<2W1,则问:
a.写出以上博弈的战略式描述
b.求出以上博弈的所有纳什均衡
7、（差异价格竞争）假立两个寡头企业进行价格竞争，但产品并不完全相同，企业，的市场
需求门厂）="-门+匕仏丿=1，2）,两家企业的生产成本函数为g求两个寡头同时选择价格时的纳什均衡。
8、考虑如下战略式博弈重复两次，在第二阶段开始时能够观察到第一阶段的尊弈结果，假立贴现因子是1，则x满足什么条件的情况下（4,4）可以作为第一阶段博弈的均衡结果。
S1
S2
X2
Y2
W2
Z2
XI
2,2
X,0
一1,0
0,0
Y1
0,x
4,4
一1,0
0,0
W1
0,0
0,0
0,3
0,0
Z1
0,-1
0,-1
-1,-1
3,0
9、考虑如下贝叶斯博弈：
（1）自然决左支付矩阵（a）或（b）,概率分别为u和l-u；
（2）参与人1知道自然的选择，即知道自然选择支付矩阵（a）或（b）,但是参与人2不知道自然的选择；（3）参与人1和参与人2同时行动。
给岀这个博弈的扩展式表述并求纯战略贝叶
斯均衡。
10、求解以卞战略式博弈的所有纳什均衡
表1.3
S1
S2
L
M
R
T
7,2
2,7
3,6
B
2,7
7,2
4,5
11、两位投资者各自将D存在银行，而银行则将他们资金用于长期投资。
本博弈的规则如下：
在第一期，两位投资者同时决泄是否收回资金。
如果任何投资者收回资金，则项目被迫淸算，项目收益为2r。
此时抽取资金投资者收益为D,而未抽回资金投资者收益为2r-D：
如果两位投资者都抽回资金，则投资者收益都为r：
如果两者都未抽回资金，博弈进入第二期。
第二期项目成熟且项目收益为2R。
此时如果两投资者都抽回资金则收益为R：
如果只有一位抽取资金，抽回资金投资者收益为2R-D,未抽回为D：
如果两者都不抽回资金则收益为R,假定R>D>r>D/2,求解子博弈精炼纳什均衡。
12.在囚徒困境中，“针锋相对”战略定义为：
（1）每个参与人开始选择“抵赖”；
（2）在t阶段选择对方在的行动。
假定贴现因子«=1,证明以上战略不是子博弈精炼纳什均衡。
13.如果以下重复博弈两次，支付（4,4）是否能作为子博弈精炼纳什均衡结果岀现，请说明理由。
假泄贴现因子
S1
S2
L
C
R
T
3,1
0,0
5,0
M
11
L2
3,1
B
1，2
0,1
4,4
14.猪圈里有一头大猪和一头小猪，猪圈的一头有一个饲料槽，另一头装有控制饲料供应的按钮。
按一下按钮就会有10个单位饲料进槽，但谁按谁就要付出2个单位的成本。
谁去按按纽则谁后到：
都去按则同时到。
若大猪先到，大猪吃到9个单位，小猪吃到一个单位；若同时到，大猪吃7个单位，小猪吃3个单位：
若小猪先到，大猪吃六个单位，小猪吃4个单位。
各种情况组合扣除成本后的支付矩阵可如下表示（每格第一个数字是大猪的得益，第二个数字是小猪的得益。
求纳什均衡。
小猪
按不按
15、在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为P二a-ql-q2-q3,这里qi是企业i的产量。
每一企业生产的单位成本为常数c。
三企业决泄各自产量的顺序如下：
（1）企业1首先选择ql>0：
（2）企业2和企业3观察到ql,然后同时分别选择q2和q3c试解出该博弈的子博弈完美纳什均衡。
16、A、B两企业利用广告进行竞争。
若A、B两企业都做广告，在未来销售中，A企业可以获得20万元利润，B企业可获得8万元利润；若A企业做广告，B企业不做广告，A企业可获得25万元利润，B企业可获得2万元利润；若A企业不做广告，B企业做广告，A企业可获得10万元利润，B企业可获得12万元利润：
若A、B两企业都不做广告，A企业可获得30万元利润，B企业可获得6万元利润。
（1）画出A、B两企业的支付矩阵。
（2）求纳什均衡。
17、北方航空公司和新华航空公司分享了从北京到南方冬天度假胜地的市场。
如果它们合作,各获得500000元的垄断利润，但不受限制的竞争会使每一方的利润降至60000元。
如果一方在价格决策方而选择合作而另一方却选择降低价格，则合作的厂商获利将为零，竞争厂商将获利900000元。
