微积分下册主要知识点.docx
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微积分下册主要知识点
4.1不定积分
*基本积分表
*基本积分法：
利用基本积分表。
4.2换元积分法
一、第一换元积分法（凑微分法）
g[（x）]（x）dxg（u）duF（u）CF[（x）]C.
二、常用凑微分公式
积分类型
换兀公式
1.
1
f（axb）dx
a
f（axb）d（axb）（a0）
u
axb
2.
f（x）x1dx-
f（x）d（x）（0）
u
x
3.
1f（lnx）—dx
x
f（Inx）d（lnx）
u
Inx
第
4..
f（ex）exdxf（ex）dex
u
xe
换
5.
f（ax）axdxf（ax）dax
Ina
u
xa
元
6.
f（sinx）cosxdx
f（sinx）dsinx
u
sinx
积
分
法
7.
f（cosx）sinxdx
f（cosx）dcosx
u
cosx
8.
2
f（tanx）secxdx
f（tanx）dtanx
u
tanx
9.
2
f（cotx）cscxdx
f（cotx）dcotx
u
cotx
10.
1
f（arctanx）
1x
2dxf（arctanx）d（arctanx）
u
arctanx
11.
1
t（arcsinx）
<1
—dxt（arcsinx）d（arcsinx）
x
u
arcsinx
三、第二换元法
f（x）dxf[（t）]（t）dtF（t）CF[（x）]C,
注：
以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下
当被积函数中含有
a）
2a
x2,
可令x
asint;
b）
x2
a2,
可令x
atant;
c）
.x2
a2,
可令x
asect.
当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换x1.
t
四、积分表续
4.3分部积分法
分部积分公式：
udvuvvdu（3.1）
uvdxuvuvdx（3.2）
被积函数常考虑应用分部积分法（其中mn都是正整数）.
nx
esinmx
nx
ecosmx
nmx
n八、
xe
x（Inx）
n
xarcsinmx
xnarccosmx
xnarctanmx等
5.1定积分的概念
5.2定积分的性质
dx
b1a
b
g（x）dx,（ab）.
a
b
性质5若在区间［a,b］上有f（x）g（x）,则f（x）dx
a
b
推论1若在区间［a,b］上f（x）0,贝Uf（x）dx0,（ab）.
a
性质6（估值定理）设M及m分别是函数f（x）在区间［a,b］上的最大值及最小值，则
b
m（ba）f（x）dxM（ba）.
a
性质7（定积分中值定理）如果函数f（x）在闭区间［a,b］上连续，则在［a,b］上至少存在一个点，使
f（x）dxf（）（ba）,（ab）.
5.3微积分的基本公式
一、引例
二、积分上限的函数及其导数
x
（x）f（t）dt
a
定理2若函数f（x）在区间［a,b］上连续，则函数
x
（x）f（t）dt
a
就是f（x）在［a,b］上的一个原函数•三、牛顿一莱布尼兹公式定理3若函数F（x）是连续函数
b
b
udv
a
bb
[uv]avdu
a
或
b
uvdx
a
5.5广义积分
一、无穷限的广义积分
f（x）dx
a
F（x）|a
F（
b
f（x）dx
F（x）|b
F（b）
f（x）dx
F（x）|
F（
二、无界函数的广义积分
b
f（x）dxa
b
lim
0a
f（x）dx
）
F（a）
）F（）
F（）
bb
[uv]avudx
a
bb
f（x）dxlimf（x）dx.
a0a
5.6定积分的几何应用
一、微元法
定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式•
可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U（总量）表示为定积分的方法一一微
元法，这个方法的主要步骤如下：
（1）由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如x为积分变量，并确定它的变化区间［a,b］，任取［a,b］的一个区间微元［x,xdx］，求出相应于这个区间微元上部
分量U的近似值，即求出所求总量U的微元
dUf（x）dx；
bb
UdUf（x）dx
aa
微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一
节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用
应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：
则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量U之和•这一要由定积分概念本身所
决定的；
事，因此，在实际应用要注意dUf（x）dx的合理性.
二、平面图形的面积
（1）直角坐标系下平面图形的面积
（2）极坐标系下平面图形的面积
12
曲边扇形的面积微元dA［r（）］2d
12所求曲边扇形的面积A［（）］2d.
