多8（行数和列数分别大于2）；
（3）方阵最外层每边人（物）数＝（方阵最外层总人数÷4）＋1；
（4）方阵最外层总人数＝[最外层每边人（物）数－1]×4；
（5）去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1
【例1】（国家2002A类-9、国家2002B类-18）某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？
（）
A.256人?
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B.250人?
?
C.225人?
?
D.196人
［答案］A
［解析］根据公式：
方阵人数＝（最外层人数÷4＋1）^2＝（60÷4＋1）^2＝256（人）。
【例2】（浙江2003-18）某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，则这个学校共有学生（）。
A.600人?
?
B.615人?
?
C.625人?
?
D.640人
［答案］C
［解一］根据公式：
方阵人数＝（最外层人数÷4＋1）^2＝（96÷4＋1）^2＝625（人）。
［解二］数字特性法：
方阵的人数应该是一个完全平方数，所以结合选项，选择C。
【例3】（广西2008-11）参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人数是80人，问这个方阵共有官兵多少人？
（）
A．441B.400C.361D.386
［答案］A
［解析］根据公式：
方阵人数＝（最外层人数÷4＋1）^2＝（80÷4＋1）^2＝441（人）。
【例4】（国家2005一类-44、国家2005二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。
如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少？
（）
A.1元?
?
B.2元?
?
C.3元?
?
D.4元
［答案］C
［解一］设正方形每边x枚硬币，三角形每边y枚硬币，一共有N枚硬币，根据公式可得方程组：
N=4x－4
N=3y-3N=60
y-x=5，因为每枚硬币5分，所以总价值3元。
［注释］这里围成的三角形和正方形都指的是空心的。
［解二］根据数字特性法：
硬币能围成正三角形→硬币的个数是3的倍数→硬币的价值可以三等分→根据选项选择C。
【例6】参加中学生运动会团体操表演的运动员排成一个正方形队列，若减少一行一列，则要减少49人，则参加团体操表演的运动员共（）人。
A.576?
?
B.625?
?
C.676?
?
D.2401
［答案］B
［解析］重叠点思维：
假设每边有x人，则一行一列共有（2x-1）人（注意该行与列的交叉点上的人被重复计算了两遍），有方程：
2x-1=49，解得x=25。
共有25^2=625人。
【例7】
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