例3、.
一质量m＝2kg的小球从光滑斜面上高h＝3.5m处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R＝1m的光滑圆环，如图所示，试求：
（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力
（2）小球至少应从多高处由静止滑下才能越过圆环最高点
（3）小球从
＝2m处由静止滑下时将在何处脱离圆环.（g＝10m/
）
讲义书：
P72例四
题型三．多个物体的机械能守恒问题
例1．如图所示，一固定的契形木块，其上表面光滑，斜面的倾角θ=300，另一边与水平地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细绳子跨过定滑轮，两端分别与物体A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。
开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑S距离时，细绳突然断了，求物体B上升的最大高度H。
（B始终不与定滑轮相碰）
例2如图所示,半径为R的1/4圆弧支架竖直放置,支架底AB离地的距离为2R,圆弧边缘C处有一小定滑轮,一轻绳两端系着质量分别为m1与m2的物体,挂在定滑轮两边,且m1>m2,开始时m1、m2均静止,m1、m2可视为质点,不计一切摩擦.
（1）求m1经过圆弧最低点A时的速度.
（2）若m1到最低点时绳突然断开,求m1落地点离A点水平距离.
（3）为使m1能到达A点,m1与m2之间必须满足什么关系?
拓展：
例3.
A
C
R
O
B
θ
如图所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A是质量为mA的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动．碗和杆的质量关系为：
mB＝2mA．初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）．然后从静止开始释放A，A、B便开始运动．设A杆的位置用θ表示，θ为碗面的球心至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角．求A与B速度的大小（表示成θ的函数）．
题型四．与弹簧有关的机械能守恒类问题
例１讲义书P93：
.一个质量m＝0.20kg的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光滑竖立的圆环上的Ｂ点，弹簧的上端固定于环的最高点Ａ，环的半径Ｒ＝０.50ｍ，弹簧的原长Ｌ0＝0.50ｍ，劲度系数为4.8Ｎ/m，如图所示,若小球从图中所示位置B点由静止开始滑动到最低点C时,弹簧的弹性势能EP＝0.60J.求:
（1）小球到C点时的速度VC的大小；
（2）小球在C点时对环的作用力大小和方向.（ｇ＝10m/s2）
例２.如图所示,已知轻弹簧发生弹性形变时所具有的弹性势能
其中k为弹簧的劲度系数,x为其形变量.现有质量为m1的物块与劲度系数为k的轻弹簧相连,并静止地放在光滑的水平桌面上,弹簧的另一端固定,按住物体m1,弹簧处于自然长度,在m1的右端连一细线并绕过光滑的定滑轮接一个挂钩.现在将质量为m2的小物体轻轻的挂在挂钩上.设细线不可伸长,细线、挂钩、滑轮质量及一切摩擦均不计,由静止释放m1,求
（1）m1速度达最大值时,弹簧伸长的长度.
（2）m1的最大速度值.
讲义书P94例四高考弹簧题
题型五．机械能守恒定律处理变质量问题
例3.有一条长为L的均匀金属链条,如图所示,有一半长度在光滑斜面上,斜面倾角为θ,另一半长度竖直下垂在空中,当链条从静止开始释放后链条滑动,求链条全部刚好滑出斜面的瞬间,它的速度多大?
训练：
在水平地面上平铺n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h，如将砖一块一块地叠，需要做多少功？
其它类：
绳子突然绷紧,物体间非弹性碰撞,机械能必不守恒,其中完全非弹性碰撞过程机械能损失最多.
例4
．如图所示，一根伸长的轻质细线，一端固定于O点，另一端拴有一质量为m的小球，可在竖直平面内绕O点摆动，现拉紧细线使小球位于与O点在同一竖直面内的A位置，细线与水平方向成30°角，从静止释放该小球，当小球运动至悬点正下方C位置时，承受的拉力是多大？
例5．如图所示，质量均为m和小球A、B、C，用两条长为L的细线相连，置于高为h的光滑水平桌面上，L＞ｈ，Ａ球刚刚跨过桌边，若Ａ球，Ｂ球相继下落着地后均不再反跳，则Ｃ球离开桌边时的速度大小为______
三、机械能守恒定律学案
一、单个物体在变速运动中的机械能守恒问题
1
如图所示，一个光滑的水平轨道AB与光滑的圆轨道BCD连接，其中图轨道在竖直平面内，半径为R，B为最低点，D为最高点．一个质量为m的小球以初速度v0沿AB运动，刚好能通过最高点D，则
A．小球质量越大，所需初速度v0越大
B．圆轨道半径越大，所需初速度v0越大
C．初速度v0与小球质量m、轨道半径R无关
D．小球质量m和轨道半径R同时增大，有可能不用增大初速度v0
2
如图,斜面与半径R=2.5m的竖直半圆组成光滑轨道,一个小球从A点斜向上抛,并在半圆最高点D水平进入轨道,然后沿斜面向上,最大高度达到h=10m,求小球抛出的速度和位置.
