第二题图
、给出下列四个命题3⑴一组对边平行的四边形是平行四边形⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形⑷顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形。
）其中正确命题的个数为（
个、43个DB、2个C、1A、个，于点G，延长CB交AEADF?
ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△4.如图，在）EF，则以下四个结论一定正确的是（、A、E之间，连接CECF，点G在点．CG⊥AEEAF；②∠CDF=∠；③△ECF是等边三角形；④①△CDF≌△EBC
只有①②③①②③④．B只有①②C．只有③④D．．A
，BC上，∠，垂足为QABC的平分线垂直于AEE265．如图，△ABC的周长为，点D，都在边）的长为（，若的平分线垂直于∠ACBAD，垂足为PBC=10，则PQ
4
3
D．．CBA．．
第1页（共22页）
.
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）
A．B．C．4D．824
7．如图，在?
ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（）
A．1：
2B．1：
3C．1：
4D．1：
5
8．已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为?
ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（）
A．6、7B．7、8C．6、7、8D．6、8、9
9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?
ADCE中，DE最小的值是（）
A．2B．3C．4D．5
10．如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（）
°70．D°110140A．°．C°130．B
;.
.
小题）二．填空题（共5上，连接E在线段AB，垂足是AD的中点，作CE⊥AB11．如图，在?
ABCD中，AD=2AB，F（把所有正确结论的序号都填在横线上）则下列结论中一定成立的是．EF、CF，
．∠AEF；④∠EF=CF；③S=2SDFE=3①∠DCF=∠BCD；②CEFBEC△△
，则BC=10AB=6，E是边CD的中点，且是对角线．在?
ABCD中，点OAC、BD的交点，点12．OE=
、CDACAB、、、F、G、H分别是AD=6D13．如图，是△ABC内一点，BD⊥CD，，BD=4，CD=3，E．的中点，则四边形EFGH的周长是BD
相交于与CE相交于点P，BFAF?
ABCD的边AB、CD上的点，与DE分别是．如图，14E、F22．，则阴影部分的面积为=20cmS=10cm点Q，若S，BQC△APD△
的中点，则CD、、EF分别是边AB，、且⊥中，对角线．在四边形15ABCDACBDAC=6BD=8EF=．;.
.
三．解答题（共5小题）
16.如图，?
ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：
△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
17．已知，如图，在?
ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．
（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；
）求证：
∠CEG=∠AGE．（2
18．如图，?
ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于点E．
（1）若∠ADB=25°，求∠BAE的度数；
（2）求证：
AB=2OE．
19．如图，已知?
ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．
（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；
（2）求证：
AB=CF+DM．
;.
.
20．如图，已知?
ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．
（1）求证：
△ADG≌△FDM．
（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．
;.
.
初中数学组卷（平行四边形）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1.D
2.A
3.C
4．如图，在?
ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．
只有①②③．D．①②③④BA．只有①②C．只有③④
行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判：
平考点定．菁优网版权所有压轴题．专题：
据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．分析：
根ADF是等边三角形解答：
解：
∵△ABE、△BE=ABFD=AD，∴AB=DC，∵AD=BCBE=DC
，∴FD=BCABE∠∵∠B=∠D，∠FDA=EBC
∴∠CDF=∠∴△CDF≌△EBC，故①正确；，=300°﹣∠CDA（∠FAD+EAB+∠BAD=60°+60°+180°﹣∠CDA）∵∠FAE=∠CDA，°﹣∠∠FDC=360°﹣∠FDA﹣∠ADC=300EAF，故②正确；∴∠CDF=∠，同理可得：
∠CBE=∠EAF=∠CDF∵BC=AD=AF，BE=AE，EBC，∴△EAF≌△∠AEF=BEC，∴∠∠∠∵∠AEF+∠FEB=BEC+∠FEB=AEB=60°，FEC=60°，∴∠∵CF=CE，是等边三角形，故③正确；∴△ECF中，ABE在等边三角形∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段;.
.
∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG=30°，∠ABC=150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．
故选B．
点评：
本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．
5．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）
A．B．C．3
D．4
考点：
三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题；压轴题．
分析：
首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．
解答：
解：
∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，
∴DE=BE+CD﹣BC=6，
∴PQ=DE=3．
故选：
C．
点评：
本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）
;.
.
C．4DB．．A．824
考点：
平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．
解答：
解：
∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F为DC的中点，
∴DF=CF，
AD=DF=DC=AB=2，∴
中，根据勾股定理得：
AG=，在Rt△ADG
则AF=2AG=2，∵平行四边形ABCD，∥BC，∴ADECF，∠∴∠DAF=E，∠ADF=∠中，在△ADF和△ECF
，AAS），ECF∴△ADF≌△（AF=EF，∴
AE=2AF=4则．B故选：
题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的此点评：
判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
;.
.
7．如图，在?
ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（）
A．1：
2B．1：
3C．1：
4D．1：
5
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
根据平行四边形性质得出AD=BC，AD∥BC，推出△EDF∽△BCF，得出△EDF与△BCF
的周长之比为，根据BC=AD=2DE代入求出即可．
解答：
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△EDF∽△BCF，
∴△EDF与△BCF的周长之比为，
∵E是AD边上的中点，
∴AD=2DE，
∵AD=BC，
∴BC=2DE，
∴△EDF与△BCF的周长之比1：
2，
故选A．
点评：
本题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：
平行四边形的对边平行且相等，相似三角形的周长之比等于相似比．
8．已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为?
ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（）
A．6、7B．7、8C．6、7、8D．6、8、9
考点：
平行四边形的性质；坐标与图形性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
分别求出t=1，t=1.5，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．
解答：
解：
当t=0时，A（0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；
当t=1时，A（0，0），B（0，4），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；
当t=1.5时，A（0，0），B（0，4），C（3，5.5），D（3，1.5），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；
当t=2时，A（0，0），B（0，4），C（3，6），D（3，2），此时整数点有（1，1），（1，;.
