二次函数与一元二次方程根的分布.docx
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二次函数与一元二次方程根的分布
二次函数与一元二次方程根的分布
一、内容
1.能应用不等式的有关知识,对一元二次方程的实根分布进行讨论.
2.借助二次函数的图象进行实根分布的讨论,培养学生数形结合的思想.
3.能将实根分布等价转化为不等式(组)的求解问题,体现等价转化的数学思想.
二、要点大揭秘
1.二次函数及图象
设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),判别式Δ=b2-4ac,当Δ>0时y=f(x)与x轴有二交点;当Δ=0时,y=f(x)与x轴仅有一交点;当Δ<0时,y=f(x)与x轴无交点.
当Δ>0时,设y=f(x)图象与x轴两交点为x1<x2.一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1,x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根.
观察图象不难知道.
图像为
观察图象不难知道△=0,a>0 ,△=0,a<0
当△<0时,y=f(x)图象与x轴无公共点,其图象为
观察图象不难知道.
a>0时,绝对不等式f(x)>0解为x∈R.
a<0时,绝对不等式f(x)<0解为x∈R.
2.讨论一元二次方程的根的分布情况时,往往归结为不等式(组)的求解问题,其方法有3种:
(1)应用求根公式;
(2)应用根与系数关系;
(3)应用二次函数图象.在进行转化时,应保证这种转化的等价性.
就这三种方法而言,应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法.
设f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+x=0的个根为α,β(α≤β),m,n为常数,且n<m,方程根的分布无外乎两种情况:
②α,β同居一区间时,不但要考虑端点函数值的符号,还要考虑
三、好题解给你
(1)
(1) 预习题
1.设有一元二次函数y=2x2-8x+1.试问,
当x∈[3,4]时,随x变大,y的值变大还是变小?
由此y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值分别是什么?
解:
经配方有y=2(x-2)2-7
∵对称轴x=2,区间[3,4]在对称轴右边,
∴y=f(x)在[3,4]上随x变大,y的值也变大,因此
ymax=f(4)=1.
ymin=f(3)=-5.
2.设有一元二次函数y=2x2-4ax+2a2+3.试问,此函数对称轴是什么?
当x∈[3,4]时,随x变大,y的值是变大还是变小?
与a取值有何关系?
由此,求y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值.
解:
经配方有y=2(x-a)2+3.
对称轴为x=a.
当a≤3时,因为区间[3,4]在对称轴的右边,因此,当x∈[3,4]时,随x变大,y的值也变大.
当3<a<4时,对称轴x=a在区间[3,4]内,此时,若3≤x≤a,随x变大,y的值变小,但若a≤x≤4,随x变大,y的值变大.
当4≤a时,因为区间[3,4]在对称轴的左边,因此,当x∈[3,4]时,随x变大,y的值反而变小.
根据上述分析,可知.
当a≤3时,ymax=f(4)=2a2-16a+35.ymin=f(3)=2a2-12a+21.
当3<a<4时,ymin=f(a)=3.
其中,a≤3.5时,ymax=f(4)=2a2-16a+35.
a≥3.5时,ymax=f(3)=2a2-12a+21.
当a≥4时,ymax=f(3)=2a2-12a+21.ymin=f(4)=2a2-16a+35.
(2)
(2) 基础题
例1.设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)=0.试问:
(1)m为何值时,有一正根、一负根.
(2)m为何值时,有一根大于1、另一根小于1.
(3)m为何值时,有两正根.
(4)m为何值时,有两负根.
(5)m为何值时,仅有一根在[1,4]内?
解:
(1)设方程一正根x2,一负根x1,显然x1、x2<0,依违达定理有m+2<0.
∴ m<-2.
反思回顾:
x1、x2<0条件下,ac<0,因此能保证△>0.
(2)设x1<1,x2>1,则x1-1<0,x2-1>0只要求(x1-1)(x2-1)<0,即x1x2-(x1+x2)+1<0.
依韦达定理有
(m+2)+2(m-1)+1<0.
(3)若x1>0,x2>0,则x1+x2>0且x1,x2>0,故应满足条件
依韦达定理有
(5)由图象不难知道,方程f(x)=0在[3,4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)<0,即
[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]<0.
∴(7m+1)(9m+10)<0.
例2.当m为何值时,方程有两个负数根?
解:
负数根首先是实数根,∴,
由根与系数关系:
要使方程两实数根为负数,必须且只需两根之和为负,两根之积为正.
由以上分析,有
即
∴当时,原方程有两个负数根.
(3)(3) 应用题
例1.m取何实数值时,关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两个实根都大于2?
解:
设f(x)=x2+(m-2)x+5-m,如图原方程两个实根都大于2
所以当-5<m≤-4时,方程的两个实根大于2.
例2.已知关于x方程:
x2-2ax+a=0有两个实根α,β,且满足0<α<1,β>2,求实根a的取值范围.
解:
设f(x)=x2-2ax+a,则方程f(x)=0的两个根α,β就是抛物线y=f(x)与x轴的两个交点的横坐标,如图0<α<1,β>2的条件是:
<1,β>2.
例3.m为何实数时,关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的一个实根大于2,另一个实根小于2.
解:
设f(x)=x2+(m-2)x+5-m,如图,原方程一个实根大于2,另一个实根小于2的充要条件是f
(2)<0,即4+2(m-2)+5-m<0.解得m<-5.所以当m<-5时,方程的一个实根大于2,另一个实根小于2.