3如图所示，一个
圆弧形光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点．将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．
（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如何？
（2）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的最大高度是多少？
4如图是放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置,滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成:
水平直轨AB,半径分别为R1=1.0m和R2=3.0m的弧形轨道,倾斜直轨CD长为L=6m,AB、CD与两圆形轨道相切,其中倾斜直轨CD部分表面粗糙,动摩擦因数为
其余各部分表面光滑.一质量为m=2kg的滑环（套在滑轨上）,从AB的中点E处以
0=10m/s的初速度水平向右运动.已知θ=37°（g取10m/s2）求:
（1）滑环第一次通过O2的最低点F处时对轨道的压力.
（2）滑环通过O1最高点A的次数.
（3）滑环克服摩擦力做功所通过的总路程.
二、系统机械能守恒问题
1如图所示，长为L的均匀链条，放在高H（H>L）的光滑桌面上。
开始时链条有长为a的部分处于桌面上，其余从桌边下垂。
现从此状态释放链条，试求：
⑴链条下端触地时速度多大；
⑵链条上端触地时速度多大。
2如图所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面相垂直，圆心处有一垂直盘面光滑水平固定轴O，在盘的最边缘固定一质量为m的小球A，在O点正下方离O点
处固定一质量也为m的小球B。
放开盘让其自由转动，问：
当A球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？
3如图所示,倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A、B,两小球用一根长为L的轻杆相连,下面的小球B离斜面底端的高度为h,两小球从静止开始下滑,不计与地面碰撞时的机械能损失,且地面光滑,试求:
（1）两小球在光滑平面上运动时的速度.
（2）在这过程中杆对A球所做的功;
（3）杆对A球做功所处的时间段（定性说明即可）
4如图所示,B是质量为2m，半径为Ｒ的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上，Ａ是质量为ｍ的细长直杆．光滑套管Ｄ被固定在竖直方向，Ａ可自由上下运动，物块Ｃ的质量为ｍ，紧靠半球形碗放置．初始时，Ａ杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触，然后从静止开始释放Ａ，Ａ、Ｂ、Ｃ便开始运动，求：
（1）长直杆的下端运动到碗的最低点时，长直杆竖直方向的速度和ＢＣ水平方向的速度；
（2）运动过程中，长直杆的下端能上升到的最高点距离半球形碗底部的高度．
5光滑的长轨道形状如图所示，底部为半圆型，半径R，固定在竖直平面内。
AB两质量相同的小环用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上。
将AB两环从图示位置静止释放，A环离开底部2R。
不考虑轻杆和轨道的接触，即忽略系统机械能的损失，求：
（1）AB两环都未进入半圆型底部前，杆上的作用力。
（2）A环到达最低点时，两球速度大小。
（3）若将杆换成长，A环仍从离开底部2R处静止释放，经过半圆型底部再次上升后离开底部的最大高度。
6如图所示,长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架,在A处固定质量为2m的小球,B处固定质量为m的小球.支架悬挂在O点,可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动.开始时OB与地面相垂直.放手后开始运动,在不计任何阻力的情况下,下列说法正确的是（）
A．A球到达最低点时速度为零
B．A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度
D．当支架从左向右回摆时,A球一定能回到起始高度
7如图所示，重物A、B、C的质量相等，A、B用细绳绕过轻小定滑轮相连接。
开始时A、B静止，滑轮间细绳MN长6.0m。
现将C物体轻轻挂在MN绳的中点，求：
⑴C下落多大高度时速度最大？
C的最大速度多大？
⑵C下落的最大距离多大？
8如图所示,半径为R的1/4圆弧支架竖直放置,支架底AB离地的距离为2R,圆弧边缘C处有一小定滑轮,一轻绳两端系着质量分别为m1与m2的物体,挂在定滑轮两边,且m1>m2,开始时m1、m2均静止,m1、m2可视为质点,不计一切摩擦.
（1）求m1经过圆弧最低点A时的速度.
（2）若m1到最低点时绳突然断开,求m1落地点离A点水平距离.
（3）为使m1能到达A点,m1与m2之间必须满足什么关系?
