数字信号处理讲义--第5章线性时不变系统的变换分析.doc
《数字信号处理讲义--第5章线性时不变系统的变换分析.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数字信号处理讲义--第5章线性时不变系统的变换分析.doc(31页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第5章线性时不变系统的变换分析
[教学目的]
1.了解LTI系统频率响应的概念;
2.掌握线性常系数差分方程所表征系数的系统函数的方法;
3.掌握有理系统频率响应分析方法
4.理解线性相位系统、广义线性相位系统与因果广义线性相位系统的概念,几类线性相位系统。
[教学重点与难点]
重点:
1.线性常系数差分方程所表征系数的系统函数的方法;
2.有理系统频率响应分析方法;
3.几类线性相位系统。
难点:
1.有理系统频率响应分析方法
几类线性相位系统
5.1LTI系统的频率响应
前面已经讨论过,在时域中,一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h(n)来表示。
对于一个给定的输入x(n),其输出y(n)为
对等式两端取Z变换,得
则
(5-1)
两边做离散傅立叶变换有:
|Y(ejω)|=|H(ejω)|·|X(ejω)|(5-2)
|Y(ejω)|=|H(ejω)|·|X(ejω)|
arg[Y(ejω)]=arg[H(ejω)]+arg[X(ejω)]
|H(ejω)|幅度响应:
增益/幅频特性调整输入信号各频率分量的相对强度(幅度)关系
Arg[H(ejω)]频率响应的相位响应:
相移/相频特性调整输入信号各频率分量的相对位置(相位)关系
H(ejω)调整输入信号各频率分量的相对大小(幅度)及位置(相位)关系
5.1.1理想低通滤波器的选择性
5.1.2相位失真与延时
线性相位:
不会改变信号的相对位置,时延相同
线性相位的效应:
时延
非线性相位:
改变信号的相对位置时延不相同
5.2用线性常系数差分方程所表征系统的系统函数
一个线性时不变系统也可以用常系数线性差分方程来表示,其N阶常系数线性差分方程的一般形式为
若系统起始状态为零,这样就可以直接对上式两端取Z变换,利用Z变换的线性特性和移位特性可得
这样就得到系统函数为
(5-3)
由此看出系统函数分子、分母多项式的系数分别就是差分方程的系数。
式(5-3)是两个z-1的多项式之比,将其分别进行因式分解,可得
(5-4)
式中,z=ck是H(z)的零点,z=dk是H(z)的极点,它们都由差分方程的系数ak和bk决定。
因此,除了比例常数b0/a0以外,系统函数完全由它的全部零点、极点来确定。
但是式(5-3)(或式(5-4))并没有给定H(z)的收敛域,因而可代表不同的系统。
这在前面我们说过,差分方程并不惟一地确定一个线性系统的单位脉冲响应是一致的。
同一个系统函数,收敛域不同,所代表的系统就不同,所以必须同时给定系统的收敛域才行。
而对于稳定系统,其收敛域必须包括单位圆,因而,在Z平面以极点、零点图描述系统函数,通常都画出单位圆以便看出极点是在单位圆内还是位于单位圆外。
5.2.1因果性与稳定性
因果性:
单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统称为因果系统,因此因果系统的系统函数H(z)具有包括z=∞点的收敛域,即
(5-5)
稳定性:
一个线性时不变系统稳定的充分必要条件为h(n)必须满足绝对可和条件,即
而Z变换的收敛域由满足 的那些z值确定,因此稳定系统的系统函数H(z)必须在单位圆上收敛,即收敛域包括单位圆|z|=1,H(ejω)存在。
因果稳定系统
因果稳定系统是最普遍、最重要的一种系统,它的系统函数H(z)必须在从单位圆到∞的整个Z域内收敛,即
(5-6)
也就是说,系统函数的全部极点必须在单位圆内。
例5-1已知系统函数为
2<|z|≤∞
求系统的单位脉冲响应及系统性质。
解系统函数H(z)有两个极点z1=0.5,z2=2。
从收敛域看,收敛域包括∞点,因此系统一定是因果系统。