(4)(4) 提高题
例1.已知函数的图象都在x轴上方,求实数k的取值范围.
解:
(1)当,则所给函数为二次函数,图象满足:
,即
解得:
(2)当时,
若,则的图象不可能都在x轴上方,∴
若,则y=3的图象都在x轴上方
由
(1)
(2)得:
反思回顾:
此题没有说明所给函数是二次函数,所以要分情况讨论.
例2.已知关于x的方程(m-1)x2-2mx+m2+m-6=0有两个实根α,β,且满足0<α<1<β,求实数m的取值范围.
解:
设f(x)=x2-2mx+m2+m-6,则方程f(x)=0的两个根α,β,就是抛物线y=f(x)与x轴的两个交点的横坐标.
如图,0<α<1<β的条件是
解得
例3.已知关于x的方程3x2-5x+a=0的有两个实根α,β,满足条件α∈(-2,0),β∈(1,3),求实数a的取值范围.
解:
设f(x)=3x2-5x+a,由图象特征可知方程f(x)=0的两根α,β,并且α∈(-2,0),β∈(1,3)的
解得-12<a<0.
四、课后演武场
1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数,则m的取值范围是(B)
A. B. C. D.
2.方程x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大,另一个根比-1小,则m的取值范围是(C)
A.0<m<2 B.-3<m<1 C.-2<m<0 D.-1<m<1
3.已知方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是(C)
A. B.
C. D.
4.已知关于x的方程3x2+(m-5)x+7=0的一个根大于4,而另一个根小于4,求实数m的取值范围.
可知方程f(x)=0的一根大于4,另一根小于4的充要条件是:
f(4)<0)
5.已知关于x的方程x2+2mx+2m+3=0的两个不等实根都在区间(0,2)内,求实数m的取值范围.
征可知方程f(x)=0的两根都在(0,2)内的充要条件是
学科:
数学
教学内容:
二次函数与一元二次方程
Ⅰ.背景材料
坐标系的由来
传说中有这么一个故事:
有一天,笛卡尔(1598~1650,法国哲学家、数学家、物理学家)生病卧床,但他头脑一直没有休息,在反复思考一个问题:
几何图形是直观的,而代数方程则比较抽象,能不能用几何图形来表示方程呢?
这里,关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩.他就拼命琢磨通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来.突然,他看见屋顶角上的一只蜘蛛,拉着丝垂了下来,一会儿,蜘蛛又顺着丝爬上去,在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”,使笛卡尔思路豁然开朗.他想,可以把蜘蛛看作一个点,他在屋子里可以上、下、左、右运动,能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢?
他又想,屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线,如果把地面上的墙角作为起点,把交出来的三条线作为三根数轴,那么空间中任意一点的位置,不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗?
反过来,任意给一组三个有顺序的数,例如3、2、1,也可以用空间中的一个点P来表示它们(如图2-8-1①).同样,用一组数(a、b)可以表示平面上的一个点,平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示(如图2-8-1②).于是在蜘蛛的启示下,笛卡尔创建了直角坐标系.
无论这个传说的可靠性如何,有一点是可以肯定的,就是笛卡尔是个勤于思考的人.这个有趣的传说,就像瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖发明了蒸汽机一样,说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中,很可能是受到周围一些事物的启发,触发了灵感.
直角坐标系的创建,在代数和几何上架起了一座桥梁.它使几何概念得以用代数的方法来描述,几何图形可以通过代数形式来表达,这样便可将先进的代数方法应用于几何学的研究.
笛卡尔在创建直角坐标系的基础上,创造了用代数方法来研究几何图形的数学分支——解析几何.他的设想是:
只要把几何图形看成是动点的运动轨迹,就可以把几何图形看成是由具有某处共同特性的点组成的.比如,我们把圆看成是一个动点对定点O作等距离运动的轨迹,也就可以把圆看作是由无数到定点O的距离相等的点组成的.我们把点看作是组成图形的基本元素,把数看成是组成方程的基本元素,只要把点和数挂上钩,也就可以把几何和代数挂上钩.
把图形看成点的运动轨迹,这个想法很重要!
它从指导思想上,改变了传统的几何方法.笛卡尔根据自己的这个想法,在《几何学》中,最早为运动着的点建立坐标,开创了几何和代数挂钩的解析几何.在解析几何中,运点的坐标就成了变数,这是数学第一次引进变数.
恩格期高度评价笛卡尔的工作,他说:
“数学中的转折点是笛卡尔的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学.”
坐标方法在日常生活中用得很多.例如象棋、国际象棋中棋子的定位,电影院、剧院、体育馆的看台,火车车厢的座位及高层建筑的房间编号等都用到坐标的概念.
随着同学们知识的不断增加,坐标方程的应用会更加广泛.
悟与问:
勤于思考,才会有所发现,灵感肯定不会自己从天上落下来,那么我们在学习中,怎样才会有许多灵感呢?
Ⅱ.课前准备
一、课标要求
体会二次函数与方程之间的联系;掌握用图象法求方程的近似根;理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根;理解一元二次方程的根就是二次函数y=h(h是实数)图象交点的横坐标.
二、预习提示
1.关键概念和原理提示
(1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点的横坐标即方程ax2+bx+c=0的根.
(2)抛物线与x轴交点与方程ax2+bx+c=0根的情况相同,有三种.
(3)判别抛物线与x轴交点的情况可用方程判别式△=b2-4ac.
2.预习方法提示:
由实际问题引出,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点即