浙江卷高考试题数学.docx

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浙江卷高考试题数学

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学

参考公式：

若事件A，B互斥，则

若事件A，B相互独立，则

若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

台体的体积公式

其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高

柱体的体积公式

其中表示柱体的底面积，表示柱体的高

锥体的体积公式

其中表示锥体的底面积，表示锥体的高

球的表面积公式

球的体积公式

其中表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，集合，，则=

A．B．

C．D．

2．渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是

A．B．1

C．D．2

3．若实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是

A．B．1

C．10D．12

4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是

A．158B．162

C．182D．32

5．若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6．在同一直角坐标系中，函数y=，y=loga（x+），（a>0且a≠0）的图像可能是

7．设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是

则当a在（0,1）内增大时

A．D（X）增大B．D（X）减小

C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大

8．设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则

A．β<γ，α<γB．β<α，β<γ

C．β<α，γ<αD．α<β，γ<β

9．已知，函数，若函数恰有三个零点，则

A．a<-1，b<0B．a<-1，b>0

C．a＞-1，b＞0D．a＞-1，b<0

10．设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b，,则

A．当b=，a10＞10B．当b=，a10＞10

C．当b=-2，a10＞10D．当b=-4，a10＞10

非选择题部分（共110分）

二、填空题：

本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11．复数（为虚数单位），则=___________.

12．已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则=_____，=______.

13．在二项式的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______.

14．在中，，，，点在线段上，若，则____，________.

15．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.

16．已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.

17．已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________，最大值是_______.

三、解答题：

本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本小题满分14分）设函数.

（1）已知函数是偶函数，求的值；

（2）求函数的值域.

19.（本小题满分15分）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.

（1）证明：

；

（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

20.（本小题满分15分）设等差数列的前n项和为，，，数列满足：

对每个成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）记证明：

21.（本小题满分15分）如图，已知点为抛物线，点为焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记的面积为.

（1）求p的值及抛物线的标准方程；

（2）求的最小值及此时点G的坐标.

22.（本小题满分15分）

已知实数，设函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）对任意均有求的取值范围.

注：

e=2.71828…为自然对数的底数.

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学参考答案

一、选择题：

本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分40分。

1．A2．C3．C4．B5．A

6．D7．D8．B9．C10．A

二、填空题：

本题考查基本知识和基本运算。

多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11．12．13．14．

15．16．17．

三、解答题：

本大题共5小题，共74分。

18．本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

（I）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，

即，

故，

所以．

又，因此或．

（Ⅱ）

．

因此，函数的值域是．

19．本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

满分15分。

方法一：

（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.

又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F.

所以BC⊥平面A1EF.

因此EF⊥BC.

（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．

由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．

由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，

所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.

连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.

不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.

由于O为A1G的中点，故，

所以．

因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．

方法二：

连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC.

如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.

不妨设AC=4，则

A1（0，0，2），B（，1，0），，，C（0，2，0）.

因此，，．

由得．

20．本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。

满分15分。

（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意得

，

解得．

从而．

由成等比数列得

．

解得．

所以．

（Ⅱ）．

我们用数学归纳法证明．

（1）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；

（2）假设时不等式成立，即．

那么，当时，

．

即当时不等式也成立．

根据

（1）和

（2），不等式对任意成立．

21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。

满分15分。

（I）由题意得，即p=2.

所以，抛物线的准线方程为x=−1.

（Ⅱ）设，重心.令，则.

由于直线AB过F，故直线AB方程为，代入，得

，

故，即，所以.

又由于及重心G在x轴上，故，得.

所以，直线AC方程为，得.

由于Q在焦点F的右侧，故.从而

.

令，则m>0，

.

当时，取得最小值，此时G（2，0）.

22．本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。

满分15分。

（Ⅰ）当时，．

，

所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．

（Ⅱ）由，得．

当时，等价于．

令，则．

设，则

．

（i）当时，，则

．

记，则

.

故

1

0

+

单调递减

极小值

单调递增

所以，．

因此，．

（ii）当时，．

令，则，

故在上单调递增，所以．

由（i）得．

所以，．

因此．

由（i）（ii）得对任意，，

即对任意，均有．

综上所述，所求a的取值范围是．