2
三、旋转体：
由一个平面图形绕这平面一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体.这条
直线称为旋转轴.
b2
所求旋转体的体积V［f（x）］2dx.
四、平行截面面积为已知的立体的体积：
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体
上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算
体积微元dVA（x）dx,
b
所求立体的体积VA（x）dx.
a
5.7积分在经济分析的应用
6.1空间解析几何简介
一、空间直角坐标系
在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的
点与有序数组（即点的坐标（x,y））对应起来.同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.
过空间一定点Q作三条相互垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴
（竖轴），统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系Qxyz（图6-1-1）.
空间直角坐标系有右手系和左手系两种.我们通常采用右手系.
二、空间两点间的距离
|MiM2|.（X2Xi）2（y2yi）2（Z2Zi）2.
三曲面及其方程
定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S上任一点坐标都满足方程F（X,y,z）0,而
不在曲面S上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程F（x,y,z）0称为曲面S的方程，而
曲面S就称为方程F（x,y,z）0的图形
空间曲面研究的两个基本问题是：
（1）已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程；
（2）已知曲面方程，研究曲面的几何形状.
平面
平面是空间中最简单而且最重要的曲面.可以证明空间中任一平面都可以用三元一次
方程
AxByCzD0（1.3）
来表示，反之亦然.其中A、B、C、D是不全为零常数.方程（1.3）称为平面的一般方程.
柱面
定义2平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面.这条定曲
线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线.
二次曲面
在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌.这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.
2
x
椭球面x2
a
22
：
2：
21（a°,b°,c0）X
椭圆抛物面
22zxy
2p2q
（p与q同号）
双曲抛物面
22
xy
z（p与q同号）
单叶双曲面
2
x
a
2yb2
2z
c
1（a0,b0,c0）
双叶双曲面
2x
2a
2yb2
2z
c
1（a0,b
0,c0）
2
2
2
次锥面笃与牛0（a0,b0,c0）
abc
2p2q
6.2多元函数的基本概念
一、平面区域的概念：
点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域
二、二元函数的概念
定义1设D是平面上的一个非空点集，如果对于D的任一点（x,y），按照某种法则f,
都有唯一确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在（x,y）处的函数值记为
f（x,y），即zf（x,y），其中x，y称为自变量，z称为因变量•点集D称为该函数的定义域，数集｛z|zf（x,y）,（x,y）D｝称为该函数的值域•
类似地，可定义三元及三元以上函数•当n2时，n元函数统称为多元函数•
二元函数的几何意义
三、二元函数的极限
定义2设函数zf（x,y）在点P0（x°,y。
）的某一去心邻域有定义，如果当点P（x,y）无
限趋于点P°（x0,y°）时，函数f（x,y）无限趋于一个常数A，则称A为函数zf（x,y）当（x,y）
（x°,y°）时的极限•记为
limf（x,y）A・
xxq
yyo
或f（x,y）A（（x,y）（xo’y。
））
也记作
limf（P）A或f（P）A（PPo）
PPo
二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述•为了区
别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限•
四、二元函数的连续性
定义3设二元函数zf（x,y）在点（X。
，y。
）的某一邻域有定义，如果
limf（x,y）f（x°,y。
）,
XX0
yyo
则称zf（x,y）在点（x0,y0）处连续•如果函数zf（x,y）在点（x0,y0）处不连续，则称函
数zf（x,y）在（X。
y°）处间断.
与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数•由x和
y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数•一切二元初等函数在其定义区域是连续的•这里定义区域是指包含在定
义域的区域或闭区域•利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可•
特别地，在有界闭区域D上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满
足的定理•下面我们不加证明地列出这些定理•
定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次•
定理2（有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界•
定理3（介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次•
6.3偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义1设函数zf（x,y）在点（x°,y°）的某一邻域有定义，当y固定在y而x在X。
处
有增量x时，相应地函数有增量
如果limf（X0
x0
x,y。
）
X
f（X0,y°）
对x的偏导数，
记为
z
X
x?
/x
f（X0x,y°）f（X0,y0）,
存在，则称此极限为函数zf（x,y）在点（x0,y0）处
ZxxX,或fx（x°,y°）.
xX0yy°yy°
例如，有
fx（x°,y°）|叫心0人％）心0，%）
x0X
类似地，函数zf（x,y）在点（X0,y°）处对y的偏导数为
y）f（x0,y。
）
y
记为
上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需把其余自变量看作常数，
然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之
二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：
（1）对一元函数而言，导数dy可看作函数的微分dy与自变量的微分dx的商•但偏
dx
导数的记号—是一个整体.
x
（2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.