9如图所示，一固定的契形木块，其上表面光滑，斜面的倾角θ=300，另一边与水平地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细绳子跨过定滑轮，两端分别与物体A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。
开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑S距离时，细绳突然断了，求物体B上升的最大高度H。
（B始终不与定滑轮相碰）
10如图所示，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小木块m连接，且m、M及M与地面间摩擦不计．开始时，m和M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2，设两物体开始运动以后的整个运动过程中，弹簧形变不超过其弹性限度。
对于m、M和弹簧组成的系统（）
A．由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒
B．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m、M各自的动能最大
C．由于F1、F2大小不变，所以m、M各自一直做匀加速运动
D．由于F1、F2均能做正功，故系统的机械能一直增大
11如图所示，已知轻弹簧发生弹性形变时所具有的弹性势能为
，其中k为轻弹簧的劲度系数，x为其形变量。
现有质量为m1的物块A与劲度系数为k的轻弹簧相连并静止地放在光滑的水平桌面上，弹簧的另一端固定，弹簧处于自然长度。
按住物块A，在A的右端连一细线并绕过光滑的定滑轮接一个挂钩，将质量为m2的小物体B轻轻的挂在挂钩上。
设细线不可伸长，细线、挂钩、滑轮的质量及一切摩擦均不计，现释放A，求：
（1）物体A的速度达到最大时弹簧的伸长量；
（2）物体A的最大速度值。
12如图所示，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小木块m连接，且m、M及M与地面间摩擦不计．开始时，m和M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2，设两物体开始运动以后的整个运动过程中，弹簧形变不超过其弹性限度。
对于m、M和弹簧组成的系统（）
A．由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒
B．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m、M各自的动能最大
C．由于F1、F2大小不变，所以m、M各自一直做匀加速运动
D．由于F1、F2均能做正功，故系统的机械能一直增大
13质量为M的圆环用细线（质量不计）悬挂着，将两个质量均为m的有孔小珠套在此环上且可以在环上做无摩擦的滑动，如图所示，今同时将两个小珠从环的顶部释放，并沿相反方向自由滑下，试求：
（1）在圆环不动的条件下，悬线中的张力T随cosθ（θ为小珠和大环圆心连线与竖直方向的夹角）变化的函数关系，并求出张力T的极小值及相应的cosθ值；
（2）小球与圆环的质量比
至少为多大时圆环才有可能上升？
14如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2和质量mB=m的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量mA=m的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角θ=60°，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，C点到定滑轮O1的距离为L，重力加速度为g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰．现将小物块从C点由静止释放，试求：
（1）小球下降到最低点时，小物块的机械能（取C点所在的水平面为参考平面）；
（2）小物块能下滑的最大距离；
（3）小物块在下滑距离为L时的速度大小．
功能关系
基础知识
1．做功过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生了转化，所以功是能量转化的量度，关键问题是要清楚哪种力做功，与哪种形式的能量转化相对应．
（１）合外力做功等于物体动能的改变．即Ｗ合＝_____________________________
（２）重力做功等于物体重力势能的改变，即ＷＧ＝______________________________
（３）除了重力和弹簧弹力之处的其它力所做的总功，等于物体机械能的改变，即Ｗ其＝_____________________
2．摩擦力做功与能量转化
（１）静摩擦力做功与能量转化
①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
②在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其它形式的能．
③相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做的功的总和等于零．
（２）滑动摩擦力做功与能量转化
①滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
②相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力所做的总功是负值，其绝对值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，Ｗｆ＝－Ｆｆ·ｓ相．即恰等于系统损失的机械能．