（1）将这一市场用囚徒困境的博弈加以表示。
（2）解释为什么均衡结果可能是两家公司都选择竞争性策略。
18.两个老朋友在一起喝洒，每个人有三个纯战略：
石头，剪子，布，输赢规则是：
石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头，两人同时出令。
如果一个打败另一个，贏的效用为1,输的效用为-1,否则效用为0,写出这个博弈的支付矩阵，这个博弈有纯战略均衡吗？
计算其混合战略纳什均衡。
19.两人参加一次暗标拍卖，他们的估价都服从［0,1］上的均匀分布，如果两拍卖者的效用函数都是自己的真实估价乘以一个反映风险态度的参数&（&>1，&二1，&〈1分别表示风险偏好，风险中性，风险厌恶），再减去中标价格。
请分析在线性均衡策略中，竞柏者的出价与他们的风险态度有什么关系。
三、作图题
1、考察如下三人博弈，请您画出其完整的博弈树（结、信息集、枝与支付）：
1）参与人1的行动空间A严{L,R},参与人2的行动空间A2={U,M,D},参与人3的行动空间是A3={M,N}；
2）行动顺序：
参与人1最先行动，参与人2与3观测到参与人1的行动后再同时采取行动:
3）三人的支付情况：
若参与人1选择L,得支付表1：
若参与人1选择R.则对应支付表2：
M
N
U
5,1,3
4,2,1
M
2,2,3
3,2,2
D
2.2.3
3,2,2
若参与人1选择L
M
N
U
1,3,1
2,2,4
、1
3.2.2
4,3,2
4,
3,2,1
2,3
若参与人1选择R
2、考察如下不对称信息静态博弈，请您利用海萨尼转换方法引入自然选择，画出博弈树（要求参与人、结、枝、信息集、支付完整）：
1）自然情况：
自然以8的概率选择L,以（1七）的概率选择R：
2）行动空间：
参与人1行动空间Al{U,M,D}，参与人2行动空间A2={M,N};
3）信息：
参与人1不知道自然的选择，参与人2知道自然选择，两者同时行动;
4）支付情况：
若自然选择L,得支付表1；若自然选择R,则对应支付表2：
M
N
U
5,1
4,2
M
2,2
3,2
D
2.2
3,2
表1若自然选择L
M
N
U
1.3
2,2
M
3,2
4,3
D
4.2
3,2
表2若自然选择R
复习题参考答案
一、名词解释
1、混合战略纳什均衡
如果在博弈的利益表中，无法找到任何一方都可以接受（不一泄利益最大化）的方案,也就是没有哪一种组合是在给怎对手策略下没有动机改变自己策略的情况。
这时越弈没有纯策略均衡，需要一个“概率表"指导博弈结果。
在博弈G={S1,S2……Sn；U1,U2……Un）中第i个博弈方策略空间为Si={Sil……Sik}则博弈方以概率分布Pi=（Pi……Pik）随机在k个可选策略中选的的策略称为一个混合策略纳什均衡。
2、子博弈精炼纳什均衡
对于扩展式博弈的策略组合S*=（Sl*,...,Si*,...,Sn»）,如果它是原博弈的纳什均衡;它在每一个子博弈上也都构成纳什均衡,则它是一个子博弈精炼纳什均衡。
子博弈精练纳什均衡所要求的是参与人应该是序惯理性的。
对于有限完美信息博弈，逆向归纳法是求解子博弈精炼纳什均衡的最简便的方法。
3、完全信息动态博弈
完全信息动态博弈，是指博弈中信息是完全的，即双方都掌握参与者对他参与人的战略空间和战略组合下的支付函数有完全的了解，但行动是有先后顺序的，后动者可以观察到前者的行动，了解前者行动的所有信息。
4、不完全信息动态博弈
指在动态博弈中，行动有先后次序，博弈的每一参与人知道其他参与人的有哪几种类型以及各种类型出现的槪率，即知道''自然"参与人的不同类型与相应选择之间的关系，但是,参与人并不知逍英他的参与人具体属于哪一种类型。
由于行动有先后顺序，后行动者可以通过观察先行动者的行为，获得有关先行动者的信息，从而证实或修正自己对先行动者的行动。
5、完全信息静态博弈
完全信息静态博弈指的是信息对于博弈双方来说是完全公开的情况下，双方在博弈中所决泄的决策是同时的或者不同时但在对方做决策前不为对方所知的。
6、帕累托上策均衡
