第一章直线和平面 二面角练习.docx

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第一章直线和平面二面角练习

高中立体几何教案第一章直线和平面二面角练习课教案

教学目标

1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力．

教学重点和难点

重点：

使学生能够作出二面角的平面角；

难点：

根据题目的条件，作出二面角的平面角．

教学设计过程

重温二面角的平面角的定义．

（本节课设计的出发点：

空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：

定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．这正是本节课要解决的问题．）

教师：

二面角是怎样定义的？

学生：

从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角．

教师：

二面角的平面角是怎样定义的？

学生：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

教师：

请同学们看下图．

如图1：

α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OCα，且OC⊥l；ODβ，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：

（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；

（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征

（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．

（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背影．

教师：

请同学们对以上特征进行剖析．

学生：

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的定位可化归为“定点”或“定线”的问题．

教师：

特征

（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背影互相沟通，给计算提供方便．

（上面的引入力争符合练习课教学的特点．练习是形成技能的重要途径，练习课主要是训练学生良好的数学技能，同时伴随着巩固知识，发展智能和培育情感．特别要注意做到第一，知识的激活．激活知识有两个目的，一是突出了知识中的重要因素；二是强化知识中的基本要素．第二，思维的调理．练习课成功的关键在于对学生思维激发的程度．学生跃跃欲试正是思维准备较好的体现．因此，准备阶段安排一些调理思维的习题，确保学生思维的启动和运作．请看下面两道例题．）

例1已知：

如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．

分析：

由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，

VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）

正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件．

特征

（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．

例2矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”．

如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．

由特征

（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．

另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．

通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征

（2）从另一角度告诉我们：

要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．

1．设计好练习．设计好练习是成功练习的前提．如何设计好练习是一门很深的学问，要注意：

围绕重点，精选习题；由易到难，呈现题组；形式灵活，题型多变．

2．组织好练习．组织练习是“导练”的实质，“导练”就是有指导、有组织的练习过程．要通过一题多用、一题多变、一题多解等使学生举一反三，从而提高练习的效果．有组织的练习还包括习题的临时增删、节奏的随时控制、要求的适时调整等．

3．讲评好练习．讲评一般安排在练习后进行，也可以在练习前或练习时．练习前的讲评，目的是唤起学生的注意，提醒学生避免出错起到前馈控制的作用；练习时的讲评，属于即时反馈，即学生练习，教师巡视，从中发现共性问题及时指出来，以引起学生的注意；更多的是练习后的讲评，如果采用题组练习，那么最常用的办法是一组练习完毕后教师讲评，再进行下一组练习，以此类推．

教师：

由例1、例2和课堂练习，我们已经看到二面角的平面角有三个特征，这三个特征互相联系，客观存在，但在许多问题中却表现得含糊而冷漠，三个特征均藏而不露，在这种形势下，需认真探索．

学生：

应探索体现出一完整的三垂线定理的环境背景，有了“垂线段”，便可以定位．

教师：

请大家研究下面的例题．

分析：

为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．

解：

因为AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD．

所以AB∥平面CPD．

又P∈平面APB，且P∈平面CPD，

因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．

因为AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，

所以AB∥l．

过P作PE⊥AB，PE⊥CD．

因为l∥AB∥CD，

因此PE⊥l，PF⊥l，

所以∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因为PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，