但是单位圆不在收敛域内,因此可以判定系统是不稳定的。
由于2nu(n)项是发散的,可见系统确实是不稳定的。
例5-2系统函数不变,但收敛域不同。
求系统的单位脉冲响应及系统性质。
解收敛域包括单位圆但不包括∞点,因此系统是稳定的但是非因果的。
由系统函数的Z反变换可得
由于存在2nu(-n-1)项,因此系统是非因果的。
5.2.2逆系统
定义:
(1)如一个系统不同的输入下,就有不同的输出,则系统是可逆的;如系统是可逆的,那就有一个逆系统存在
(2)一个可逆的系统与原系统级联后,输出就会等于输入:
令:
记H(z)的逆系统
若,已知,求,正问题;
多数情况如此
若,已知,求,逆问题;
已知系统和输出,求源
心电逆问题,脑电逆问题
若,已知,求,逆问题;
已知输入输出,求系统
矿物勘探、地球物理等领域
由输出求输出和系统这两种情况都要用到“逆系统”和“反卷积”的概念:
如果
互为逆系统
最小相位系统 稳定的充要条件
1.若系统输入、输出已知,希望求系统
调整的参数,使接近等于,则
2.若系统输入未知,输出已知,希望求系统
调整的参数,使接近等于,则
3.若系统输出已知,再知道输入或系统,欲求另一个,可采用反卷积的方法:
M依次递推
deconv.m
5.2.3有理系统函数的单位脉冲响应
在第四章讨论了用部分分式展开技术求Z反变换的方法。
对于一个N阶的系统函数,它的一般表示式为
该系统函数是z-1的有理函数,如果它仅仅具有一阶极点,那么它通常可以展开成如下形式:
(5-7)
前面一个和式是通过长除法得到的,只有在M≥N时才存在。
如假设系统是因果的,则H(z)的收敛域必须是在所有极点的外侧。
H(z)对应的单位脉冲响应为
(5-8)
在线性时不变系统中,分成两类不同的系统:
若系统的单位脉冲响应延伸到无穷长,称之为“无限长单位脉冲响应系统”,简写为IIR系统。
若系统的单位脉冲响应是一个有限长序列,称之为“有限长单位脉冲响应系统”,简称为FIR系统。
从IIR系统的定义可知,若要h(n)为无限长序列,那么在式(5-8)中,至少有一项Akdnku(n),也即要求H(z)至少有一个非零极点。
这只要式(5-7)的分母多项式除a0外至少有一个系数ak≠0,则在有限Z平面就会出现极点,那么这个系统就是IIR系统。
如果除a0外全部ak=0(k=1,2,…,N),则系统就属于FIR系统。
这是因为前面已说过,有限长序列h(n)的Z变换H(z)在有限Z平面0<|z|<∞收敛。
也就是说,H(z)在有限Z平面不能有极点,只存在零点。
这时系统函数H(z)可表示为
(5-9)
单位脉冲响应为:
(5-10)
系统的差分方程:
(5-11)
系统的差分方程:
(5-11)
从结构类型来看,IIR系统除a0外至少有一个ak≠0,其差分方程表达式(设a0=1)为
(5-12)
可以看出,ak≠0,求y(n)时,需将各y(n-k)反馈过来,用-ak加权后和各bkx(n-k)相加,因而有反馈环路,这种结构称为“递归型”结构。
也可以看出,IIR系统输出不但和各x(n-k)有关,且和各y(n-k)有关。
如果全部ak=0(k=1,2,…,N),则没有反馈环路,称之为“非递归型”结构。
也可以看出,FIR系统的输出只和各输入x(n-k)有关。
IIR只能采用递归型结构,FIR系统多采用非递归型,但若用零点、极点互相抵消的办法,则也可采用含有递归结构的电路。
例5-3考虑一个因果系统,其输入输出满足差分方程
y(n)=0.5y(n-1)+x(n)
显然,其系统函数为
因系统是因果系统,故其收敛域为|z|>0.5。
该系统的单位脉冲响应为
因h(n)为无限长,故为IIR系统。
例5-4一个FIR系统的单位脉冲响应为
则系统函数为
(5-13)
其零点
k=0,1,…,(N-1)
z=a处有一极点。
假设a是正实数,显然z=a的极点被z=a的零点抵消。
若N=8,则极-零点图如图5-1所示。
其差分方程为线性卷积,即
(5-14)
从式(5-12)最右边的H(z)表示式可得另一种形式的差分方程
y(n)-ay(n-1)=x(n)-aNx(n-N)(5-15)
式(5-14)和式(5-15)是两种等价的差分方程,因为它们是从两个等价