如果多重纳什均衡中的某一个纳什均衡，给所有博弈方带来的得益都大于英他所有纳什均衡带来的得益，那么博弈方的选择倾向性会是一致的，各个博弈方不仅会选择该纳什均衡的策略，而且可以预测其他IW弈方也会选择该纳什均衡的策略。
上述多重纳什均衡的选择依据的就是帕累托效率意义上的优劣关系，用这种方法选择出来的纳什均衡,也称为"帕累托上策均衡”。
7、囚徒困境
囚徒困境是博弈论的非零和博弈中具代表性的例子，反映个人最佳选择并非团体最佳选择。
虽然困境本身只属模型性质，但现实中的价格竞争、环境保护等方而，也会频繁出现类似情况。
8、纳什均衡
假设有n个局中人参与博弈，给泄英他人策略的条件下，每个局中人选择自己的最优策略（个人最优策略可能依赖于也可能不依赖于他人的战略），从而使自己利益最大化。
所有局中人策略构成一个策略组合（StrategyProfile）。
纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种策略组合由所有参与人最优策略组成。
即在给定别人策略的情况下，没有人有足够理由打破这种均衡。
纳什均衡，从实质上说，是一种非合作博弈状态。
9、子博弈
一个扩展式表示博弈的子博弈G是由一个单结信息集x开始的与所有该决策结的后续结（包括终点结）组成的能自成一个博弈的原博弈的一部分。
10、完美信息动态博弈
动态博弈中在轮到行为时对博弈的进程完全了解的博弈方，称为具有完美信息的博弈方，如果动态博弈的所有博弈方都有完没信息，则称为完美信息的动态博弈。
11、颤抖手均衡
动态博弈中在轮到行为时对博弈的进程完全了解的博弈方，称为具有完美信息的博弈方，如果动态博弈的所有博弈方都有完没信息，则称为完美信息的动态博弈。
12、柠檢原理
由于消费者的信息不完美，不能识別商品质量，因而不愿意支付髙价购买商品，最终引起优质品逐渐被劣质品赶出市场的过程，通常又被称为“逆向选择”。
13、完美贝叶斯均衡
当一个策略组合及相应的判断满足以下四个要求时，称为完美贝叶斯均衡。
①在各个信息集，轮到选择的博弈方必须具有一个关于博弈达到该信息集中每个节点可能性的判断。
②给泄各博弈方的判断，他们策略必须是序列理性的。
③在均衡路径上的信息集处，判断由贝叶斯法则和各博弈方的均衡策略决左。
④在不处于均衡路径上的信息集处，判断由贝叶斯法则和乞博弈方在此处可能有的均衡策略决定。
二、计算分析题
1、在市场进入模型中，市场需求函数为p=13-Q,进入者和在位者生产的边际成本都为1,固定成本为0,潜在进入者的进入成本为4。
博弈时序为：
在位者首先决左产量水平；潜在进入者在观察到在位者的产量水平之后决泄是否进入：
如果不进入，则博弈结束，如果进入,则进入者选择产疑水平。
求解以上博弈精炼纳什均衡。
18/18
解：
在市场进入模型中，设在位者选择产量％,潜在进入者产量为如果潜在进入者进入，则最优化为：
1110x（13-^-^-l）xt/2-4a一阶条件下，求得q；=^-^.a
2
在位者选择产呈:
①，在潜在者进入的情况下，其最优化为max（13-厲一的•一l）x®。
由一阶条件可得g「=6,因此，q；=3。
此时，再=1&©=5。
如果在位者设這壁垒，使得潜在进入不进入，即花=（13-4一的一1）*弘一4=0,代入q*=,解得°「=8,此时，ju,=16,兀2=0。
2
因此，在位者将选择产量6,即最后的精练子融弈纳什均衡是在位者选择产虽6,潜在进入者进入。
2、考虑如下扰动的性别战略博弈，其中A服从[0,1]的均匀分布，0弋£丈1山和匕是独立的，匕是参与人i的私人信息。
求出以上博弈所有纯战略贝叶斯均衡。
Si
s2
足球
芭蕾
足球
3+匕切1
£・t],£・12,
芭蕾
0,0
1,3+8.12
解：
构造一个贝叶斯均衡：
存在一个tj*G[0,1]和一个t2*G[0,l]o如果男的将选择足球赛；如果t&tr，女的将选择芭蕾舞。
因此，男的选择足球的概率是（1一t「）,女的选择芭蕾的概率是（l-t；）o现在我们来求解£和t「。
给泄男的战略，女的选择足球和芭蕾的期望效用分别为：
（l-t；）Xl+t；XO=（1-t.*）与（1—t.*）Xet2+trx（34-£t?
