A．1 B．2
C．3D．4
答案：
D
2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
答案：
5
3．设集合A＝{x|（x＋1）（x－2）<0}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝________.
答案：
{x|0≤x<2}
1．认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．
2．解题时注意区分两大关系：
一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
[小题纠偏]
1．设全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y＝lg（x＋2）}，则（∁UA）∩B等于（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A 依题意得A＝，∁UA＝；B＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，因此（∁UA）∩B＝.
2．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数为________．
解析：
由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．∵A∪B＝{0,1,2}，∴B可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．
答案：
8
3．已知集合A＝{0,x＋1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．
解析：
∵－4∈A，∴x＋1＝－4或x2－5x＝－4.
∴x＝－5或x＝1或x＝4.
若x＝1，则A＝{0,2，－4}，满足条件；
若x＝4，则A＝{0,5，－4}，满足条件；
若x＝－5，则A＝{0，－4,50}，满足条件．
所以x＝1或x＝4或－5.
答案：
1或4或－5
[题组练透]
1．（易错题）已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为（ ）
A．3 B．6
C．8D．9
解析：
选D 集合B中元素有（1,1），（1,2），（1,4），（2,1），（2,2），（2,4），（4,1），（4,2），（4,4），共9个．
2．已知a>0，b∈R，若＝{a－b,0，a2}，则a2＋b2的值为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
解析：
选B 由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝4，即a＝2或a＝－2，因为a>0，所以a＝2，故a2＋b2＝22＋02＝4.
3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于（ ）
A.B.
C．0D．0或
解析：
选D 若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝，符合题意．
当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0，得a＝，
所以a的值为0或.
4．（易错题）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：
由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.
答案：
－
[谨记通法]
与集合中的元素有关问题的求解策略
（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题．
（2）看这些元素满足什么限制条件．
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第4题．
[典例引领]
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集有（ ）
A．8个 B．4个
C．3个D．2个
解析：
选B 由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个．
2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|ax－6＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（ ）
A．3B．2
C．2或3D．0或2或3
解析：
选D 由题意可得，因为B⊆A，所以B＝{2}，{3}或∅；若B＝{2}，则2∈B，所以2a－6＝0，解得a＝3；若B＝{3}，则3∈B，所以3a－6＝0，解得a＝2；若B＝∅，则a＝0.所以满足条件的实数a的值为0或2或3.
[由题悟法]
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
[即时应用]
1．集合{a，b，c，d，e}的真子集的个数为（ ）
A．32B．31
C．30D．29
解析：
选B 因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个．
2．已知集合A＝{x|－1解析：
当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.
当m>0时，
∵A＝{x|－1当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，
∴∴0综上所述m的取值范围为（－∞，1]．
答案：
（－∞，1]
[锁定考向]
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．
常见的命题角度有：
（1）集合的运算；
（2）利用集合运算求参数；
（3）新定义集合问题．
[题点全练]
角度一：
集合的运算
1．（2018·宁波模拟）已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩（∁UB）＝{1,3,5}，则B＝（ ）
A．{2,4,6} B．{1,3,5}
C．{0,2,4,6}D．{x∈Z|0≤x≤6}
解析：
选C 因为U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0,1,2,3,4,5,6}，A∩（∁UB）＝{1,3,5}，所以B＝{0,2,4,6}．
2．（2016·浙江高考）已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（ ）
A．[2,3]B．（－2,3]
C．[1,2）D．（－∞，－2]∪[1，＋∞）
解析：
选B ∵Q＝{x∈R|x2≥4}，
∴∁RQ＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．
∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，
∴P∪（∁RQ）＝{x∈R|－2＜x≤3}＝（－2,3]．
角度二：
利用集合运算求参数
3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．（－1,0）B．[－1,0）
C．（－2,2）D．[－1，＋∞）
解析：
选A 因为A∩B≠∅，所以a>－1，又因为a<0，所以－1角度三：
新定义集合问题
4．（2015·浙江高考）设A，B是有限集，定义：
d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中元素的个数，
命题①：
对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要条件；
命题②：
对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C）．
A．命题①和命题②都成立
B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立
D．命题①不成立，命题②成立
解析：
选A 命题①成立，若A≠B，则card（A∪B）＞card（A∩B），所以d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B）＞0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；
命题②成立，由Venn图，知card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B），
d（A，C）＝card（A）＋card（C）－2card（A∩C），
d（B，C）＝card（B）＋card（C）－2card（B∩C），
∴d（A，B）＋d（B，C）－d（A，C）
＝card（A）＋card（B）－2card（A∩B）＋card（B）＋card（C）
－2card（B∩C）－[card（A）＋card（C）－2card（A∩C）]
＝2card（B）－2card（A∩B）－2card（B∩C）＋2card（A∩C）
＝2card（B）＋2card（A∩C）－2[card（A∩B）＋card（B∩C）]
＝2card（B）＋2card（A∩C）－2[card（（A∪C）∩B）＋card（A∩B∩C）]
＝[2card（B）－2card（（A∪C）∩B）]＋[2card（A∩C）－2card（A∩B∩C）]≥0，
∴d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C）得证．
[通法在握]
解集合运算问题4个技巧
看元素构成
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合化简
有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
应用数形
常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图
创新性问题
以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决
[演练冲关]
1．（2018·台州模拟）若集合A＝{x|－1A．[0,1）B．（－1，＋∞）
C．（－1,1）∪[2，＋∞）D．∅
解析：
选C 因为x－2≥0，解得x≥2，所以B＝[2，＋∞），所以A∪B＝（－1,1）∪[2，＋∞）．
2．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝（ ）
A．4B．2
C．0D．0或4
解析：
选A
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