例１．做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，如果动能减少为ａ，势能增加为ｂ，物体克服重力做功为ｃ，物体克服阻力做功为ｄ，则下列表达式中，正确的是（ ）
Ａ．ａ＝ｂ＋ｃ Ｂ．ａ＝ｃ＋ｄ Ｃ．ａ＋ｂ＝ｃ＋ｄ Ｄ．ａ－ｂ＝ｃ－ｄ
例２．物体以120J的初动能从斜面底端向上运动，当它通过斜面某一点M时，其动能减少80J，机械能减少32J，如果物体能从斜面上返回底端，则物体到达底端的动能为（ ）
A．20JB．24JC．48JD．88J
例３．一个小物体从固定的斜面底端冲上足够长的斜面后又返回到斜面底端．已知小物体的初动能为Ｅ，它返回斜面底端的速度大小为ｖ，克服摩擦力做功为E/2．若小物体冲上斜面的初动能变为２Ｅ，则有（ ）
Ａ．返回斜面底端时的动能为ＥＢ．返回斜面底端时的动能为
Ｅ
Ｃ．返回斜面底端时的速度大小为2vＤ．返回斜面底端时的速度大小为
v
例４．推行节水工程的转动喷水“龙头”如图所示，“龙头”距地面ｈm，其喷灌半径可达10hm，每分钟喷水ｍkg，所用的水从地下Hm的井里抽取，设水以相同速率喷出，若水泵效率为η，则配套的电动机的功率Ｐ至少为多大？
例5.如图所示，圆柱形的水箱高为5m，容积为50m3，水箱底部接通水管Ａ，顶部接通水管Ｂ，开始时箱中无水，若仅使Ａ管慢慢注地将水注入，直到箱中水满为止，求外界需做多少功？
（设需注入的水开始时与箱底等高，ｇ取10m/s2）
另：
若仅从Ｂ管注入水，则外界做功需多少？
例6．如图所示，电动机带着绷紧的传送带始终以Vo＝2m/s的速度运动，传送带与水平面的夹角为300，现把一质量为Ｍ＝10kg的工件轻轻地放在皮带的底端，经过一段时间后，工件被送到高h＝2m的平台上，已知工件与皮带间的动摩擦因数μ＝
，除此之处，不计其它损耗，求电动机由于传送带工件多消耗的电能．
例7．一传送带装置示意图如图所示，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都有与BC相切，现将大量的质量均为ｍ的小货箱一个一个在Ａ处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到Ｄ处，Ｄ和Ａ的高度差为ｈ，稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为Ｌ，每个箱子在Ａ处投放后，在到达Ｂ之前已经相对于传送带静止，且以后都不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动），已知在一段相当长的时间Ｔ内，共运送小货箱的数目为Ｎ，这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦，求电动机的平均输出功率
．
训练题：
1．物体在运动过程中，克服重力做功50J，则（）
A．重力做功为50JB．物体的重力势能减少了50J
C．物体的动能一定减少50JD．物体的重力势能增加了50J
2．一物体做匀速圆周运动，有关功和能的说法正确的是（）
A．物体所受各力在运动中对物体都不做功
B．物体在运动过程中，机械能守恒
C．合外力对物体做的总功一定为零
D．重力对物体可能做功
3．一人站在阳台上，以相同的速率分别把三个球竖直向下抛出、竖直向上抛出、水平抛出，不计空气阻力，则（）
A．三个小球落地时，重力的瞬时功率相同
B．从抛出到落地的过程中，重力对它们做功的平均功率相同
C．从抛出到落地的过程中，重力对它们做功相同
D．三个小球落地时速度相同
4．如图所示，M＞m，滑轮光滑轻质，空气阻力不计，则M在下降过程中
A．M的机械能增加B．m的机械能增加
C．M和m的总机械能减少D．M和m的总机械能守恒
5．一粒钢珠从静止状态开始自由下落，然后陷入沿泥潭中，如果把在空中下落的过程称为过程I，进入泥潭直到停住的过程称为过程Ⅱ，则（）
A．过程I中钢珠动能的增量等于过程I中重力所做的功
B．过程Ⅱ中钢珠克服阻力做的功等于过程I中重力所做的功
C．过程Ⅱ中钢珠克服阻力做的功等于过程I和Ⅱ中钢珠所减少的重力势能之和
D．过程Ⅱ中损失的机械能等于过程I中钢珠所增加的动能
6．某物体做自由落体运动，下落的时间为总时间的一半时，动能为Ek1，下落的距离为总高度的一半时，动能为Ek2，那么Ek1和Ek2的大小关系是（）
A．Ek1=Ek2B．Ek1>Ek2C．Ek17．上端固定的一根细线下悬挂一摆球，摆球在空气中摆动，摆动的幅度越来越小，对于此现象，下列说法中正确的是（）
A．摆球的机械能守恒B．能量正在消失
C．摆球的机械能正在减少，减少的机械能转化为内能
D．只有动能和重力势能的相互转化
8．一个质量为m的滑块，以初速度v0沿光滑斜面向上滑行，当滑块从斜面底端滑到高度为h的地方时，滑块的机械能是（）
A．
B．mghC．
+mghD．
－mgh
9．粗细均匀U型管内装有同种液体，开始使左右两边液面高度差为h（左高右低），管中液体总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，左侧液面下降的速度为
A．
B．
C．
D．
10．从距离水平地面高为H的A点，以v0斜向上抛出一质量为m的石块，已知v0与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，则石块达到的最大距地高度为（）
A．
B．
C．
D．
11．如图所示，光滑的弧形轨道BC与粗糙的水平轨道AB相切，AB长为10m，BC足够高，一物体以v0=10m/s的速度从A点出发，最后恰好又停在A点，求：
（1）物体与水平轨道的动摩擦因数；
（2）小球在倾斜轨道BC上的最大高度．
12．某人在离地10m高处用10m/s的速度竖直上抛一个质量为1kg的物体（不计空气阻力，以地面为参考平面），试问：
（1）此人对物体做的功；
（2）在离地什么高度时物体的动能等于重力势能．（g=10m/s2）
13．如图所示，一轻质弹簧竖直固定于地面上，弹簧上端连接一质量为m的重物，静止时弹簧压缩量
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