）=（3t/+ets）o因此满足：
（1—t/）=（3t「+£t：
*）0
因为博弈是对称的，在均衡的情况下，t：
=t2\解上述条件可得：
t'=l/（4+£）。
因此，贝叶斯均衡是：
（1）男参与人：
如果t"t・，男的将选择足球赛，否则选择芭蕾;如果t:
>t\女的将选择芭蕾舞，否则选择足球。
给左不完全信息，男方认为女方选择芭蕾的概率和女方认为男方选择足球的概率为：
1一1/（4+£）。
当£-0时，上述概率收敛于3/4,即在完全信息下的混合战略的概率：
男的以3/4的槪率选择足球，女的以3/4的概率选择芭蕾。
3、求岀下列信号传递模型的贝叶斯Nash均衡（讨论分离均衡和混同均衡）
（2.1）
（6.2）
（3.1）
（4.7）
解:
（1）自然选择发送者类型，告诉发送者，接收者不知逍发送者真实类型，但类型的
概率分布（040.6）是共同知识。
（2）接收者若看见R,—圧会选择ax若看见L,一泄会选择知。
发送者能够推测到接
收者接收到信号后的判断，因此，发送者知道如果自己是0・4类型不管选择什么信号结果都
一样，即R和L无差异；如果自己是0.6类型，R将是最优选择。
（3）发送者无论是何种类型皆可选择R策略，接收者接收到信号后选择距，这构成混同均衡。
（4）发送者是0.4类型选择L策略，接收者接收到信号后选择小，发送者是0.6类型
选择R策略，接收者接收到信号后选择a?
这构成分离均衡。
4、解：
根拯划线法，可求得两个纯战略纳什均衡：
（M,L）、（D.R〉。
根据奇数左理，该博弈可能存在混合战略纳什均衡。
为确怎混合战略均衡，先用重复剔除弱劣方法剔除掉参与人2的M战略，再剔除参与人1的U战略，得到如下支付表：
L
R
M
4,4
5,3
D
3,5
6,6
设参与人1的混合战略为（0,/»血），则在均衡状态下，对于参与人2有
4门+5/?
2=3门+6厂
由于门+〃2=1，得到/A=P2=h因此，参与人1的最优混合战略是利用对称性，参与人2的最优混合战略也是（14）»纳什均衡是（待，*），（妇*））。
5.解：
在完全信息条件下，纳什均衡是（宁,宁），对应的支付是（宇•峙该均衡
不是帕累托最优的。
帕累托最优产量当满足总产量为号，对应的总支付为宇。
在无限
重复下.如果给左产出组合是子博弈精炼的，对任意参与人，以下条件当满足：
—U-c）
—U-C）
L48
91一5
L24
1
其中左边第一项是背弃协议所得最大支付。
6、
（1）该博弈的战略式描述为
甲
乙
申请企业1
申请企业2
申请企业1
W\W1
2'2
Wl,W2
申请企业2
W2,W1
W2W2
22
（2）若甲选择企业1,乙将选择企业2：
若乙选择企业2,甲必然选择企业1,因此，（企业1，（企业2,企业1））是一个纯战略纳什均衡。
若甲选择企业2,乙将选择企业1；若乙选择企业1,甲必然选择企业2,因此，（企业2,（企业2,企业1））也是一个纯战略纳什均衡。
（3）假圧甲选择企业1的概率为a,选择企业2的概率为1-&：
乙选择企业1的概率为0.