（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续•但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续
例如，二元函数
O,（x,y）（O,O）
在点（O,O）的偏导数为
limf（Ox,O）f（O,O）
xox
|imf（O,Oy）f（O,O）
yoy
但从上节例5已经知道这函数在点（O,O）处不连续.
三、偏导数的几何意义
设曲面的方程为zf（x,y），Mo（x。
，y。
，f（x。
，y。
））是该曲面上一点，过点M。
作平面yyo，截此曲面得一条曲线，其方程为
zf（x,yo）
yyo
则偏导数fX（xO,yO）表示上述曲线在点Mo处的切线MOTX对x轴正向的斜率（图6-3-1）.同理，偏导数fy（Xo,yo）就是曲面被平面xXo所截得的曲线在点Mo处的切线M°Ty对y轴正向的斜率.
四、偏导数的经济意义
设某产品的需求量QQ（p,y）,其中p为该产品的价格，y为消费者收入.
记需求量Q对于价格p、消费者收入y的偏改变量分别为
pQQ（pp,y）Q（p,y）,
和yQQ（p,yy）Q（p,y）.
Q「pQ
lim
pp0p
表示当价格为
p、消费者收入为y时，Q对于p的变化率•称
pQ/QQp
Eplim
p0p/ppQ
为需求Q对价格p的偏弹性.
yQ
同理，一^表示Q对收入y由y变到yy的平均变化率•而y
yQ/Q
Eylim
y0y/y
为需求Q对收入y的偏弹性•
五、科布-道格拉斯生产函数
p（x,y）cxay1a,c0且0a1，
其中p是由x个人力单位和y个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。
偏导数
分别称为人力的边际生产力和资本的边际生产力
六、高阶偏导数
设函数zf（x,y）在区域D具有偏导数
—fx（x,y）,—fy（x,y）,
xy
则在Dfx（x,y）和fy（x,y）都是x、y的函数•如果这两个函数的偏导数存在，则称它们
是函数zf（x,y）的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数:
其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数
统称为高阶偏导数•
22
定理1如果函数zf（x,y）的两个二阶混合偏导数一-及一-在区域D连续，则
yxxy
在该区域有
6.4全微分
一、微分的定义
zf（xx,y
y）f（x,y）
可以表小为
zAxByo（）,
（4.2）
定义1如果函数z
点（x,y）可微分，AxBy称为函数zf（x,y）在点（x,y）的全微分，记为dz,即
dzAxBy.（4.3）
若函数在区域D各点处可微分，则称这函数在D可微分.
二、函数可微的条件
定理1（必要条件）如果函数zf（x,y）在点（x,y）处可微分，则该函数在点（x,y）的
偏导数—，—必存在，且z
xy
f（x,y）在点（x,y）处的全微分
dz
（4.4）
但对于多元函数则不然
我们知道，一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件定理1的结论表明，二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件
由此可见，对于多元函数而言，偏导数存在并不一定可微•因为函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况•但如果对偏
导数再加些条件，就可以保证函数的可微性•一般地，我们有：
定理2（充分条件）如果函数zf（x,y）的偏导数—在点（x,y）连续，则函数在
xy
该点处可微分.
三、微分的计算
样，函数zf（x,y）的全微分就表为
zz
dzdxdy.（4.5）
xy
上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元及三元以
上的多元函数中去•例如，三元函数uf（x,y,z）的全微分可表为
du—dx—dy—dz.（4.6）
xyz
四、全微分在近似计算中的应用
设二元函数zf（x,y）在点P（x,y）的两个偏导数fx（x,y）,fy（x,y）连续，且
1x|,|
y|都较小时，
则根据全微分定义，有
zdz
即
z
fx（x,y）xfy（x,y）y.