.
2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），共8个点；
故选项A错误，选项B错误；选项D错误，选项C正确；
故选：
C．
点评：
本题考查了平行四边形的性质．主要考查学生的理解能力和归纳能力．
9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?
ADCE中，DE最小的值是（）
A．2B．3C．4D．5
考点：
平行四边形的性质；垂线段最短；平行线之间的距离．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
解答：
解：
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB．
又点O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=1.5，
∴ED=2OD=3．
故选B．
点评：
本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
10．如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（）
;.
.
B．130°°．110°D．70A．140°C
菁优网版权所有考点：
多边形内角与外角．轴题．专题：
压
AED=ADA分析：
首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形′E的内角和，由折叠可知∠ED+′，又∠A=70°，由此可以求出∠AED+∠A′A=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠∠A′2．DE，再利用邻补角的关系即可求出∠1+∠∠ADE+∠A=360°，?
180°﹣解答：
解：
∵四边形ADA′E的内角和为（42）′，A=∠AADE=而由折叠可知∠AED=∠A′ED，∠∠A′DE，∠=220°，70DE=360°﹣∠A﹣∠A′=360°﹣2×°ED+∴∠AED+∠A′∠ADE+∠A′°．ED+′∠ADE+∠A′DE）=1402=180∴∠1+∠°×2﹣（∠AED+∠A．故选：
A解答时要会根据本点评：
题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数，公式进行正确运算、变形和数据处理．
二．填空题（共5小题）上，连接在线段ABAB，垂足E的中点，作?
11．如图，在ABCD中，AD=2AB，F是ADCE⊥．①②④（把所有正确结论的序号都填在横线上）EF、CF，则下列结论中一定成立的是
．；④∠EF=CF①∠DCF=∠BCD；②；③S=2SDFE=3∠AEFCEF△△BEC
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题；压轴题．
分析：
分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
解答：
解：
①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在?
ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
;.
.
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S=S，CFMEFC△△∵MC＞BE，
∴S＜2SEFC△△BEC故S=2S错误；CEF△BEC△
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：
①②④．
点评：
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．
;.
.
，则BC=10的中点，且AB=6，、BD的交点，点E是边CD12．在?
ABCD中，点O是对角线AC．OE=5
菁优网版权所有角形中位线定理；平行四边形的性质．三考点：
轴题．压专题：
的中DBCOE是△画出图形，根据平行线的性质，结合点E是边CD的中点，可判断分析：
先
的长度．位线，继而可得出OE解答：
解：
ABCD是平行四变形，∵四边形中点，∴点O是BD的中点，∵点E是边CD的中位线，∴OE是△DBC
．∴OE=BC=55．故答案为：
解答本题的关键是根据平行四边题考查了平行四边形的性质及中位线定理的知识，点评：
本的中位线．OE是△DBC形的性质判断出点O是BD中点，得出
、、CD分别是AB、AC、CD=3，EF、G、H，，内一点，．如图，13D是△ABCBD⊥CDAD=6，BD=4．的周长是EFGH11BD的中点，则四边形
菁优网版权所有角形中位线定理；勾股定理．：
考点三轴题．压专题：
的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三用勾股定理列式求出BC分析：
利
，然后代入数据进行计算即可得解．EF=GH=BCAD边的一半求出EH=FG=，CD=3BD=4CDBD解答：
解：
∵⊥，，，;.
.
∴BC===5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=6，
∴四边形EFGH的周长=6+5=11．
故答案为：
11．
点评：
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
14．如图，E、F分别是?
ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于222点Q，若S=10cm，S=20cm，则阴影部分的面积为30cm．BQC△△APD
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轴题．压专题：
=S所以S，=S，S=SF分析：
连接E、两点，由三角形的面积公式我们可以推出SEFG△BCQ△EFC△△EFDADF△+S．S=S，因此可以推出阴影部分的面积就是S，BQC△EFPAPD△ADPBCQ△△△F两点，：
连接E、解答：
解
是平行四边形，∵四边形ABCD，AB∥CD∴边上的高相等，的FC边上的高与△∴△EFC的FCBCF，S=S∴BCF△EFC△=S，S∴BCQ△△EFQ=S，同理：
SADFEFD△△，∴S=SADP△△EFP22=20cm，=10cm∵S，SBQC△△APD2，∴S=30cmEPFQ四边形230cm．故阴影部分的面积为
题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间点评：
本的面积关系．
;.
.
15．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC=6、BD=8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF=5．
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轴题．压专题：
，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的FGEG、BC的中点G，连接分析：
取，然后利用勾股定理列式计算即可得解．⊥FG、FG，并求出EG一半求出EGFG，G，连接EG、：
如图，取解答：
解BC的中点CD的中点，分别是边AB、F∵E、
6=3，EG=AC=×∴EG∥AC且
，BD=×8=4FG∥BD且FG=，⊥BDAC∵，⊥FG∴EG
=5．=∴EF=．故答案为：
5
题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，本点评：
作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
5小题）三．解答题（共的延长线分别交于、BADC与BD的交点，过点O的直线与是?
16．如图，ABCD中，点OACF．点E、；≌△COFAOE
（1）求证：
△AECFACEFAFEC2（）请连接、，则与满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由．;.
.
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．
解答：
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AB∥CD．
∴∠E=∠F．
COF中，，∵在△AOE与△
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
由
（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF=AC，
∴四边形AECF是矩形．
点评：
本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题
17．已知，如图，在?
ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．
（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；
）求证：
∠CEG=∠2（AGE．
;.
.
考点
升级会员 