选择企业2的槪率为1-0,则甲选择企业1的期望收益为——0+1丫1（1-0）,选择企业2
2
的期望收益为VV2/7+—（1-/7）,由二者相等可得乙选择两个企业的槪率分别为：
2
q2VV1-VV2t°2W2—W1
p=>p=
VV2+VV1VV2+VV1
2VVI-W22W2-W1\
合均衡是两学生均以（右P吋刊的概率决泄向企业】与企业2提出申请。
7、解：
企业i的利润函数为花=Pg一cq：
=（Pi-c）（u-］人十p,,由一阶条件
亦a+p.+c
——=«-2/7r+py+c=0可得企业i的反应函数为门=一口一o考虑到对称性，同圳2
样方法可以得到企业j的反应函数为巴联立此两方程可得两个寡头同时选2
择价格时的纳什均衡为：
p,=P）="+c。
8、考虑两种情况：
（1）若x>4,则单阶段博弈的纳什均衡为（西，花）,（吗，%），（%%），构造如下战略,若第一阶段（”,乃）出现，则第二阶段选择（召,吃）：
若第一阶段比偏离（牙，儿），选择花，则第二阶段选择（z,,z2）;若第一阶段s「偏离（开,乃），选择•勺，则第二阶段选择（wpvv2）o如此，对于5与S?
而言，第一阶段岀现（开,力）的条件是，其总收益4+2=6将不小于他们在第一阶段选择其他战略下的收益x+O=x,即x<6o即，（“,〉，2）在第一阶段出现的条件是4vjv56°
（2）当X<4时，单阶段的纳什均衡为（兀"2），（〉'1，〉‘2），31，叫），（2|，22），则完全有可能在第一阶段岀现（y,乃），因为S,与S?
都没有偏离的动机。
综上，（莎,〉，2）在第一阶段岀现的条件是x<6o
9、在该博弈中，S1的战略是私人信息类型的函数，当自然选择a时，S1选择T,当自然选择b时,S1选择氏
S2的战略则根据期望利益最大化进行决左。
S2选择L的期望收益是uX1+（1—u）X0=u,选择R的期望收益是UX0+（1-u）X2=2-2Uo由两种战略的无差异可得u=2/3。
所以当u>2/3时，S2选择L,当uv2/3时，S2选择R,
因此该博弈的纯战略贝叶斯纳什均衡是：
S1在自然选择a时，选择T,在自然选择b时，选择B：
S2在u>2/3时，选择L,在uv2/3时，选择R。
10、求解以下战略式博弈的所有纳什均衡
表1.3
S1
S2
L
M
R
T
7,2
2,7
3,6
B
2,7
7,2
4,5
首先考虑纯纳什均衡。
如果S1选择T战略一S2将选择M战略一S1选择B战略一S2将选择L战略一S1选择T战略……因此，该博弈不存在纯纳什均衡战略。
所以我们考虑寻找混合战略纳什均衡。
因此，S1可以对T与B策略进行混合，而S2则可以对L、M.R中的任意至少两个策略进行选择，因此，设S1选择T策略的概率为a,S2选择L策略的概率为卩，M策略的概率为丫，则可能有以下情况：
（1）S2选择L、M和R的混合战略。
对于S2而言，如果三种战略同时混合，必然满足三种战略的期望效用相同，因此，这一混合战略能否成立取决于是否满足以下两个方程：
2a+7（1-a）=7a+2（1-a）
7a+2（1-a）=6a+5（1-a）
该方程组无解，所以S2无法同时采用L、M和R同时混合的战略
（2）S2选择L和M混合战略。
如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，因此，需要满足以下方程：
2a+7（l—a）=7a+2（l—a）,解得：
a=l/2。
但是将a=1/2代入等式可得效用为2a+7（1-a）=7a+2（1—a）=9/2；同时，将a=l/2代入6a+5（1-a）可得苴值等于11/2。
9/2<11/2表明L和M的混合战略的期望效用小于R战略的期望效用，因此，这一混合战略也不满足纳什均衡。
（3）S2选择L和R混合战略。
如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，因此，需要满足以下方程：
6a+5（l—a）=2a+7（l—a）,解得：
a=l/3。
同样,将a=1/3代入等式可得6a+5（1—a）=2a+7（1—a）=16/3：
将a=1/3代入7a+2（1—a）可得英值等于13/3。
16/3>13/3表明L和R的混合战略的期望效用大于M战略的期望效用，因此，这一混合战略满足纳什均衡。
另一方而，计算S1的混合战略，需要满足以下等式：
70+2（1-0）=20+7（1—0）,
解得：
3=1/2.因此这一混合战略的纳什均衡为++
<3322；
（4）S2选择M和R的混合战略。
显然，这一战略不可能是纳什均衡战略，对于S2来说，如果放弃了L战略，那么对S1而言T战略将是劣战略，英
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