由z
f（xx,y
y）f（x,y），即可得到二元函数的全微分近似计算公式
f（xx,yy）f（x,y）fx（x,y）xfy（x,y）y（4.7）
6.5复合函数微分法与隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
1•复合函数的中间变量为一元函数的情形
设函数zf（u,v）,uu（t）,vv（t）构成复合函数zf[u（t）,v（t）]
公式（5.1）
中的导数
dzzdu
dtudt
空称为全导数.
dt
zdv
vdt
（5.1）
设zf（u,v）,uu（x,y）,
v
v（x,y）构成复合函数z
f[u（x,y）,v（x,y）],
z
zu
z
v
J
（5.3）
x
ux
v
x
z
zu
z
v
（5.4）
y
uy
v
y
3、复合函数的中间变量既有一
兀也有为多兀函数的情形
2、复合函数的中间变量为多元函数的情形
定理3如果函数uu（x,y）在点（x,y）具有对x及对y的偏导数,函数vv（y）在点
y可导，函数zf（u,v）在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数
zf[u（x,y）,v（y）]在对应点（x,y）的两个偏导数存在，且有
（5.7）
zdv
vdy
（5.8）
注：
这里一？
与丄是不同的，—是把复合函数z
xxx
f[u（x,y）,x,y]中的y看作不变而
对x的偏导数,
丄是把函数zf（u,x,y）中的u及y看作不变而对x的偏导数.—与
xy
丄也有类似的区别.
y
在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号：
’f（u,v）’f（u,v）’2f（u,v）
T12,
uv
2表示对第二个变量v求偏导数，同理有
这里下标1表示对第一个变量u求偏导数，下标
等等.
二、全微分形式的不变性根据复合函数求导的链式法则,
可得到重要的全微分形式不变性•以二元函数为例，设
zf（u,v）,uu（x,y）,vv（x,y）
是可微函数，则由全微分定义和链式法则，有
dz—dx—dyxy
——dx
ZU,U,zV,v.
dxdydxdy
uxyvxy
—du—dv.
uv
由此可见，尽管现在的u、v是中间变量，但全微分dz与x、y是自变量时的表达式在形式
上完全一致•这个性质称为全微分形式不变性•适当应用这个性质，会收到很好的效果•
三、隐函数微分法
在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程
F（x,y）0（5.11）
来求它所确定的隐函数的导数的方法.这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过
多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.
定理4设函数F（x,y）在点P（xo，yo）的某一邻域具有连续的偏导数，且
Fy（x0,y0）0,F（Xo,y。
）0,贝U方程F（x,y）0在点P（x°,y°）的某一邻域恒能唯一确定
定理5设函数F（x,y,z）在点P（x）,y0,z0）的某一邻域有连续的偏导数，且
F（X0,y°,Z0）0,Fz（X0,y0,zJ0,
则方程F（x,y,z）0在点p（x。
，y。
z。
）的某一邻域恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导
数的函数zf（x,y）,它满足条件z0f（x0,y0）,并有
zFx
xFz
6.6多元函数的极值及求法
一、二元函数极值的概念
定义1设函数zf（x,y）在点（X°,y°）的某一邻域有定义，对于该邻域异于（x°,y°）
的任意一点（x,y）,如果
f（x,y）f（x0,y°）,
则称函数在（x°,y°）有极大值；如果
f（x,y）f（x°,y。
）,
则称函数在（xo，y。
）有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值占
八、、-
定理1（必要条件）设函数zf（x,y）在点（X0,y。
）具有偏导数，且在点（Xo,y。
）处有极值,则它在该点的偏导数必然为零，即
fx（Xo,y°）0,fy（X0,yo）o.（6.1）
与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.
定理2（充分条件）设函数zf（x,y）在点（xo，y。
）的某邻域有直到二阶的连续偏导
数，又
fx（Xo,yo）
0,fy（x°,y°）
0.令
fXX
（x°,y。
）代
fxy（x°,y°）B,fyy（x°,y°）C.
（1）
当AC
B2
0时，函数
f（x,y）在（X0,y°）处有极值，
且当A
0时有极小值
f（X0,y°）；
A0时有极大值f（X0,y°）；
⑵
当AC
B2
0时，函数
f（x,y）在（X0,y°）处没有极值;
⑶
当AC
B2
0时，函数
f（x,y）在（x。
，y。
）处可能有极值，也可能没有极值
根据定理1与定理2,如果函数f（x,y）具有二阶连续偏导数，则求zf（x,y）的极值
的一般步骤为：
第一步解方程组fx（x,y）0,fy（x,y）0,求出f（x,y）的所有驻点；
第二步求出函数f（x,y）的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、BC的值，并根据
2
ACB的符号判定驻点是否为极值点.最后求
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